(g)
/«2
1
T. J. STIELTJES
1856—1894.
ŒUVRES COMPLÈTES
DE
THOMAS JAN STIELTJES
PUBLIÉES PAR LES SOINS DE LA
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DAMSTERDAM
TOME I
GRONINGEN
P. NOORDHOFF
1914
QiQ
5^
_588271
/s, 7. 54
PRÉFACE.
Dans sa réunion du 30 avril 1910, la Société mathématique d'Amsterdam
prit la résolution de publier une édition complète des Oeuvres scientifiques du
membre défunt le docteur es sciences Thomas Jan Stieltjes. Après la belle pu-
blication de la Correspondance d'Hermite et de Stieltjes par M.M. B. Baillaud
et H. Bourget, la Société tenait à témoigner, elle aussi, de sa haute admiration
pour l'oeuvre de l'éminent géomètre qui , nous ne saurions l'oublier , avant
de devenir Français , avait été notre compatriote.
L'exécution de ce projet fut confiée à une commission composée de
M.M. W. Kapteyn, J. C, Kluyver et E. F. van de Sande Bakhuyzen, qui
acceptèrent cette tâche avec empressement. Après avoir été autorisée par
les rédactions des différents journaux à réimprimer les notes et mémoires en
question, la commission demanda à M™^ Stieltjes la permission de consulter
les papiers laissés par son époux, afin de pouvoir examiner s'il s'y trouvait
encore quelque travail dans un état assez avancé pour en permettre la pu-
blication. M"^* Stieltjes ayant gracieusement acquiescé à cette demande, la
commission a pu ajouter quelques petites notes au second volume de cette
collection.
Les notes et mémoires avaient été publiés en diverses langues : dix en
hollandais , deux en allemand , tous les autres en français. La commission
décida de les réimprimer tous tels qu'ils étaient, en ajoutant une traduction
française aux articles hollandais.
Pour l'ordre de ce recueil, la commission se guida sur l'importante „Notice
sur les travaux scientifiques de T. J. Stieltjes" publiée dans les Annales de
la Faculté des Sciences de Toulouse (Sér. i, 9, 1895, i — 64) par le professeur
E. Cosserat. Dans cette Notice , l'auteur donne une brève analyse par ordre
chronologique des Notes et Mémoires de Stieltjes. On y trouve 82 numéros,
IV PRÉFACE.
dont les N^ 15 et 34 sont des traductions françaises des N^ 10 et 38 respec-
tivement. La suppression pure et simple de ces deux traductions eût donné
lieu à un changement de numérotage. Pour conserver aussi longtemps que
possible les mêmes numéros, nous avons substitué au N"^ 15 un autre petit
article tiré de la Zeitschrift ftlr Vermessungswesen (Stuttgart, 15, 1886, 141 — 144).
Cet article fut envoyé de Paris au rédacteur de ce journal par un inconnu;
mais la commission est en possession d'une lettre qui sera publiée à la fin
du second volume et dont on peut tirer presqu'avec certitude la conclusion
que cet inconnu était Stieltjes. Cette substitution permit de conserver les
numéros de la Notice jusqu'au N^ l'j. Mais à partir de là, les numéros de
l'édition présente sont devenus inférieurs d'une unité aux numéros anciens.
En outre quelques notes seront ajoutées à la fin du second volume: on y
indiquera quelles sont les lettres de la Correspondance qui se rapportent aux
différents articles, on y insérera les notes qui se trouvent dans la Notice de
M. Cosserat et enfin la commission ajoutera encore elle-même quelques notes
et éclaircissements.
La commission n'a pas jugé opportun de joindre aux oeuvres complètes
une notice biographique. Elle n'aurait pu que redire ce qui a déjà été dit
et si bien dit dans la „Notice sur Stieltjes" que M. Bourget a jointe à la
Correspondance; elle y a seulement joint un portrait datant des dernières
années de Stieltjes.
La commission.
TABLE DES MATIÈRES.
Page.
I. lets over de benaderde voorstelling van eene functie door
eene andere i
I. De la représentation approximative d'une fonction par une
autre, (traduction) 1 1
/•i
II. Een en ander over de integraal / \og F {z -\- u) du . . . 21
0
II. Remarques sur l'intégrale / \og F {x -{- u) d u. (traduction) 26
0
III. Notiz ûber einen elementaren Algorithmus 31
IV. Over Lagrange's Interpolatieformule 33
IV. A propos de la formule d'interpolation de Lagrange. (tra-
duction) 47
V. Eenige opmerkingen omtrent de differentiaalquotienten van
eene functie van één veranderlijke 61
V. Quelques remarques à propos des dérivées d'une fonction
d'une seule variable, (traduction) . 67
VI. Over eenige theorema's omtrent oneindige reeksen ... 73
VI. A propos de quelques théorèmes concernant les séries in-
finies, (traduction) 83
VII. Over de transformatie van de periodieke functie
Aq -f- ^1 cos 99 -j- Bj sin 9? -f- • • • 4" A„ cos w 99 -f- B„ sin n cp 93
VII. De la transformation de la fonction périodique
Ao -f- Aj cos 9? + ^1 sin 99 -|- ... -|- A„ cos w 99 -}- B,e sin n cp
(traduction) 99
VIII. Over een algorithmus voor het meetkundig midden . . . 105
VIII. Sur un algorithme de la moyenne géométrique, (traduction) 121
IX. Over het quadratische rest-karakter van het getal 2 . . 137
IX. Le nombre 2 comme résidu quadratique, (traduction) . . 141
X. Bijdrage tôt de théorie der derde- en vierde-machtsresten . 145
X. Contribution à la théorie des résidus cubiques et biquadra-
tiques. (traduction) 210
XI. Sur un théorème de M. Tisserand. (Extrait d'une lettre
adressée à M. Hermite) 276
VI SOMMAIRE.
Page.
XII. Sur un théorème de M. Tisserand. (Note présentée par
M. Hermite) 279
XIII. Bewijs van de stelling, dat eene geheele rationale functie
altijd, voor zekere reëele of complexe waarden van de
veranderlijke , de waarde nul aanneemt 281
XIII. Preuve du théorème, d'après lequel une fonction entière
et rationnelle s'annule pour certaines valeurs réelles ou com-
plexes de la variable, (traduction) 284
XIV. Quelques considérations sur la fonction rationnelle entière
d'une variable complexe 287
XV. Môglichkeit oder Unmôglichkeit einer Pothenotischen Be-
stimmung 305
XVI. Sur la théorie des résidus biquadratiques (Extrait d'une
Lettre adressée à M. Hermite) 308
XVII. Sur le nombre des diviseurs d'un nombre entier. (Note
présentée par M. Hermite) 311
XVIII. Sur l'évaluation approchée des intégrales. (Note présentée
par M. Hermite) 314
XIX. Sur l'évaluation approchée des intégrales. (Note présentée
par M. Hermite) 317
XX. Sur quelques théorèmes arithmétiques. (Extrait d'une lettre
adressée à M. Hermite) 319
XXI. Sur la décomposition d'un nombre en cinq carrés. (Extrait
d'une lettre adressée à M. Hermite) 322
XXII. Sur un théorème de Liouville. (Note présentée par M. Her-
mite) 324
XXIII. Sur un théorème de M. Liouville. (Note présentée par
M. Hermite) 326
XXIV. Sur le nombre de décompositions d'un entier en cinq carrés.
(Extrait d'une lettre adressée à M. Hermite) 329
XXV. Over de quadratische ontbinding van priemgetallen van
den vorm 3 n -j- 1 332
XXV. Sur la décomposition quadratique de nombres premiers
de la forme 3 n -j- L (traduction) 338
XXVI. Note sur le déplacement d'un système invariable dont un
point est fixe 344
XXVII. Sur quelques applications arithmétiques de la théorie des fonc-
tions elliptiques. (Extrait d'une Lettre adressée à M. Hermite) 360
SOMMAIRE. VII
Page.
XXVIII. Sur le caractère du nombre 2 comme résidu ou non résidu
quadratique 362
XXIX. Quelques remarques sur l'intégration d'une équation diffé-
rentielle 364
XXX. Note sur le problème du plus court crépuscule . . . . 375
XXXI. Quelques recherches sur la théorie des quadratures dites
mécaniques 377
XXXII. Sur un développement en fraction continue. (Note présentée
par M. Tisserand) 395
XXXIII. Note sur la densité de la Terre 397
XXXIV. Quelques remarques sur la variation de la densité dans
l'intérieur de la Terre 400
XXXV. Note sur quelques formules pour l'évaluation de certaines
intégrales 426
XXXVI. Sur une généralisation de la théorie des quadratures méca-
niques. (Note présentée par M. Tisserand) 428
XXXVII. Note à l'occasion de la réclamation de M. Markoff . . , 430
XXXVIII. Un théorème d'algèbre. (Extrait d'une Lettre adressée à
M. Hermite) 432
XXXIX. Sur certains polynômes qui vérifient une équation différen-
tielle linéaire du second ordre et sur la théorie des fonc-
tions de Lamé 434
XL. Sur quelques théorèmes d'algèbre. (Note présentée par
M. Hermite) 440
XLI. Sur les polynômes de Jacobi. (Note présentée par M. Hermite) 442
XLII. Sur une généralisation de la série de Lagrange .... 445
XLIII. Sur l'intégrale / ^„ , 451
i (• + «-)
XLIV. Sur une fonction uniforme (Note présentée par M. Hermite) 457
XLV. Sur une loi asymptotique dans la théorie des nombres.
(Note présentée par M, Hermite) 459
XLVI. Sur quelques formules qui se rapportent à la théorie des
fonctions elliptiques 462
XLVII. Sur quelques intégrales définies 466
(Afzonderlijk gedrukt te Delft in 1876)
lets over de benaderde voorstelling van eene functie
door eene andere.
Is de functie f{x) continu voor aile waarden van x tusschen a en 6 ,
en zoo 00k (p{x, a^.ag, . . ., ««), dan kan men de vraag stellen deconstanten
0^,02, ..., a„ z66 te bepalen, dat de functie (p{x) voor a < ic < 6 zoo
weinig mogelijk van f{x) verschilt.
Het ligt voor de hand de constanten %, «g. • • -, û^w te bepalen door
de voorwaarden, dat voor
X — X-^ j \
~~ ^' J (a<a;i<rr2..<rc„<6).
X = Xn ]
de functie (p {x) dezelfde waarden aanneemt als f{x) , zoodat men heeft
(1) f{Xp) = <p{Xp,a^,ao,,..,an).
(p=l,2,..,n)
Door 99 {x) in plaats van f{x) te nemen . maakt men eene fout
(2) R{x)=f{x)-<p{x),
eene continue functie van x, die nul wordt voor
X = iC2»
X = Xn y
en dus in 't algemeen telkens van teeken verandert, vvanneer x een
dezer waarden overschrijdt.
1
2 BENADERDE VOORSTELLING VAN EENE FUNCTIE DOOR EENE ANDERE.
Denkt men zich de lijn
y = n{x) = f{x) — (p{x)
geconstrueerd , dan snijdt deze dus de X-as in de n punten
y = 0.
Eene goede overeenstemming van de functies f{x) en 99 (x) vvordt aan-
geduid door eene geringe afwijking van de X-as voor a<rr<6. Door
nu het aantal n der grootheden x^, x^, . . ., Xn te vermeerderen , kan
eene betere overeenstemming van 99 (x) met /"(^r) verkregen worden ,
maar 00k bij eene vast aangenomen waarde voor n hangt nog de graad
van benadering, die men bereiken zal, af van de keus der grootheden
iCi, rcg, . . ., Xn. Hoe deze het best genomen worden, zal hier nagegaan
worden.
Het is hiertoe noodig te bepalen , wat men verstaat onder eene zoo
klein mogelijke afwijking der beide functies. Hier zal als maat van
die afwijking genomen worden de som van aile inhouden, begrensd
door de X-as , de lijn y =zR{x) en de beide grensordinaten voor x=^a
en voor x = b; al deze inhouden namelijk met hetzelfde teeken
genomen. Noemt men deze som
(6 — a)M,
dan is M het rekenkunstige midden van aile met een gelijk teeken
genomen waarden der fout tusschen x =^ a en x = b. De grootheden
Xi,X2, .. .y Xn zullen nu zoo bepaald moeten worden, dat M een minimum
wordt.
In de onderstelling, dat nu R(.x) telkens van teeken verandert,
wanneer x een der waarden x^, X2, . . ., Xn overschrijdt, en dat R {x) voor
geen andere waarden van x tusschen a en & nul wordtdan juistdeboven-
genoemde, is
(& — a) M = Tr {x) dx — \\ {x)dx-\-....
a Xi
_|_(_l)n-i/ R{x)dx-^i—l)'' R{x)dx,
X„-i Xn
waarbij M hetzelfde teeken heeft als R (x) voor a<,x< Xy
BENADERDE VOORSTELLING VAN EENE FUNCTIE DOOR EENE ANDERE. 3
M is dus hier afhankelijk van rr^, x,, . . ., Xn, evenals de grootheden
ai,a2,...,aM dit zijn ten gevolge van de vergelijkingen (1).
Maar men kan ook a^, ag, . . ., On als de onafhankelijk veranderlijken
aannemen; a^^, iCg, . . ., ic„ zijn dan de wortels van de vergelijking
en kunnen als afhankelijk van a^, Og, . . ., a^ beschouwd worden. De
condities voor een minimum van M zijn dan
dan
of daar ^{x) telkens aan de veranderlijke grenzen der integralen nul
wordt
of wel, daar volgens (2)
__ ôR _ Dy
(p=l,2, ....w)
In (1) en (3) heeft men nu te zamen 2/2 vergelijkingen ter bepalîng
van fli, CTg, . . ., ani x-^^x^y . . ., ^n-
In 't algemeen komen in f nog de grootheden Oj , 0.2 , . . . , an
voor, zoodat zoowel de vergelijkingen (1) als de vergelijkingen (3) de
grootheden a^, Og, ..., ffn, ^i, iCg, ..., Xn bevatten, en deze laatste
rCi, rcg, . . ., a;„ hangen dan noodzakelijk af van de functie f{x) Dit
is niet het geval, wanneer (p{x^ a^, a~2.i •••.of„) van dezen vorm is:
4 BENADERDE VOORSTELLING VAN EENE FUNCTIE DOOR EENE ANDERE.
want dan is
Ôç) (x) , >
en de vergelijkingen (3) worden
rX\ '•Xi rb
(4) . . 0 = (pp [x) dx— (pp (x) dx -]-... -\- {— lY (pp (x) dx,
« a-, Xn
(p = 1, 2, . . , n)
waarin nu alleen x^, X2, . . .^x» voorkomen. Men kan dus hieruit deze
grootheden bepalen ; ze hangen niet af van f{x). Zijn eenmaal x^, .^3, ...,Xn
bekend, dan heeft men ter bepaling van a^, a^, . . .,an nog de vergelij-
kingen (1) op te lossen , die nu lineair worden , en wel van den vorm :
f{xp) = a^(p^ {xp) -\- a2(P2 (%) + .'. + an(pn {ocp).
(p=\,2,...,n)
De uitdrukking voor M wordt eenvoudiger in dit geval , want in
plaats van
/Xi
\f{x) — «1 (p^ (x) — ...an<Pn {x)\ dx— . . .
a
± / \f{^) — «1 Ç'i (^) — . . . — an(pn {X)\ dx
mag men volgens (4) schrijven
(& — a) M = fy{x) dx — f'fix) dx^...-\-{—\Y Çf{x) dx.
a Xi x„
Het eenvoudigste bijzondere geval is nu hier
(p^{x)=: ï,
çjg (x) = X,
n (^) = ^^
<pn(x) = X^~-\
zoodat het te doen is om de functie f{x) benaderend door eene geheele
algebraïsche functie van den n — P'*'" graad voor te stellen. Verder zij
BENADERDE VOORSTELLING VAN EENE FUNCTIE DOOR EENE ANDERE. 5
De vergelijkingen (4) ter bepaling van x^,X2,...,Xn worden nu
(5) 0=rxP-'^dx — j\p-^dx-\-...i-{—])^-^fxP-^dx-\-{—l)''f]cP-^dx,
-1 Xi a;„_i x^
Of
0 = 2a;f - 2:cf + . . . + (- D» - 1 2xf, + (—1^ + 14. (— l)n.
(p=l,2,...,n)
Deze vergelijkingen kunnen algemeen opgelost worden; dit schijnt
echter langere berekeningen te vorderen dan hier op hare plaatszouden
zijn ; ik zal daarom alleen laten zien, dat de waarden
X, = cos
X9 = cos
ÏITI
w + r
(w — 1)71
(6)
w+1 '
COS
w+1
cos
w+1
werkelijk aan de vergelijkingen (5) voldoen.
Vermenigvuldig namelijk die vergelijkingen met willekeurige con-
stanten en tel ailes op, dan volgt
0 = 1% [x) dx — [% {x) dx-\- ...-\-{—\Y ( w [x) dx,
-1 a;, x„
waarin ip (x) eene willekeurige geheele rationale functie van x van den
w — !•'*" graad hoogstens , voorstelt. Stelt men verder
en tegelijk
X = cos u
Xi = cos Un,
X2 = cos Un-U
rcg = cos M„ _ 2 1
Xn = COS V, ,
6 BENADERDE VOORSTELLING VAN EENE FUNCTIE DOOK EENE ANDERE.
dan wordt
0=/ ip{co8u)sïnudu — / yj {cos u) sin u du -\- ... -\- {— l)^ xp{co8u)B,inudu.
0
Nu is
sin u
eene geheele rationale functie van cos u van den p — P^" graad ; men
mag dus stellen
, . sin pu
W (cos u) = . ^
' sin M
(p=l,2,...,w)
en vindt zoo
(7) . . ^ =z \ ^\x\ pu du — \ 8\x\ j)u du -\- . . . -Y { — 1)** / sinpwdw,
0 u, tt„
(p==l,2,...,n)
of
0 = 2cospMi — 2 cospwg + ... + (— l)"-i2cospw„— 1 + (— 1)" + ^.
(p = 1, 2, . . , n)
Dat nu hieraan voldaan wordt door de waarden
Ml ^ — p— = a,
^ n + 1
2^ o
W7r
blijkt gemakkelijk, want stelt men
P = 2 cos 2?a — 2 cos 2pa + 2 cos 3^a — ...+(— l)"-i 2 cos ?ipa ,
dan volgt
P sin pa=-2 cos /?a sin pa — 2 cos 2pa sin pa-\- . , .-\-{ — 1)" - ^ 2 COS nipa sin pa
= sin 2jpa — [sin 3pa — sin pa] -\- [sin 4pa — sin 2pa] — ...
+ ( — 1)""^ [sin (w4- l)pa — sin(w— \)pa],
of voor n > 1
Psin;?a=;(— l)'*-^sin {n-\- l)pa-\-{ — l)^sin w_pa -|- sin^a.
BENADERDE VOORSTELLING VAN EENE FUNCTIE DOOR EENE ANDERE. 7
Nu is
sin(w+ l) pa =: s'm pn ^= 0
en
sin npa = sin {pn — pa) = (— 1)p - 1 sin pa ,
dus volgt , daar sin pa niet nul kan zijn ,
P=:l+(— 1)" + P-1.
Voor w = 1 kan dadelijk geverifieerd worden, dat u^ = ^ aan (7)
voldoet. Hiermeê is dus de juistheid der in (6) gegeven waarden
aangetoond. Er blijft nog over iets van de waarde van M te zeggen;
ze is bepaald door
2M = r} {x)dx — ... + {— 1)" [' f{x) dx.
Kan nu f{x) voor aile waarden van x tusschen — 1 en -)- 1 ont-
wikkeld worden in eene reeks
p=soo
p = 0
dan vallen bij de substitutie hiervan in de uitdrukking van 2M dew
eerste termen weg, en er blijft
2M = r^^ ôn+pX^+Pdx- ...+(-!)"[' £^6„+pa;"+P(ia;.
Neemt men nu hiervan alleen den eersten term cm eene benaderde
waarde S van M te vinden , dan is
2 S = 6„ j fVda —...+(- lYÇx^dx]^,
-1 Xn
of ook
2S = &n j [V + W (^)] dx-...-\-{—\YJ[x^-\-w {x)] dx\^,
-1 Xn
wanneer weer v^ {x) een e geheele functie van den w— l»*"» graad hoogstens, is.
Voor X = cos M volgt, wanneer ook weer .i;i = cosMn enz gesteld
wordt
8 BENADERDE VOOKSTELLING VAN EENE FUNCTIE DOOR EENE ANDERE.
2 S = ( — 1)" 6„ / icos'' u-^yj (cos u)] sin MdM — ...
0
-f (— 1 )" r [cos" u-\-rp (cos m)] sin M du
Men mag nu voor cos" u-^tp (cos m) nemen
sin (n4- l)u
— ±-^ — ^^— = cos" M — . . .
2" sin u
en dan wordt na uitvoering der integratie
2S = t^^^"^ j-2cos(n4-l)Wi + 2cos(n4-l)w2-...
+ (— 1)" 2 cos (w -f 1) Wn + 2 j ,
dus daar
{n -\- 1) Up ^ pji ,
l s = <=i|^-. ^
Om een enkel voorbeeld te geven : laat gevraagd worden Kl -j- y
voor 0 < 2/ < 1 benaderend door eene uitdrukking van den vorm a-\- fiy
voor te stellen.
Men neme hier eerst:
1
dan is n = 2,
dus
(- 1< :r < + 1)
of
en voor — j-— =:
271 .
rci = cos y = — I ,
^2 = cos Y = -f I ,
^^5 = % — ^a2,
«i = i(K7 + K5),
«2 = i(K7-1/5),
(0 < 2^ < 1)
BENADERDE VOORSTELLING VAN EENE FUNCTIE DOOR EENE ANDERE. 9
a = l [31/5 — Vï] = 1,0256 . .,
^ = ]/7 — Vb = 0,4097 . .
Om de waarde van S te vinden , dient hier de ontwikkeling
|/i+^^=l/||/i+|
= l/|!' + ^a-^ + -l.
dus
en
S = — -^^ = — 0,00425 . .
Overigens kan hier de waarde van M zelf gemakkelijk gevonden
worden; ik vind
M = — 0,00437 . .
Dat hier aan de gestelde voorwaarden voldaan is, ligt voor de hand.
Ik merk nog op, dat de vergelijking (7) in verband met (4) doet
zien , dat wanneer men eene functie f{x) voor 0 < x < n benaderd
wil voorstellen door
a^ sin X -{- a2 aïn 2x -{-... -\- an sin nx,
voor Xi, X2, .. ,, Xn de waarden
ji 271 nn
genomen moeten worden. Dit zijn juist de waarden voor welke
Lagrange eene eenvoudige méthode gegeven heeft om a^, ao, . . ., a»» te
bepalen, namelijk de vergelijkingen (1) op te lossen. Het resultaatis:
waaruit voor w = 00 dan voigt
2 r'
ap^= — Bin pxf{x) dx.
10 BENADERDE VOORSTELLING VAN EENE FUNCTIE DOOR EENE ANDERE.
De grootheid M is hier
nM= f{x) dx~...-{-{—lf f {x) dx ;
0 jiir^
ze convergeert blijkbaar voor w = oo tôt nul, wanneer f{x) zooals hier
eene continue functie van x is.
(Brochure imprimée à Delft en 1876)
(traduction)
De la représentation approximative d'une fonction
par une autre.
Les deux fonctions /"(x) et 9; (x, a^, Og, ..., a„) étant continues pour
toutes les valeurs de x entre a et 6, on peut se proposer de donner aux
constantes a^ , ao , • . . , a„ des valeurs telles que pour a < a; < 6 la fonction
q){x) diffère de f{x) aussi peu que possible.
Il est clair que dans ce but on peut déterminer les constantes a^, Og, . . ., a„
par la condition que pour
X — — x^ j
^~^^[ {a<Xi<X2...<Xn<b)
X :^ Xn
la fonction (p{x) prenne les mêmes valeurs que /"(a;), en sorte qu'on ait
(1) f{Xp) = (p{Xp,a^,a2,...,an)
pour toutes les valeurs p= 1,2, . . .,n.
En prenant 99 (x) au lieu de f{x) on commet une erreur
(2) R{x) = nx)-<p{x).
R(ic) est une fonction continue de x qui s'annule pour
X — ^j^ ,
X ^ X2,
X — Xn,
et qui change donc en général de signe toutes les fois que x passe par
une de ces valeurs.
12 DE LA REPRÉSENTATION APPROXIMATIVE D'UNE FONCTION PAR UNE AUTRE.
Supposons la courbe
y = R{x) = f{x) — cp{x)
construite ; d'après ce que nous venons de dire elle coupe l'axe des X
aux n points
X == X2 ,
X — Xn )
La concordance des fonctions f{x) et 99 (.%) est bonne, lorsque la courbe
y = R{x) s'éloigne peu de l'axe des X pour a<x-<Cb. En augmentant le
nombre n des grandeurs x^, x^, . . ., Xn on peut obtenir une meilleure concor-
dance de (p(x) avec f{x); mais, si le nombre n est donné, le degré de
l'approximation qu'on peut atteindre dépend du choix des grandeurs
Xi, X2, . . ., Xn- Nous examinerons maintenant quel est pour ces grandeurs
le choix le plus convenable.
A cet effet, il est nécessaire de dire ce qu'il faut entendre par un écart
minimum des deux fonctions. Ici nous prendrons pour mesure de cet
écart la somme de toutes les aires comprises entre l'axe des X, la
courbe yz=:R{x) et les deux ordonnées extrêmes qui correspondent kx = a
et à x^=b'j toutes ces aires étant comptées de même signe. Si nous
représentons cette somme par
(6— a)M,
M est la moyenne arithmétique des erreurs entre x-=aetx = by toutes
les erreurs étant prises en valeur absolue. Il faudra donc déterminer les
grandeurs a^^, ^3» • • •> ^n de manière à rendre M minimum.
Dans l'hypothèse que R (x) change de signe toutes les fois que x passe
par une des valeurs x^, x^, - . ., Xn et que R [x] ne s'annule pour aucune
autre valeur de la variable entre a etb, on a
{b — a)M= rÏKx) dx — / "*R (ic) (/:z; +
+ (- 1 )" - 1 pR {x) dx + i—l yf R (x) dx ,
Xn-i Xn
où M a le même signe que R {x) pour a < rc < iCi.
DE LA REPRÉSENTATION APPROXIMATIVE D'UNE FONCTION PAR UNE AUTRE. 13
M dépend donc ici de x^, x^. . • ., Xn, de môme que a^, a.,, . . ., «m en dépen-
dent d'après les équations (1)
Mais on peut aussi prendre %, ag, . • , »„ comme variables indépen-
dantes ; a^i , iCg , . . . , a:„ sont alors les racines de l'équation
f{x) = (p{x,a^,a^,...,an)
et peuvent être considérées comme dépendant de a^, a^, . • ., «w Les con-
ditions pour que M soit minimum sont alors
da.
= 0,
f>M
ôag
= 0,
^M
da„
= 0,
ou bien, vu que R{x) s'annule toutes les fois aux limites variables des
intégrales,
(jp=l,2,...,w)
Mais suivant l'équation (2)
Donc
(S) . . o=f ^-|if)..-f ^-||).. + ...-f(-i)./^-|if...
a X, i»
(prz:l,2,...,W)
Les équations (1) et (3) qui sont au nombre de 2w, peuvent servir à la
détermination de a^ , Cg » • • • » On.x^^.x^, . . . , a;„.
En général les expressions ~|"- contiennent encore les grandeurs
«1, ag, . . ., a„, en sorte que les équations (1) et les équations (3) contien-
nent toutes les grandeurs «i, a.,, ...,an. x^, a:^, . . ., a;„, et ces dernières
x^,X2,...,Xn dépendent alors nécessairement de la fonction f{x) Il
n'en est pas de même lorsque 99 (xi , a^ , «a »•••»«»») ^ ^^ forme suivante :
14 DE LA REPRÉSENTATION APPROXIMATIVE D'UNE FONCTION PAR UNE AUTRE.
car alors on a
et les équations (3) deviennent
(4) . . 0=r(pp{x)dx—r(pp{x)dx-]-...-\-{—\Yf(pp{x)dx.
a X, x„
(p=l,2,...,w)
Dans celles-ci les seules variables sont Xi, x^, • . -, Xn- On peut donc
déterminer ces grandeurs à l'aide de ces équations, et elles ne dépendent
pas def{x) Les variables x^, X2, . . -, x„ étant trouvées, il reste à résoudre
les équations (Ij pour déterminer %, «2» • • •> «nî ces équations deviennent
maintenant linéaires , savoir :
f{Xp) = ai 9?i {Xp) + C/gÇ'a M+ •"+ Cln<Pn (Xp).
La formule qui donne M se simplifie en ce cas, car au lieu de
{b — a)M. = l \f{x) — ai(pi{x) — . . . —an(pn{cc)ldx — . . .
a
rb
± \f{x) — a^(PT^{x) — ... — an(Pn{x)\dx
on peut écrire d'après (4)
{b'—a)M= rf{x) dx — rf{x) dx-\-...-\-{—\Y tf{x) dx.
a Xi x„
Le cas particulier le plus simple est maintenant représenté par les
formules
<p^{x)=l,
(P2{x) = x,
(p^{x) = X^,
en sorte qu'il s'agit ici de représenter approximativement la fonction
f{x) par une fonction algébrique entière du degré n — 1. Supposons
en outre
a = — 1,
6 = -fl.
DE LA REPRESENTATION APPROXIMATIVE D UNE FONCTION PAR UNE AUTRE. 15
Les équations (4) qui servent à déterminer x^, X2, . . ., x„ deviennent
maintenant
(5) 0 = l^\p-'^ dx — pxP-^dx-^ . . . + {—iy'-' TxP-^ dx -{-{- l)"" fxP-^dx
ou
0 = 2a;f — 2a:f + . . . 4- (— l)"-i 2x^-\-{—\)p + ^-\- (— 1)".
(p=l,2,...,w)
Il existe une méthode générale pour résoudre ces équations, mais elle
exige des calculs trop longs pour qu'il me semble utile de la faire con-
naître ici. Je me contenterai de faire voir que les valeurs
/ fiji
/ X. = cos
(6)
w + 1'
w — 1
Xn = COS j — r 71 .
^ w+ 1 '
Xp = cos '^ ,\
^ n-\-\
Xn=C08
w+1
satisfont réellement aux équations (5).
En effet, multiplions ces équations par des constantes arbitraires et
ajoutons-les toutes II en résulte
/X, pX, ^+ 1
xp{x)dx — / xp {x) dx -\- . . . -\- { — 1)" / xp{x)dx^
— 1 Xl X;,
où rp{x) représente une fonction arbitraire de a; entière et rationnelle et
du degré {n — 1) tout au plus.
Posant alors
rr ^ cos M
et en même temps
X^ = cos lin ,
OC2 = cos M„ _ 1 ,
rr3 = cosw„_2,
Xn = cos Mj ,
16 DE LA REPRÉSENTATION APPROXIMATIVE D'UNE FONCTION PAR UNE AUTRE.
on obtient
0= rp(co8u)s\nuclu — / ip (cosu)sinu du -\- . ..-{-{ — 1)" / ip{cosu)Bmudu.
0 Ui u„
Or
sm pu _„ , „ 1
sin w
est une fonction de cos u entière et rationnelle du degré (p — 1). On
peut donc poser
, , sin pu
w (cos u) = ~— *—
^ ^ sin w
(2)=l,2,...,w)
et l'on trouve de cette façon
(7) . . 0= sin pu du — / 8m pu du -\- ...-{-{— ly sin pu du
Ou, un ■
{p=\,2,...,n)
ou
0 = 2cOSpMi — 2COSpM2+. ..+ {— l)''-^ 2 cos pUn— 1 + (— 1)'*+*'.
{p = l,2,.. , w)
On voit aisément que les valeurs
71
2ji
Vo = r— : = 2a ,
«"=,1+1 = ""
satisfont à cette équation , car si l'on pose
P = 2 cos pa — 2 COS 2pa -f- 2 cos 3pa — . . . -j- ( — 1 )" " ^ ^ cos npa ,
il s'ensuit
Psinpa = 2 cospasin pa — 2 cos 2pasïnpa + ••• + ( — 1)"""^ 2cos w^asin^a
= sin 2pa — [sin 3pa — sin pa] -j- [sin 4pa — sin 2pa] — ...
+ (— ])"-4sin(w-f- l)i5a — sin (w — ]) pa]
ou, pour w> 1,
P sin pa = (— 1 )" - 1 sin (n -\- l) pa -\- (— 1)" sin npa -f- sin pa.
DE LA REPRESENTATION APPROXIMATIVE D'UNE FONCTION PAR UNE AUTRE. 17
Or on a
sin (w -j- 1) pa = sin p7i = 0
et
sin npa = sin {pn — pa) = ( — 1)p-i sin pa.
On conclut de là, vu que sinpa ne peut pas être nul , que
P=l + (— l)"+p-'.
Pour n = lon vérifie immédiatement que Mj = ^satisfait à l'équation (7).
Il est donc démontré que les valeurs (6) satisfont au problème. Reste
à parler de la valeur de M ; elle est
2 M = f^ix) dx-...-]-{—\Y ['' }{x) dx.
- 1 x„
Lorsque f{x) pour toutes les valeurs de x entre — 1 et -|- 1 peut être
développée en une série
les n premiers termes de l'équation qui donne 2 M disparaissent quand
on y substitue cette valeur de f{x). Il reste
2M=/ '^bn^pX^^PdX—...^{-iY\ ^hn + pX^^Pdx.
-1 '' = 0 Xn P = ^
Si nous prenons p = 0, pour trouver une valeur approchée S de M,
nous avons
2S = 6n j l^^'dx— ...-{-{— \Y ( x^'dx
OU bien
2S = 6n j Ha;^ + v (^)] dx — . . . -{-{—\Y ( [x" + y ix)] dx\
-1 Xn
yf{x) étant de nouveau une fonction entière du degré (n — 1) tout
au plus.
On en tire , en posant comme auparavant
X =008 M,
Xi = coswn, etc.,
2
18 DE LA REPRÉSENTATION APPROXIMATIVE D'UNE FONCTION PAR UNE AUTRE.
2 S = ( — 1)" 6n ! / [cos" u-\-y^ (cos m)] sin udu — ...
0
-|- (— 1 )" r [cos*» u-^tp (cos u)] sin u du
Or, au lieu de cos" u-\-yj (cos u) on peut prendre
sin (n + 1 ) M
2" sin u
et alors on trouve après l'intégration
2cos(
+ (— l)"2cos(w+ l)w« + 2J
^^ = 2"(n+^r)i~^^^"^^+^^^^ + ^^^'^^+^^'^^~---
partant, comme
(w4- \)Up=p7l,
(8) S = (^i|^-.
Considérons un seul exemple: on demande de représenter approxima-
tivement Vl -\-y pour 0 < ^ < 1 par une expression de la forme a -|- Py-
Ici il faut prendre d'abord
Alors n = 2,
par conséquent
ou
et, pour —^=2/,
(-I<aj<+1)
fl7i==cos— = — 1>
iCg = cos ^ = ~[- i ,
«i = -HK7 + l/5),
«2 = i{K7-K5),
^l + 2/ = «i + «2(2?/-l)
(0<2/<l)
DE LA REPRÉSENTATION APPROXIMATIVE D'UNE FONCTION PAR UNE AUTRE. 1 9
Donc
a = i[SVô — V7]=\ ,0256 . . ,
^ = y7~V6 = 0,4097 . .
Pour trouver la valeur de S, on se sert du développement en série
suivant:
Don(
1/h
2 -' 2' '+3
f 2 ' + 2.3 8.9 +
2 144
1/6
^= -576= ^'^^^2^--
et
D'ailleurs la valeur précise de M peut aisément être calculée dans ce
cas. Je trouve
M = — 0,00437 . .
Il est évident que les conditions posées sont satisfaites.
J'observe encore que l'équation (7) jointe à l'équation (4) fait voir que
si l'on veut approximativement représenter une fonction f{x) par
«1 sin X -}- a2s\n 2x -\- . . . -{- a„ sin nx ,
(0 < a; < ^)
il faut prendre pour x^, x^, . ■ -, ^n les valeurs
71 2n nn
Ce sont là précisément les valeurs pour lesquelles Lagrange a donné
une méthode simple permettant de déterminer a^ Og, . . ., a„, c. à d. de
résoudre les équations (1). Le résultat est le suivant ;
2 v^ n . ( sn \ .( 871 \
d'où l'on tire pour 7i — oo
2 C
ap=^^ sin px f{x) dx.
0
20 DE LA REPRÉSENTATION APPROXIMATIVE D'UNE FONCTION PAR UNE AUTRE.
La grandeur M est ici donnée par l'équation
fnh r
^M = j f{x)dx — ... + {— ly- / f{x) dx.
0 MIT
nTÎ
Pour M = 00 elle converge évidemment vers zéro, lorsque /"(a;), comme
c'est ici le cas, est une fonction continue de x.
II.
(Amsterdam, Nieuw Arch. Wisk. , 4, 1878, 100—104.)
Een en ander over de integraal / \ogr{x-^u)du.
0
In het volgende zal ik laten zien , dat de waarde van deze integraal
gevonden kan worden door onmiddellijke toepassing van de gewone
definitie van eene bepaalde integraal , en daaraan eenige opmerkingen
toevoegen over eene functie, waarvan de afgeleide van log r(.x) een
bijzonder geval is
De waarde van de bovenstaande integraal is bekend, en wel is^)
(1) . . . . / log r (:c -|- w) du =:llOg27l-\-X log x — x.
0
Hierin wordt x positief ondersteld, als uiterste waarde kan x = 0
zijn, dan is
(2) I log r{u) du = i log 2 71.
0
In deze laatste integraal wordt log r{u) voor u = 0 oneindig , maar uit
/ log r{u) du=^ f log r{u -\-l)du — 1 log u du
Ô 6 0
ziet men, dat de integraal toch eene eindige waarde heeft, en welke
die waarde is; want de eerste integraal rechts is volgens (1) gelijk
aan ^log27r — 1, en de tweede is gelijk aan —1.
Ik onderstel nu x positief, en ga uit van de bekende formules
(3) r{x)r[x+l^rl^v+l)..r[x+'^) = n-^-^^'{2n)'^
(4) . . . . logr{x) = llog27i-{-{x-'i)logx-x-^j^'
(0<6/< 1)
') Zie Bierens de Haan, Tables d'intégrales définies.
22 EEN EN ANDER OVER EENE BEPAALDE INTEGRAAL.
De formule (4) is de gewone ontwikkeling van \ogr{x) in eene half-
convergente reeks, tôt de eerste termen beperkt.
Uit (3) volgt
(5) . . |[logr(a;)+]ogr(:.+ l) + ... + logr(a; + ^^-^^^^
Voor n = 00 gaat het eerste lid over in
I log r {x -\- u) du ,
0
en de limiet van het tweede lid wordt met behulp van (4) gemak-
kelijk gevonden.
Vooraf behandel ik het geval x = ~. In dit bijzondere geval kan
de formule (3) veel gemakkelijker afgeleid worden dan in het alge-
meene, en wel is hiertoe de formule
r{x)r{i—x) = ~.-''-^
sin nx
voldoende.
In plaats van (5) komt er dan
-i[iogr(-l) + iogr(l) + ... + ,ogr(«-)]=(|_J-),og2.-i^iog«
en voor n = (x> vindt men de formule (2).
In het algemeene geval wordt het tweede lid van (5) met behulp van (4)
^_^)log2._(^_^)log« + ^^log2.+(a.— i^)log«x-^+-/^,^ =
1 / 1 \ «
= --\og 271 -\- [x — ^\og X — X -\-
2 *= ' \ 2nJ^ ' 12n^x'
en voor n = oo vindt men de formule (1).
Door de formule (1) ten opzichte van x te differentieeren , komt er
(6) hp {x-\- ii)du = ]ogx,
0
waarbij gesteld werd
-^^^Ogr{x) = rp{x).
Uit deze formule (6) kan men weêr (1) terugvinden ; door integratie
ten opzichte van x volgt namelijk
log r{x -\- u) du = C -\- x\og X — X.
0
f
EEN EN ANDER OVER EENE BEPAALDE INTEGRAAL. 23
De onderstelling x = 0 of .t = 1 kan dienen tôt bepaling van de
standvastige C, wanneer men namelijk de formule (2) bekend onder-
stelt. Deze formule (2) kan echter, zooals boven opgemerkt werd,
vrij gemakkelijk gevonden worden.
De formule (6) is een bijzonder geval van eene meer algemeene. Stelt
men namelijk als defînitie van eene functie xp{x, p)
/7\ / \ 1- \n^-P — l 11 1
{p>0, x>0)
wat voor p^l overgaat in
11 1
yj{x, l)^lim Jlogw
>1 in
W (;c, P)
x-{-l " ' x-}-n
en voor p > 1 in
111 1
p—l xP {x-{-l)P {x-\-2)P *■''
dan is het gemakkelijk te zien, dat \p {x,p) werkelijkeeneeindigewaarde
heeft, en verder is v;(.%-, 1) identiek met hetgeen zooeven doorv^(x)
aangeduid werd.
Het is , wanneer men alleen met reëele functiën te doen wil hebben ,
nog niet noodzakelijk altijd x > 0 te onderstellen ; zoo kan bijv. in
de defînitie voor rp{x, 1) de x zeer wel negatief worden.
Is k een geheel positief getal . dan volgt uit (7)
v{x,p) + y>\x-\-j,pj-{-yj(x-^^,pj-{-... + xp(x-{- --^ , pj =
= lim kP - — (.
k^-p—1
l-p
k^-p—v
1-p.
1— p {kx)P {kx-\-l)p (kx+nk—l)P
of
/ \ . 1 k 1\ / k^~P 1\
zooals dadelijk blijkt, wanneer men in {l)xdooTkx, w door A:n ver-
vangt. Voor p = \ gaat deze formule (8) over in eene andere, die
uit (5) ontstaat door met n te vermenigvuldigen en dan ten opzichte
van x te dififerentieeren. Deelt men (8) door k en stelt danA; = oo,
dan gaat het eerste lid over in
/
1
y) {x -^ u , p) du.
24 EEN EN ANDER OVER EENE BEPAALDE INTEGRAAL.
Om echter te zien vvat hierbij uit het tweede lid wordt, zal ik eerst
eenige andere eigenschappen van de functie ip{x, p) afleiden.
Uit de als definitie gestelde formule (7) volgt onmiddellijk
y^{x-]-l,p) = yj{x,p)-{-^,
en algemeener
(9) ^i^ + k.p) = v{x,p) + ^ + ^^^+...+^-_^l_^y
Uit deze laatste formule blijkt, dat (7) ook aldus geschreven kan worden
V^ {x,p) = lira -- j w{x-\- n, p) -\- w {x , p)\ ,
of
In^-p 1
n =00 \ i- — p
waarvoor men verder mag schrijven
0 = hm - — -^r^-- w{x-\-n,p)],
n = ao\ J- p I
want het verschil
{x-^-ny-v — X _ w^-P — 1
1 — p 1 — p
convergeert voor n = oo tôt nul. Voor j9 > 1 en voor p = 1 ziet men
dit dadelijk, en wanneer p tusschen 0 en 1 ligt, blijkt het uit
1 — p 1—p ~j uP J uf "J wP ~ (w + ex)p'
0 On
(O<0<1)
Vervangt men nu nog n-\-x door x, dan volgt
(10) \\mJ^'-^^^-rp{x, p)) = 0.
Door nu (8) door k te deelen volgt
^ [v^(^, jp) + ¥ (^ + y , p) + • • • + V (^ + -^ ' p)\ =
EEN EN ANDER OVER EENE BEPAALDE INTEGRAAL. 25
Is nu X positief en 0<p^l, dan volgt hieruit voor A =00, op
(10) lettende
(11) f^p{x-\-u,p)du = ^ _~ ,
0 ^
{x>0, 0<pgl)
Stelt men in de formule , waaruit dit door grensovergang afgeleid
werd, x= rr en daarna A; = 00, dan blijkt, dat de formule (11) 00k
nog geldt voor x=:0.
Uit deze formule (11) ontstaat nu voor p=l de formule (6).
Ik eindig met eenige verdere opmerkingen omtrent de functie rp {x,p).
Is x positief, dan kan ?/; {x, p) door eene bepaalde integraal uitge-
drukt worden
(12) . . . yM = j^^j {-^-î^e-'u^-^d».
0
waaruit men weder verdere ontwikkelingen kan afleiden, bijv.
(13) . . y,(^,p)=y,(ï,p) + jl-.l'l^^{lOg^lJ~'dU,
0
(H)v.(..,p)=-^^-24,-ïJ^f(ï^-i-|>-«''-'^«.
0
Men kan namelijk, wanneer x positief is, de formule (7) herleiden
door —, T-j^Y\p ^"^' ^^^ bepaalde integralen teschrijven vanden vorm
aP r{p)J
0
en eveneens de eerste term
n^-p — 1 1 ;-ooe-«_e-n"
uP-^du.
1 1^
ÏP)J
0
1-p ~rip)
Deze laatste formule ontstaat uit de voorafgaande , door met da te
vermenigvuldigen, en tusschen degrenzen a=:len a = wteintegreeren.
Op deze wijze vindt men, na eenige herleiding, de formule (12),
waaruit (13) en (14) gemakkelijk volgen.
De formule (14), waaruit men dadelijk weder tôt (10) besluiten
kan, levert 00k eene half-convergente reeks voor v{x,p) die men
trouwens 00k onmiddellijk uit (7) zou kunnen afleiden door toepassing
van eene bekende formule van Maclaurin.
II.
(Amsterdam, Nieuw Arch. Wisk. , 4, 1878, 100 — 104.)
(traduction)
ri
Remarques sur l'intégrale / \og r {x -{- u) du.
0
Je me propose de faire voir ici , que la valeur de cette intégrale peut
être trouvée par une application immédiate de la définition ordinaire
de l'intégrale définie. J'ajouterai quelques remarques à propos d'une
fonction qui dans un cas particulier se réduit à la dérivée de \ogr{x).
La valeur de l'intégrale écrite ci-dessus est connue; c'est la suivante^)
(1) . . . . f logF {x-\-u} du =l\og2ji-\- xlogx — x.
0
Dans ces expressions x a par hypothèse une valeur positive ou nulle.
Dans ce dernier cas on a
(2) flogr{u)du = l-\og2n.
0
Pour î^ = 0, l'expression log r{u) qui figure dans la dernière intégrale
devient infinie, mais la formule
f log r (m) du= j log r{u-{- l)du — 1 log u du
00 0
montre que cette intégrale a néanmoins une valeur finie qui se déduit
de cette formule. En effet , la première intégrale du second membre
vaut l log 271 — 1 d'après la formule (1) , et la seconde vaut — 1.
Je suppose maintenant x positif et je pars des formules connues
(3) . r(a;)r(a; + |)r(a; + |)..r(x + ^^):-n-- + M2-)'ï^/^(M,
a
(4) .... \ogr{x) = ^\og27i-{-{x—l)\ogx — x-\r^j^-
(0 < 0 < 1)
1) Voir Bierens de Haan, Tables d'intégrales définies.
REMARQUES SUR UNE I^^^ÉGRALE DÉFINIE. 27
La formule (4) donne le développement ordinaire de logr(a;) en
une série semi-convergente , limitée aux premiers termes.
Il résulte de (3)
(5) 1 [log r{x) + log /^(o; + -i) + . . . + log r(x + '^\=
= (I ^ 2nj ^"^ 2- - (:r - ^) log n + 1 log r{nx).
Pour w =: 00 le premier membre devient
/ \o%r{x-\-u)du,
0
et la limite du second membre est aisément trouvée à l'aide de (4).
Je commence par traiter le cas x=. — . Dans ce cas spécial la
formule (3) peut être déduite beaucoup plus facilement que dans le
cas général: il suffît alors d'employer la formule
r{x)r{i-x) = -A-'
Au lieu de (5) on trouve alors
i[iogr(l) + iogr(l) + ... + iogr(^)]=(l-i-)iog 2.-1^ log»
et pour a; =00 on obtient la formule (2).
Dans le cas général le second membre de (5) devient d'après la
formule (4)
= llog2.+ (^-4)log:.-^ + y2^
et pour n=:oo on trouve la formule (1).
En différentiant la formule (1) par rapport à rc, on trouve
(6) i \p{x-\-u)du=^\ozx,
0
oii l'on a posé
^logr(:r) = v^(a;).
Cette formule (6) permet de retrouver la formule (l); en effet, en
intégrant par rapport à a;, on en tire
log r(a; -}- w) dM = C + o; log x — x.
I
0
28 REMARQUES SUR UNE INTEGRALE DÉFINIE.
L'hypothèse .t = 0 ou x^l peut servir à la détermination de la
constante C, si l'on suppose la formule (2) connue. Quant à cette
dernière, elle peut être trouvée assez facilement, comme nous l'avons
fait remarquer plus haut.
La formule (6) est un cas particulier d'une formule plus générale.
En effet, si l'on prend une fonction y){x,p), définie par l'équation
(7) y.i,,p) = nmf-^^-^^^-^^-...--^^
{p>0, x>0)
ce qui pour p = \ prend la forme
y) {x, 1) =3 lim log w ,-— - — . . . , - — ,-
^ n.=ool X x-\-l x-]-n— l
et, pour p > 1, la forme
il est aisé de voir que v' {x, p) a réellement une valeur finie. De plus
la fonction y) {x, 1) est identique à celle que nous avons désignée plus
haut par y) {x).
Il n'est pas même nécessaire de supposer toujours a; > 0 , pour
qu'on ait affaire à des fonctions réelles; dans l'équation qui définit
xp {x, 1) par exemple , x peut fort bien devenir négatif.
Lorsque k est un nombre entier positif, il s'ensuit de (7)
W {x, p) ^- w\x^-^,p\ + W\oo-^-j^,p\ -{-... -\-W \x-^-^,p\ =
n=o= \ 1—p {kx}P {kx-{-iy '" {kx-\-nk—l)P 1—p
ou
(8) yj{x,p)-i-xpl^X-\-j^-,p^-\-...-i-yj(^X+-^,p^ = hp{ip{kx,p) ïzFf)
ce qui apparaît immédiatement , si dans (7) on remplace x par kx
et n par kn. Pour ^ = 1 cette formule (8) se transforme en une autre
qu'on obtient aussi en partant de (5) , si l'on multiplie cette dernière
par n et qu'on la dérive ensuite par rapport à x. Si l'on divise (8)
par k et qu'on pose ensuite k = oo , le premier membre se change en
ri
/ V {x-\-u, p) du.
0
REMARQUES SUR UNE INTEGRALE DEFINIE. 29
Mais avant d'examiner ce que devient alors le second membre, je dois
commencer par établir quelques autres propriétés de la fonction tp (a;, p).
De la formule (7) qui définit la fonction y) {x, p), on tire immédiatement
rp{x-\-l,p) = y^{x,p)-\- — ,
et plus généralement
(9) xp{x-\-k,p) = ip {x, p) + -- -f- . ...^ + . . .
xP ' (x~\-l)P ' ' ' ' {x-\-k — i)P
Cette dernière formule fait voir qu'au lieu de (7) on peut également
écrire
ou
xp {x, p) = lini [— y>{x + n, p) + w {x, p)],
[n^-p 1 \
0 = \\my^^~— v' {x + w, !>))•
Cette dernière équation peut être remplacée par
0 = lim (<--+-f '^ ■zl-^(^ + n.p)\
n = oo\ -»• — p I
En effet, la différence
(a; + w)i-P — 1 ni-P — 1
\—p 1 — p
converge vers zéro pour w=:oc. On le voit immédiatement pour^ > 1
et pour ^ = 1 ; lorsque p est entre 0 et 1 , la vérité de cette proposition
ressort du calcul suivant:
(rr4- w)i-P— l n^-P — l _ r^ + "dM_ Ç'dn _ r'' + ''du_ x
T^^ \::^p'~~J uP I uP~J MP"~(n + 0aÔp'
0 On
(0<Ô<1)
En remplaçant encore n-\-x par x, on en tire
(10) \im('''^^-wix,p)) = 0.
x = oo \ -»■ P I
En divisant ensuite (8) par k, on obtient
y [v C^, p) + V^ (^ + -^ . p) + . • • 4- V (^ + ^^ ' P)J =
30 REMARQUES SUR UNE INTEGRALE DÉFINIE.
Si l'on suppose x positif et 0<p^l, il s'ensuit pour A =00, eu
égard à la formule (10),
(11) 1 ip{x-{-u,p)du=~ — ^^^.
0
{x>0, 0<p^l)
La formule (11) est valable aussi pour x^O; pour le démontrer,
il faut poser x = j-, et ensuite k = co dans la formule, de laquelle
nous venons de dériver la formule (11) en passant à la limite.
Or, pour p = l, la formule (11) se transforme en la formule (6).
Je termine en faisant encore quelques remarques au sujet de la
fonction tp {x, p).
Lorsque x est positif, tp (x, p) peut être exprimée par une intégrale
définie
1 /"<» / 1 tf — (a;— 1)M\
(12) . . . W.,P) = j^^/ (l-i-_)a-«„.-.«,
0
d'où l'on peut tirer entre autres les développements suivants
(13) . .^(.,p) = v-(l,p) + ^/l^^'(logJ:)^-'du,
6
(i4)v.(...)=^:-^-i-^-^/"(-f^-i-l).-«"«-..».
0
En effet, lorsque x est positif, on peut réduire la formule (7) en
écrivant — , -Lup' ^^^' ^^"^ forme d'intégrales définies: on sait que
uP-^du.
On a de même pour le premier terme
n^-P — 1 1 roog-M — g-nu
l-p -T{p)j û
0
Cette dernière formule se tire de l'avant-dernière, lorsqu'on multi-
plie celle-ci par da et qu'on intègre entre les limites a = 1 eta = *î.
On trouve ainsi, après quelques réductions, la formule (12), d'où
(13) et (14) suivent aisément.
La formule (14), d'où l'on peut conclure immédiatement à la for-
mule (10) , donne aussi une série semi-convergente pour ^) {x, p), série
que d'ailleurs on pourrait également tirer de (7) en appliquant une
formule connue de Maclaurin.
III.
(J. Math., Berlin, 89, 1880, 343—344.)
Notiz uber einen elementaren Algorithmus.
Es seien a^, «2- - • -y cik réelle Zahlen , M^ ihr arithmetisches Mittel ,
Mg das arithmetische Mittel aller Producte aus je zwei verschiedenen
dieser Zahlen , Mg das arithmetische Mittel aller Producte aus je drei
verschiedenen dieser Zahlen u. s. w. Die letzte der auf dièse Weise
zu bildenden Grôssen ist M^^ = a^ ag . . . au- Es soll ferner festgesetzt
werden Mq = 1 •
Im Allgemeinen ist dann
M^-Mp-iMp + i
(p=i,2,...,;c — 1)
positiv; genauer gefasst: dieser Ausdruck wird nie negativ und nur
dann gleich Null , wenn entweder sâmmtliche Zahlen a^, Og, . . ., a^t ein-
ander gleich sind, oder wenn mindestens k — p -{- \ dieser Zahlen
gleich Null sind. Im letzteren Falle ist offenbar Mp = Mp-i-i = 0.
Sind jetzt die Zahlen a^, a^. •••? (^k sâmmtlich positiv und setzt man
""^^ Mp_i '
(P=:l,2, ...,/fc)
so ist nach obigem Satz
wobei der Fall , in welchem die Zahlen a^^a^, . . .,ak sâmmtlich einander
gleich sind, ausgeschlossen werden mag.
Weiter ist
a, Oo . . . Or = a, Oo . . . flAi
32 NOTIZ UEBER EINEN ELEMENTAREN ALGORITHMUS.
und wenn von den Zahlen a^, a^, . . .,«* keine yo^ und keine <,ak ist,
^~ k = k '
k
cik = -^ -, — ,- > Qk,
±^±-^,,,^±
«1 tta ' ' Ok
folglich :
0 < ai — flfc < — V-- (»! — Ok).
Durch wiederholte Anwendung der Opération, durch welche die
Zahlen a[, a^, . . .,alf aus ai,a2, ...,«& hergeleitet wurden , erhalt man also
Gruppen von k Zahlen , deren Product unverândert bleibt , wahrend
sie sich unbegrenzt einander nahern Die Zahlen einer Gruppe
convergiren also sâmmtlich gegen die Grenze (a^ a^ . . . ca:)^.
Bezeichnet man die Zahlen der n^^n abgeleiteten Gruppe mit
(p=l,2,...,A;)
so werden die Differenzen
rt (w) ^ (n)
{p = l,2,...,k—l)
welche sich beliebig der Null nâhern , immer mehr einander gleich,
sodass das Verhaltniss von je zwei dieser Differenzen (fur dasselbe n)
fur n = 00 die Einheit zur Grenze hat.
IV.
(Amsterdam, Versl. K. Akad. Wet. , i* sect , sér. 2, 17,
1882, 239—254.)
Over Lagrange^s Interpolatieformule.
1. De gewoonlijk aldus genoemde formule leert de geheele rationale
functie van x , van den n — 1^**" graad hoogstens , die voor de n
bijzondere waarden x = x^, x = X2, . . ., x=:Xn met eene willekeurige
functie f{x) in waarde overeenkomt, onder den volgenden vorm
kennen
(p(x)
^,{X-X,)cp'{x,)^^^^'
waarin
q, (x) = {X — X^) {x — X2) . . .{x — Xn)
en ç>' {x) als gewoonlijk, de afgeleide functie van q){x) voorstelt.
Is de functie f{x) zelf geheel rationaal, van niet hoogeren dan den
n — 1*'^° graad , dan is identiek
In het algemeen echter moet deze formule aangevuld worden door
eene rest, evenals dit bij het theorema van Taylor het geval is.
In het 84"*^ deel van het Journal fur die reine und angewandte
Mathematik, heeft Hermite (p. 70 e. v.) den volledigen analytischen
vorm van deze rest als eene bepaalde integraal gegeven en vvel
onder twee verschillende gedaanten ; als grensgeval ligt in deze for-
mulen ook de rest van de reeks van Taylor opgesloten.
Evenals men onmiddellijk uit de bepaalde integraal , die de vol-
3
34 OVER lagrange's interpolatieformule.
ledige rest van de reeks van Taylor voorsteit, den restvorm van
Lagrange^) kan afleiden, kan men ook een analogen restvorm voor de
interpolatieformule van Lagrange uit de veelvoudige integraal af-
leiden, waaronder Hermite de rest voorsteit Maar, evenals men
veeltijds deze vereenvoudigde rest bij de reeks van Taylor afleidt
zonder van de hulpmiddelen der integraalrekening gebruik te maken,
kan men hetzelfde ook voor den analogen restvorm van de inter-
polatieformule verlangen. Eene zoodanige ontwikkeling wordt in
het volgende gegeven.
Ik merk nog op dat, hoewel de hier verkregen restvorm gemakkelijk
uit Hermite's formule afgeleid kan worden , deze toch niet dezen
vereenvoudigden restvorm gegeven heeft. Het is hiertoe noodig eene
élémentaire eigenschap van bepaalde enkelvoudige integralen tôt veel-
voudige integralen uit te breiden , wat echter geen bezwaar ontmoet.
De te bewijzen formule kan aldus geschreven worden
waarin ^ eene waarde heeft, gelegen tusschen het grootste en het
kleinste der getallen x, ooi, . . ., ocn.
Hierbij moet ondersteld worden , dat de functie f{x) evenals
/■'(2), f"{z), . . ., f^~'^{z) eindig en continu zijn voor aile waarden van z,
gelegen tusschen x, x^, . . ., Xn en dat voor dezelfde waardei) van z de
functie /"" - ^ {z) een eindig en bepaald differentiaalquotiënt f^ {z) heeft.
De formule (1) neemt een meer eleganten vorm aan, wanneer men
er /""(l) uit afzondert; men overtuigt zich gemakkelijk, dat ze alsdan
deze gedaante aanneemt
(o^ /•(x) f{x,) f{Xo} I fM _ 1 .^^,.
^^^ ' ' ' w'{xyw'{x^Vw'{x2V"'^W'{Xn) 1.2. 3. ..m' ^^^'
waarin
^) {z) ^={Z — X){Z — X^) {z — Xo}...{z — Xn).
Men herkent hierin eene uitbreiding van de voor w = 1 ontstane
élémentaire formule
f{x) — f{x^) _ , ^^.
') Théorie des fonctions analytiques. Eerste editie (1797) p. 49,
OVER LAGRANGE'S INTERPOL ATIEFORMULE . 85
2. Het bewijs van de formule (1) berust nu op de volgende hulp-
stelling :
„ Wanneer de functie Gr (z) voor de n -f- 1 verschillende waarden
z = x, z = X]^, . . ., z =zxn de waarde nul aanneemt, dan neemt het n^*
difîferentiaalquotiënt G" (z) de waarde nul aan voor eene waarde z = ^,
gelegen tusschen het grootste en het kleinste der getallen x, x^, . . ., Xn-"
Ondersteld wordt hierbij , dat G (s), G'(2), . . ., G'»-^^) eindig en
continu zijn voor aile waarden van z gelegen tusschen x^x^, ...,^n,
en dat voor dezelfde waarden wan z de functie Q^-^{z) een eindig
en bepaald differentiaalquotiënt Q»{z) heeft.
Voor w = 1 is dit een bekend theorema , waaromtrent het voldoende
is te verwijzen naar Dini , Fondamenti per la teoria délie funzioni di
variabili reali, p. 70.
Het bewijs van dit theorema, evenals dat van eenige nauw ver-
wante, zooals het in de nog meest gangbare leerboeken voorkomt,
bijv, Serret, Cours de calcul différentiel et intégral , bevat eene leemte,
die eerst aangevuld werd door eenige onderzoekingen van Weierstrass;
men zie Dini, p. 43 — 51. Weierstrass zelfschijnt van deze onderzoe-
kingen omirent de grondslagen der functieleer niets gepubliceerd te
hebben.
Het is vooral noodig op te merken , dat in het eenvoudigste geval
n = l de grootheid | tusschen x en x^^ ligt , en verschillend zoowel
van x als van x^ aangenomen mag worden.
Het bewijs van de hulpstelling in het algemeene geval volgt nu
onmiddellijk uit de waarheid in het eenvoudigste geval w:=l. Is
namelijk n = 2, dus
(}{x) = 0, G{xi) = 0, G{Xo) = 0,
dan kan men onderstellen
X<Xi< x^
en men heeft dan
G'(fi)==0, x<^^<x^
G'(|,) = 0, x^<^.^<x,
en hieruit door nog eens het theorema voor n = i toe te passen
G"(|) = 0. ^i<l<^2
Men kan op deze wijze voortgaan , en het blijkt dan tevens, dat
36 OVER lagrange's interpolatieformule.
in het algemeene geval | ondersteld mag worden niet gelijk te zijn
noch aan het grootste, noch aan het kleinste der getallen x,Xi, ...,0Cn.
De voorvvaarden van continuiteit en differentieerbaarheid , die men aan
de functie G {z) en de afgeleide functies moet stellen , volgen zonder
moeite uit die, welke voor het geval n=i gesteld moeten worden.
3. Het bewijs van de formule (1) kan nu aldus gevoerd worden.
Ter bekorting moge het interpolatiepolynomium van Lagrangedoor
F (x) aangeduid worden , zoodat
(3) F{x)=y^-, -^^-vfM-
p = \
Onder de waarden x^, x^, . . .^Xn komen geen twee gelijke voor, en
daar de functiën Y {x) en f{x) voor ic ^ rc^, rc = a;,, . . .., x^=Xn dezelfde
waarden aannemen, en het ons te doen is om in het algemeen een be-
knopten vorm van het verschil f{x) — F {x) te vinden , zoo kunnen wij
hierbij zonder nadeel de onderstelling maken, dat de waarde a; niet
samenvalt met een der waarden x^, rrg, . . ., Xn-
Dit aangenomen, zij
(4) . . . . f{x) = Y{x)-\-{x — x^){x — x^).,.{x — Xn)'^.
De waarde van R is dan hierdoor volkomen bepaald. Terwijl nu
verder, voor een oogenblik, x,x^, . . ., ^„ als constanten gedacht wor-
den en z eene nieuwe veranderlijke is, beschouwen wij de functie
(5) . . Ç^{z) = —f{z)-\-¥{z)-\-{z — x,){z-x,y..{z — Xn)B.,
waarin dus R de door (4) volkomen bepaalde, van ^ onafhankelijke
waarde heeft.
Blijkbaar is nu, niet alleen
a(a;) = 0,
maar ook
■G(:ri)^0, G(:C2) = 0, ..., G(a;„) = 0,
waaruit dus volgens de hulpstelling van art. 2 volgt
(6) G«(|) = 0,
waarin | eene waarde heeft gelegen tusschen het grootste en het kleinste
der getallen x, x^^, . . ., Xn- Maar daar F{z) hoogstens van den n — 1'^'="
OVER lagrange's interpolatieformule. 87
graad in -s is , valt bij de w-voudige differentiatie van (5) F (z) weg ,
en is
G" (2r) = — /^" (2) + 1 . 2 . 3 . . . w . R.
Wegens (6) volgt nu
en dit in (4) gesubstitueerd geeft
waarmede het bewijs van de formule (1) geleverd is.
4. Wanneer men in de nu 00k bewezen formule (2) de steeds
ongelijke getallen x, x^, ..., Xn allen tôt eenzelfde limiet X laat con-
vergeeren , dan volgt
^ ' \rp {X) ^ W {x^) ' w {^)\ \.2...n' ^ '
Behalve de onderstellingen die voor de geldigheid der formulen (l)
en (2) gemaakt moeten worden , moet bij deze laatste formule boven-
dien nog f^{x) voor a; = X continu zijn, daar men anders niet kan
besluiten, dat /*"(!) bij convergentie van | tôt X, tôt de limiet /""(X)
convergeert.
Deze formule (7). die dus in het geval, dat f^{x) voor a; = X continu
is, eene directe algemeene definitie van het n^" differentiaalquotiênt
van eene functie f{x) geeft , schijnt nog niet in de hier gegeven alge-
meenheid bewezen te zijn Wel komt zij voor in het uitstekende
werk van Lipschitsch , Differential- und Integralrechnung, p. 204 ,
Form. 20, maar bij het daar voorkomende bewijs moet men onder-
stellen, dat x^x-^, . . ., Xn bij hunne convergentie tôt de limiet X, behalve
dat zij steeds ongelijk blijven, nog aan andere condities moeten vol-
doen, die hier overbodig blijken. Zie t. a. p. p. 203, regel 6 v. o.
En verder is daar het bestaan van een eindig en continu n + 1*'*
differentiaalquotiënt aangenomen. Ook deze conditie ligt stellig in
het geheel niet in den aard der zaak, en nadat Weierstrass continue
functies heeft leeren kennen, die niet differentieerbaar zijn , zou niets
38 OVER lagrange's interpolatieformule.
gemakkelijker zijn dan functiën op te stellen , voor welke de formule (7)
geldig is , maar waarbij van geen n + 1"** differentiaalquotiënt sprake
kan zijn^)
5. De overeenkomst van de formule (1) met het theorema van
Taylor valt nog meer in het oog, wanneer men het polynomium Y{x)
niet voorstelt onder de élégante en symmetrieke gedaante door
Lagrange gegeven , maar onder den vorm, dien Newton in het 3** Boek
der Principia bij gelegenheid van zijne behandeling van het kometen-
probleem geeft.
De formule (1) neemt dan namelijk deze gedaante aan
(8) . . . f{x) = A^-j-A2{x — x^)-i-As{x — x{){x — X2)-{-..
-{- An{X — X^) {X — X2)...{x — Xn-l)-{-
. {X — Xi) {X — X2) . . .{X — Xn)
Hierin is
en algemeen
1.2.3...« ^'"'(«•
i / V 1/ ' Û /y. /y% I /y, ^y.
Jyi^ ■"" U/2 *A^2 *^1
(9) \ ^ "P'p M "P'p (^2) ç^'p M'
I (pp (z) ^{Z — X^) {Z — X2) . . .{Z — Xp).
Newton geeft niet explicite deze algemeene uitdrukking voor Ap,
maar wel de volgende rekenvoorschriften om achtereenvolgens A^, Ag, ...
te berekenen :
Ai-A(^i),
A.-^^-^^
X2 x^
A Bo — Ap ,
Ao= — = -, A.=:
' % - ^1 ' *
B3 — A3
x^ — x^'
B,=r{x2),
B. ^^-^^
XS-X2'
13 _ Cg — Bg
X4 Xg
Ci=A^3),
P _ Di - Cl
...
T)i=nx,),
...
1} Men zie J. Math , Berlin, 79, p. 29 e. v., 00k 90, p. 221.
OVER LAGRANGES INTERPOLATIEFORMULE. 89
Stelt men deze grootheden , zooals zij achtereenvolgens gevonden
worden , aldus te zamen
Al
A2
Bi A3
(10) ( B, A,,
Cl Bq
G
dan komt deze berekening geheel overeen met die van de gewone
interpolatie in het geval, dat rr^, ccg, . . ,rcneenerekenkunstigereeksvor-
men, met deze geringe wijziging, dat de 1»'*, 2''% 3''%... rijen van
verschillen hier respectieve door de factoren l.(x2 — x^), 1.2.{x2—Xif,
1 . 2 . 3 . (xg — Xif . . . gedeeld voorkomen.
Volgens de formule (2) is
^-=1.2.8..'.(p-l)^'-'(^^)'
waarin fp eene waarde heeftgelegen tusschen hetgrootsteen het kleinste
der getallen Xi, X2, . . ., Xp. Laat men dus in de formule (8) x^, x^, - - .,Xn
tôt eenzelfde limiet convergeeren , dan ontstaat onmiddellijk de for-
mule van Taylor met den restvorm van Lagrange.
6. De Newton'sche vorm van het interpolatiepolynomium
F {x) = Al + A2 (a; — x^ + A3 {x—x^) {x — x^-\-'-'
-\- kn{x — ^i) {X — X<,)...{x — Xn- l)
heeft boven dien van Lagrange 00k nog dit voordeel , dat hij onmid-
dellijk doet zien welken vorm F (a;) aanneemt, wanneer er onder de
grootheden x^^ x^^ - . . ^ Xn sommige tôt eenzelfde limiet convergeeren
of gelijk gesteld worden.
Convergeeren namelijk x^^ x^^ . . ., rcp tôt de limiet X, dan is volgens
(9) en (7)
en daar aile in het tableau (10) voorkomende grootheden op dezelfde
wijze als A^ samengesteld zijn , zoo kan men 00k onmiddellijk in
40 OVER lagrange's interpolatieformule.
dit geval het geheele tableau (10) vormen. Men ziet namelijk gemak-
kelijk, dat men hierbij , om onbepaalde uitdrukkingen — te ontgaan,
slechts die grootheden x^y x^, . . ., a-» , welke ten slotte gelijk gesteld
worden, onmiddellijk op elkaar behoeft te laten volgen. Men heeft dan
verder de formule (11) en Newton's voorschriften te volgen om het
geheele tableau te verkrijgen. Werden dus bijv. x^, x^, . . ., xp allen
gelijk X, dan moet men in dit geval bekend onderstellen
AX),r(x), ...,rp-Hx).
Hierin schijnt dan ook de meest geschikte méthode te bestaan ,
om het polynomium van den laagst mogelijken graad H (a;) te vormen,
dat aan deze voorwaarden voldoet
(12)
H{x,)=r{x,), U'{x,) = f'{x,), ,H''.-i(^i) = r'-M^i).
H {x,)=r{x,), H' {x,)=r{x,), , H"«- 1 {x,)=r'-' {x,).
E{Xn)=nXn), R'iXn)=r{Xn), , H"- M^«) = T" " M^n),
welk polynomium R{x) hoogstens is van den graad k — 1 voor
A; = a^ -|- «2 + • • • «"•
Men verkrijgt op de boven beschreven wijze dit polynomium H (x)
onder dezen vorm
l{{x) = A-\-Bix—x^)-^C{x-x^f-\-.. .-\-L{x — x^Y^ + M{x—x^r^{x—X2)-\-..
. . .-{-R{x — rr^)"' {x — X2)''* . . . {x — Xn-i)""-^ {x — Xn) "» " ^
waarin de constanten A, B, C, . . ., R onmiddellijk aan het tableau (10)
ontleend kunnen worden.
7. Voor het verschil f{x) — H (x) bestaat weder eene eenvoudige uit-
drukking, en daar hierin eene verdere uitbreiding ligt van de formule
(1), zoo moge de hierop betrekking hebbende ontwikkeling nog in
't kort geschetst worden. Hetzal, na het voorgaande, overbodig zijn
de condities, waaraan men f(x) te onderwerpen heeft, hierbij in extenso
te vermelden.
In de eerste plaats dan is het noodig de hulpstelling van art. 2 aldus
uit te breiden ;
OVER LAGRANGE'S INTERPOL ATIEFOR MULE. 41
Voldoet eene functie G (z) aan de condities
Q(x) = 0, Gc'{x) = 0, ..., G°-i(^) = 0,
G(y) = 0, G'{y) = 0, . . ., Gl^-Uy) = 0,
G{z)=0, G'{z)=0, ..., Gr-i(s)=0,
a-\- ^ -{-y ... = n
waarvan het aantal
bedraagt , dan is
waarin | gelegen is tusschen de grootste en de kleinste der ongelijke
waarden x, y, z, . , .
Na hetgeen in art. 2 gezegd is, schijnt het niet noodig, bij het
bewijs hiervan lang stil te staan. Men kan eerst het geval, dat het
grootste der getallen a, /5, ^, . . . twee is, beschouwen, en vervolgens
voor dit grootste onder die getallen 3,4,5,... aannemen.
8. Zij nu H (x) het polynomium van den k — l'*"" graad hoogstens,
dat aan de condities (12) voldoet, en
(13) . . . f{x) = Rix)-{-{x — x,r^ix — X2V>..Ax — Xn)"''R
dan is, x verschillend van x^, x^, . , ., Xn ondersteld, de waarde van R
hierdoor volkomen bepaald. Beschouwt men nu verder de functie
G{z) = — fi2)-\-iî iz) -\-{z — a^i)"' {z — x^r* ...{z — Xn^'B,,
dan is blijkbaar niet alleen
G ix) = 0,
maar ook
G(a;i) = 0, G'{x^) = 0, . . ., G«'-i(a:i) = 0 ,
G(a;2) = 0, G'(X2) = 0, ..., G''>-Hx2) = 0,
G{Xn)=0, G'{Xn)=0, ..., G'"'-HXn) = 0,
en derhalve
G*(|) = 0,
maar, daar H (z) hoogstens van den k — !•*" graad is , heeft men
G * (s) = — /"M^) 4- 1 . 2 . 3 . . . A . R
42 OVER lagrange's interpolatieformule.
en ten slotte
(14)
Hierin ligt I tusschen het grootste en het kleinste der getallen
X j iCj, . . .) OCh'
In deze formule Hggen zoowel de reeks van Taylor als de formule
van Lagrange , door een restterm aangevuld , als bijzondere gevallen
opgesloten.
In de aangehaalde verhandeling stelt Hermite ook voor dit geval
het verschil f{x) — H {x) met behulp van bepaalde integralen voor.
9. Het algemeenste resultaat, dat door de in het voorgaande ont-
wikkelde méthode verkregen kan worden, schijnt het volgende te zijn.
Laten f{x) en H(a;) dezelfde beteekenis behouden als in art. 6—8,
verder fy^{x) eene nieuwe functie van x zijn en 'H.^{x) die rationale functie
van X van den k — 1»^^" graad hoogstens, die aan de condities (12) vol-
doet, wanneer men daarin de functie /"(rc) door fi{x) vervangt. Zij nu
(15) f{x) = R{x)-\-U{f,{x)-^,{x)).
Zal de waarde van R hierdoor op ondubbelzinnige wijze bepaald zijn,
dan moet x niet alleen van x^^ X2, . . ., Xn verschillen, maar bovendien
mag niet /i(x) — B^{x) = 0 worden.
Dit nu onderstellende , zij
G {z) =f{,)-}îiz)-R if, (0) - E, (z)) ,
dan is niet alleen
G{X)=:0,
maar ook
G(a;i)=0, G'{x{)=0, ..., G".-i(^i)=0,
en dus volgens art. 7
maar daar R^{z) en Hi*(2) identiek nul zijn, zal
Q>^{z)=fHz)-Rr,H2)
OVER lagrange's interpolatiéformule. 43
worden en derhalve heeft men
of wel
(16) nx)=E(x)-{.{r,ix)-iî,{x))^.
Deze algemeene formule gaat onmiddellijk in de formule (14) over,
wanneer men aanneemt
A(^) = ^.
Dan wordt namelijk
/•* (a;) = 1 . 2 . 3 . . . A
en zooals dadelijk te zien is
/; (X) - Hi (X) = {X — X^)''^{X — X^y* ...{X — Xn)"'.
NASCHRIFT.
Dat er altijd één en niet meer dan één functie H (x) bestaat , die
aan de condities (12) voldoet, en hoogstens van den A — P'" graad in
X is, kan onmiddellijk aldus aangetoond worden.
H{x) = aQ-\-aiX-{- a^x^ -j" ••• + «*- 1^* ~ S
dan heeft men ter bepaling van de k onbekenden ao, a^, . . ., Ok-i de
volgende k linéaire vergelijkingen
aQ-\-x^a^-\-x^a^-\- -]- x\-^ak-i=f (x^)
lai + 2a;ia24- -\-{k—\)x\-''ak-i=r(x{)
1.2. «2 + . . . . -{-{k—\)(k-2)x\-^ak-i=f"{x^)
(ai— l)!a„,_i+.. 4-(A-l)(A — 2)...(A — ai + l)a;*-'''flA_i =
=r^-Hx^)
OoH-^2«i4-^2''^a2 + -\-x\-^aic-\=f {x^)
l.ai4-2a;2«2 + ■\-{k---\)xl-^aic-i = f'{x^)
De te bewijzen stelling bestaat nu daarin , dat aan dit stelsel ver-
gelijkingen steeds door één en door niet meer dan één stelsel van
waarden voor Oq, a^, . . ., a*- 1 voldaan kan worden.
44
OVER LAGRANGE S INTERPOLATIEFORMULE.
Vooreerst is nu op te merken, dat het systeem (A) nooit meer dan
één oplossing kan toelaten , want waren er bijv. twee oplossingen ,
dan zoude men dus twee verschillende functies G (x) en H (x) hebben,
die beide aan de voorwaarden , in (12) uitgedrukt , voldoen en die beide
van den k — P'«" graad hoogstens zijn. Dit nu is onmogelijk, want
uit die vergeîijkingen (12) zou volgen , dat het verschil
Gix) — E.{x)
algebraïsch deelbaar is door de uitdrukking van den A;''*" graad
{x — X^Y' {x — X2)"* ...{x — Xn)"".
In de tweede plaats is het évident, dat aan (A) door de waarden
ao = 0, ai = 0, 02 = 0, . . ., ak-i=^0
voldaan wordt zoodra de tweede leden der vergeîijkingen gelijk nul
gesteld worden, en na het bovenstaande is dit 00k de eenige oplossing
in dit geval
Uit de théorie der linéaire vergeîijkingen volgt nu onmiddellijk, dat
de déterminant van het stelsel vergeîijkingen (A) niet gelijk nul is, want
uit die théorie is bekend, dat zoodra deze déterminant gelijk nul is, aan
de vergeîijkingen (A), nadat daarin voor de tweede leden overal de
waarde nul genomen is, voldaan kan worden door een stelsel waarden
a^, ai, . . ., ttk-i, die niet allen gelijk nul zijn, wat in strijd zoude zijn
met het boven bewezene.
Uit het niet gelijk nul zijn van den déterminant van het stelsel ver-
geîijkingen (A), volgt nu onmiddellijk, dat aan dit stelsel , bij wille-
keurige waarden der tweede leden, steeds door een enkel stelsel van
waarden Œq, ai, . . ., a^-i voldaan kan worden.
Men kan overigens de waarde van dien déterminant gemakkelijk
aangeven.
Wanneer men namelijk in onderstaande bekende identiteit
1 a
I b
le
6*-
= {b — a){c — a) {d — a)
{c — b){d — b)
id — c)
iq — a)
iq-b)
iq — c)
iq—p)
OVER LAGRANGE'S INTERPOLATIEFORMULE.
45
de a^ eerste der grootheden a, b, c, . . .,p, q tôt de limiet Xi, de Og
volgende tôt de limiet X2 enz. laat convergeeren , de horizontale rijen
op passende wijze transformeert , waarbij men te deelen heeft door
de factoren die ten slotte gelijk nul worden, en voorts bij den grens-
overgang van de formule (7) gebruik maakt, verkrijgt men de
navolgende waarde voor den déterminant van het stelsel verge-
lijkingen (A)
0 ! 1 ! 2 ! ... (ai — 1) ! (0:2 — Xi)"'"» (a^g — x^y^"» . . . (a:„ — Xi)"'"»
0!l!2!...(a2— 1)!
(^ — x^)"'"» . . . {Xn — x^y*"^
0Il!2!...(a„— 1)1
{Xn— Xn-l)
De geheele bewerking blijkt genoegzaam uit het volgende bij-
zondere geval
k = b, M = 2, a^ = 3, 00 = 2.
Hier heeft men
1 a a^ a^ a*
1 6 62 63 54
l c c^ c^ c^
l d cP d^ d^
1 e e2 63 ^4
1 a a^ a^ a*
^0 ^1 h '3 h
Uq Ml U2 W3 u^
\ d d^ d^ d^
Vo Vi Vo Vo V.
X (6-a)(c — a)(c — 6)(e — rf)
waarin
a»- 6»"
a — 6 ' 6 — a
a»"
+
(a — 6)(a — c) ' (6 — a)(6 — c)^(c — a)(c — 6)'
(r = 0, 1, 2, 3, 4)
46
OVER LAGRANGE S INTERPOLATIEFORMULE.
Derhalve
is
1
a
a2
a^
a*
to
h
h
h
^4
Wo
Ml
W2
W3
W4
=:(d — a)(rf-
-6)(d — c)
1
d
d^
d^
d^
(e — a) (e-
-6) (e — c)
^'o
Vi
V2
^3
V4
en voor
lim a = lim 6 = lira c = oJi ,
lim e = lim d = 3^2 ,
volgt nu met behulp van de formule (7)
1 Xi x^ x^ x^
0 1 2rci "^x^ Ax^
0 0 2 2.3 0^1 3.4:ri2
1/y» /y» 2 /y» 3 /v' 4
2 2 2 2
0 1 2 0^2 3 x^ 4 rcg^
^ \*^2 ' ^1 / •
IV.
(Amsterdam, Versl. K. Akad. Wet. , i* sect. , sér. 2,17,
1882, 239—254.)
(traduction)
A propos de la formule d'interpolation de Lagrange.
1. La formule qu'on désigne ordinairement par ce nom fait connaître
la fonction entière et rationnelle de x, du degré (n— 1) tout au plus,
qui pour n valeurs particulières
/y» ■— ■ /Y* /y* ^^^ /y» /v» ■ 1 ■■ /y»
%A/ — — U/-[ I tAy — ^ vl/o f • • • • tA/ ■ vvfi
prend la même valeur qu'une fonction arbitraire /"(a;); cette fonction
rationelle a la forme suivante
où
(p{x) = {x — Xi){x — X2)...{x — 0Cn),
et où (p' (x) désigne , comme d'ordinaire , la dérivée de <p {x).
Si la fonction f{x) elle-même est rationnelle et du degré (« — 1)
tout au plus, on a identiquement
(p{x)
Mais dans le cas général cette expression doit être augmentée
d'un reste, exactement comme la formule de Taylor.
Dans le 84'^™® tome du Journal fur die reine und angewandte Mathe-
matik , Hermite (p. 70 et suîv.) a donné la forme analytique complète
de ce reste; il lui donne la forme d'une intégrale définie, et cela de
48 A PROPOS DE LA FORMULE D'INTERPOLATION DE LAGRANGE.
deux manières différentes. Ces formules contiennent aussi, comme cas
limites, le reste de la série de Taylor.
De même que de l'intégrale définie qui représente complètement
le reste de la série de Taylor on peut immédiatement déduire la
formule du reste de Lagrange^), de même aussi l'on peut dans le
cas de la formule d'interpolation de Lagrange déduire de l'intégrale
multiple, par lequel Hermite représente le reste, une forme analogue
de ce reste. Mais aussi bien que dans le cas de la série de Taylor on
déduit souvent la formule simplifiée de ce reste sans le secours du
calcul intégral , peut-on désirer la même chose pour la forme analogue
du reste dans la formule d'interpolation. Nous développerons ici une
méthode qui conduit à ce but
Je remarque que Hermite n'a pas donné la formule simplifiée pour
le reste que nous obtiendrons ici, quoique cette formule puisse aisément
être déduite de la sienne. A cet effet il est nécessaire d'étendre à
des intégrales multiples une propriété élémentaire des intégrales
définies simples, ce qui n'offre aucune difficulté.
La formule qu'il s'agit de démontrer peut être écrite comme suit
oîi I a une valeur intermédiaire entre le plus grand et le plus petit
des nombres x, x^, . . ., x».
Il faut supposer que la fonction /■(0), aussi bien que f{z),f" (z), . . .,/""" ^ (z),
soit finie et continue pour toutes les valeurs de z situées entre
X, Xi, . . .,Xn et que pour ces mêmes valeurs de ^ la fonction f^~^{z)
ait une dérivée f^^Hz) finie et déterminée
La formule (1) prend une forme plus élégante lorsqu'on écarte la
fonction /"(^) (|) ; on se convaint aisément qu'elle prend alors la forme
suivante
(o\ iM _j_ ZM _L /M I I fM _ 1 .,^, ,.
où
xp {z) = {Z — X){Z — X^) {z — Xo}...{z— Xn).
i) Théorie des fonctions analytiques. Première édition (1797), p. 49.
A PROPOS DE LA FORMULE D'INTERPOLATION DE LAGRANGE. 49
On reconnaît dans cette équation un cas plus général de la formule
élémentaire
X — X
^r(^),
qui s'en déduit lorsqu'on pose n=l.
2. La démonstration de la formule (1) repose sur le lemme suivant:
„ Lorsque la fonction G {z) prend la valeur zéro pour les w -f- 1 valeurs
différentes zz=x, z=^x^, ..., z = Xn, la w^^™® dérivée G("^(s) devient
nulle pour une valeur z = ^ intermédiaire entre le plus grand et le plus
petit des nombres x, x^, . . ., rc„."
Il faut supposer que les fonctions (}{z), G' (z), . . ., G^^~^'>(z) soient
finies et continues pour toutes les valeurs de z intermédiaires entre
X, x^, . . ., Xn, et que, pour les mêmes valeurs de s, G*" -^'(2) ait une
dérivée Gn(z) finie et déterminée.
Ce théorème est connu pour w = l; il suffit de renvoyer à Dini,
Fondamenti per la teorica délie funzioni di variabili reali, p. 70.
La preuve de ce théorème, aussi bien que de quelques théorèmes
qui s'y rattachent telle qu'elle se trouve dans les livres d'étude les
plus employés encore aujourd'hui, p. e dans Serret, Cours de calcul
différentiel et intégral, contient une lacune qui n'a été comblée que par
quelques recherches de Weierstrass ; on peut consulter Dini , p. 43 — 51.
Weierstrass lui-même n'a rien publié à ce qu'il paraît de ces recherches
sur les bases de la théorie des fonctions.
Il faut surtout remarquer que dans le cas le plus simple de tous,
celui oïl w = 1 , la grandeur ^ est située entre x et x^ et qu'on peut
lui donner une valeur qui diffère tant de x que de x^
La preuve du lemme dans le cas général se déduit immédiatement
de ce même lemme reconnu comme vrai dans le cas le plus simple,
celui où n=l. En effet, lorsque w = 2, et par conséquent
G(a;) = 0, G(a:i) = 0, G(a;o) = 0,
on peut supposer
X <CX^ <iX2
et l'on a alors
G'(li) = 0, x<è,<x,
G'(l2) = 0, X,<l2<X2
4
60 A PROPOS DE LA FORMULE D'INTERPOLATION DE LAGRANGE.
et en appliquant encore une fois le théorème pour n = 1 ,
On peut continuer ainsi et l'on voit en même temps que dans le
cas général la grandeur ^ peut être supposée différente et du plus
grand et du plus petit des nombres x, x^, . . ., Xn. Les conditions qu'on
doit imposer à la fonction G {z) et à ses dérivées , celles d'être continues
et dérivables, se déduisent aisément de celles qui se rapportent au
cas où n= 1.
3. La preuve de la formule (1) peut maintenant être donnée. C'est
la suivante-
Pour simplifier, je désigne par F (x) le polynôme d'interpolation de
Lagrange; donc
Parmi les valeurs x^, x^y . . ., Xn il n'y en a pas deux qui sont égales
et comme les fonctions F {x) et f{x) prennent les mêmes valeurs pour
x = X]^, x = X2, . . ., x = Xn et que nous nous proposons de trouver une
formule générale et simple qui exprime la différence f{x) — F{x), nous
pouvons, sans qu'il en resuite aucun inconvénient, supposer que la
valeur de x ne coïncide pas avec une des valeurs x^, X2, . . ., Xn-
Ceci posé, soit
(4) . . . . f{x) — F{x)-\-{x — x{){x — X2)...{x — Xn)Fl.
La valeur de B. est complètement déterminée par cette équation.
Figurons-nous pour un instant que les grandeurs x, Xi, . . ., Xn sont
constantes, tandis que z représente une nouvelle variable, et considérons
la fonction
(5) . . G{z) = -f{z) + F{z)-{-{z-x,){z — X2)...iz-Xn)n,
dans laquelle R, a la valeur donnée par (4), indépendante de z.
Il est évident alors qu'on n'a pas seulement
Gc{x) = 0,
mais aussi
G(a;i) = 0, G{X2) = 0, , Gc{xn) = 0,
d'où l'on tire à l'aide du lemme énoncé au n*^ 2
(6) G(«)(|) = 0,
A PROPOS DE LA FORMULE D'INTERPOLATION DE LAGRANGE. 51
OÙ f a une valeur intermédiaire entre le plus grand et le plus petit
des nombres x , a^. . . . , Xn- Mais comme F (z) est en z du degré (w — 1)
tout au plus, cette fonction donne zéro lorsqu'on dififérentie n fois de
suite l'équation (5) On trouve donc
QW (z) = —fin) (s) -I- 1 . 2 . 3 . . . w . R.
L'équation (0) donne maintenant
et en substituant cette valeur dans l'équation (4) on obtient
f{x) = Y {X) + '^-^-Ifa - ^> ; ■ -^-^ - ^'■' fm (^) ;
nous avons donc trouvé la démonstration de la formule (1).
4. Lorsque , dans la formule (2) qui maintenant a été démontrée
elle-aussi , on laisse tendre vers une même limite X tous les nombres
x,x^, . ., Xn, toujours différents entre eux, il s'ensuit que
n^) , fi'-^i) , , fM \ _ 1
Outre les hypothèses qui doivent être faites pour que les formules
(1) et (2) soient valables , il faut encore que dans cette dernière for-
mule f^^^{x) soit continue pour a; = X, attendu qu'il est impossible
autrement de conclure que /("^ (|) tend vers la limite f^^ (X) lorsque |
tend vers X.
Cette formule (7) qui donne donc dans le cas où la fonction f(v> [x)
est continue pour x^=X. une définition directe et générale de la
^ième dérivée d'une fonction f{x), n'a pas encore, paraît-il, été démontrée
aussi généralement que nous l'avons fait ici. Elle se trouve, il est
vrai, dans l'excellent ouvrage de Lipschitsch, Differential und Inte-
gralrechnung , p. 204, Form. 20, mais d'après la démonstration
qu'en donne l'auteur il faut supposer que les grandeurs x, Xi^ . . ., Xn
ne restent pas seulement inégales entre elles en tendant vers la limite
X, mais qu'elles satisfont encore à d'autre conditions qui ici se mon-
trent superflues. Consultez l'ouvrage cité p. 203, ligne 6 de- dessous.
En outre l'auteur a supposé qu'il existe une dérivée n -\- 1''^'"' finie et
continue. C'est là encore une condition qui n'est certainement pas
52 A PROPOS DE LA FORMULE D'INTERPOLATION DE LAGRANGE.
exigée par la nature des choses, et après que Weierstrass a fait
connaître des fonctions continues qui n'ont pas de dérivées, rien ne
serait plus facile que de trouver des fonctions pour lesquelles la for-
mule (7) est valable, sans qu'il puisse être question d'une dérivée
n -\- 1'®™® de ces fonctions, i)
5. L'analogie entre la formule (1) et le théorème de Taylor devient
plus évidente encore lorsqu'on ne donne pas au polynôme Y {x) la
forme élégante et symétrique que lui donne Lagrange, mais celle
qui se trouve chez Newton dans le troisième Livre des Principia à
l'occasion de la discussion du problème des comètes.
La formule (1) prend alors la forme
(8) . . . f{x) = K^-\- A2{^ — x^)-\- k^{x — x^){x — x^)^...
-\- An{x — X^) {x — Xc^ . . . (x ~ Xn-l) -\-
1 (^ — X^) [x rCg) • • ■ (^ ^») f(n)(t\
"^ 1 . 2 . 3 . . . w ' ^^''
tÂy-t «^o •X'p Jb
Dans cette équation on a
et généralement
(9) l ^ fp'p{xô~^ (p'p{x^)'^"''^<p'p(Xpy
I cpp (Z) = {Z — X^) {Z—X2)...{Z — Xp).
Newton ne donne pas explicitement cette formule générale pour Ap,
mais il fait connaître les procédés nécessaires pour calculer succès-
A, = ^
sivement A^, Ag,
. . . etc. Ce sont les suivants
Ai = /-(Xi),
^ _ Bi-Ai ^ _ B^-Ao
^ Xo — X-i^'^^ Xg— X^ '
Bi^Z-C^r^),
r> Cl — Bi ^ Cg — Bg
Gi=f{x,)>
P _ Di - Cl
^4 ^3
^, = fM,
1) Voir J. Math., Berlin, 79, p. 29 e.s., et 90, p. 221.
A PROPOS DE LA FORMULE D'INTERPOLATION DE LAGRANGE. 53
Si l'on fait le tableau suivant de ces grandeurs dans l'ordre où on
les trouve
A2
Bi A3
(10) / B2 A^,
Cl Bq
a
Bi
ce calcul s'accorde entièrement avec celui de l'interpolation ordinaire
dans le cas où x^, X2, . • ., Xn forment une progression arithmétique,
avec cette légère différence que la première, la deuxième, la troi-
sième . . série des différences sont ici divisées respectivement par
les facteurs l .{x^ — Xi), 1 . 2 . (rrg — xj^, l . 2 . 3 . (ajg — Xif . . . etc.
On a d'après la formule (2)
^^ = T72.3..'.(p-l)^"-"(^^)'
où ^p a une valeur intermédiaire entre le plus grand et le plus petit
des nombres Xiy x^, • . -, Xp. Si dans la formule (8) on laisse tendre
Xi, 0C2, . . ., Xn vers une même limite, on obtient donc immédiatement
la formule de Taylor avec la formule du reste de Lagrange.
6. La forme newtonienne du polynôme d'interpolation
F {x) = Al -f A2 (:zJ — x^) -f A3 (a; — x^) [x — x^)-}-. .
-\- An{x — X^) {X — X2) . . . {X — Xn-l)
a encore sur celle de Lagrange l'avantage de faire voir immédiate-
ment quelle est la forme que prend F {x) lorsque plusieurs des gran-
deurs x^, X2, . ■ -, Xn tendent vers une même limite ou sont prises égales
entre elles.
En effet, lorsque x^, X2, . . ., Xp tendent vers la limite X, on a
d'après les équations (9) et (7)
(") "°'^^=1.2.3.^(p-l)^'^""<^)
et comme toutes les grandeurs du tableau (10) sont composées de la
même manière que Ap , on peut dans ce cas former immédiatement
54 A PROPOS DE LA FORMULE D'INTERPOLATION DE LAGRANGE.
tout le tableau (10). En effet, on voit aisément qu'il suffit, pour
éviter les expressions indéterminées de la forme—-, de faire suivre
l'une par l'autre sans intervalle celles des grandeurs x^, Xo, • . , Xn, qui
à la fin seront supposées égales. Pour obtenir le tableau entier, il
faut ensuite se servir de la formule (11) et des préceptes de Newton.
Lorsque p. e. les grandeurs x^, X2, . . ., Xp deviennent toutes égales à X,
il faut supposer connues les quantités
^(X),^'(X), ...,/(^-^)(X).
Il semble bien que c'est là la meilleure méthode pour former le
polynôme H {x) du degré le moins élevé qui satisfait aux conditions
suivantes
(12)
l H (:r„) = /• (Xn) , H' (Xn) =f'{Xn), , H^» " '^ (Xn) = f^""^ " '> {Xn),
ce polynôme E.{x) est du degré k — 1 tout au plus, où
^ = «1 + «2 + • • • «M-
On obtient, en suivant la méthode décrite plus haut, la forme
suivante du polynôme B.{x)
H {x) = A+B (x—x^) +C [x—Xif + . . . + L {x—x^p + M {x—x^)"^ (x— x,)-{- .
...-{-R{X — Xi)"» (X — Xo)"* .. .{x — rCn-l)"»- • {x — Xn)""-'^
où A, B, C, . . ., R sont des constantes qu'on peut déduire immédiate-
ment du tableau (10).
7. Il existe encore une expression simple pour la différence
f(x) — B.{x), et comme ceci nous conduit à une généralisation delà
formule (1) , nous voulons esquisser rapidement le développement de
ce calcul. Après ce qui précède il sera inutile de mentionner tout
au long les conditions auxquelles f{x) doit satisfaire.
Il faut en premier lieu généraliser le lemme du n^ 2 et cela de la
manière suivante :
A PROPOS DE LA FORMULE D'INTERPOLATION DE LAGRANGE. 55
Lorsqu'une fonction G (z) satisfait aux conditions
G(a;)=::0, G'(a:)=:0, . . ., G <" - 1) (a;) = 0,
G(2/) = 0, G'{y) = 0, ..., G^^-i)(y) = 0,
G iz) = 0, G' (z) =0, . . ., G<y - 1) (2) = 0,
dont le nombre est
« + /5 + /
on a
G("-i)(|) = 0,
où I est une grandeur inférieure à la plus grande et supérieure à la
plus petite des grandeurs différentes x, y, z, . . .
Après ce qui a été dit au n^ 2 , il paraît superflu de s'arrêter long-
temps à la démonstration de ce théorème. On peut considérer d'abord
le cas où le plus grand des nombres a, /5, /, . . . est égal à 2, et
prendre ensuite 3,4,5,... pour le plus grand de ces nombres.
8. Soit maintenant R(x) le polynôme du degré k — 1 tout au plus,
qui satisfait aux conditions (12) et soit
(13) . . . f{x) = E(x)-\-ix — x^Y^ ix — X2Y- ...{X — XnY" R.
Alors, si l'on suppose la grandeur x différente de x^, x^, ..., Xn la
constante R est complètement déterminée par cette équation. Si l'on
considère ensuite la fonction
G {z) = -riz) 4- H(^) + (2r - x,r^ (z-x^r* ... (0 - Xn)"" R
il est évident qu'on n'a pas seulement
G(:i;)=:0,
mais aussi
G(a:i)=:0, G'{x{) = 0, ..., (3t("^-'^\x{) = 0,
G(X2) = 0, G'ix^) = 0, ..., G("-ï>(a;2) = 0,
G(^„)=:0, G'(:r„)==0, . . ., G^'--^^Xn) = 0,
et par conséquent
GW(|)=:0.
Mais comme H (z) est du degré k — 1 tout au plus , on a
G* (^) = — /•('^) (s) + 1 . 2 . 3 . . . A; . R
56 A PROPOS DE LA FORMULE d'INTERPOLATION DE LAGRANGE.
et enfin
(14)
R = - fik) (t)
1.2. 3... A;' ^^^'
Dans ces équations la grandeur ^ a une valeur intermédiaire entre
celle du plus grand et du plus petit des nombres x, x^, . . ., Xr,.
Cette formule comprend comme cas particuliers la série de Taylor
aussi bien que la formule de Lagrange, y compris les termes qui
expriment les restes.
Dans l'article cité Hermite représente pour ce cas aussi la différence
f{x)— R{x) à l'aide d'intégrales définies.
9. Le résultat le plus général qui peut être obtenu par la méthode que
nous avons développée dans ce qui précède , me paraît être le suivant.
Supposons que les expressions /"(rr) et H {x) conservent la signification
qu'elles avaient aux n^^ 6 — 8. Soit en outre f^ [x) une nouvelle fonction
de X et Hi {x) la fonction rationnelle de x du degré k — 1 tout au plus,
qui satisfait aux conditions (12), lorsqu'on y remplace la fonction
f{x) par f-^ {x). Soit maintenant
(15) /(a;) = H(a;) + R(A(:r)-H,(x)).
Pour que la valeur de R soit déterminée sans ambiguïté par cette
équation , il faut non seulement que x diffère de o^i, o^g, . . .., Xn, mais
en outre que f^ {x) — H^ {x) ne s'annule pas.
Faisons ces hypothèses et soit
G(^) = ^(2)-H(.)-R(A(s)-Hi(^0-
Alors on a non seulement
G(a;) = 0,
mais aussi
G(rr,)=0, G'(a;i)=0, .., G('"-i)(rrO =0,
G(a:n) = 0, Q,'{xn)=^Ç), .... G("«-^U^«) = 0,
et par conséquent , d'après le n^ 7 ,
G^'^) (I) = 0.
Mais comme les expressions H^'^^(0)et H/'^'(2)sont identiquement nulles,
on a
A PROPOS DE LA FORMULE D'INTERPOLATION DE LAGRANGE. 57
et par conséquent
ou bien
(16) . .
r{x) = R{x) + (f,{x)-U,{x))
Cette formule générale se transforme immédiatement dans la for-
mule (14) lorsqu'on prend
Mx) = a^.
En effet , on a alors
f^l^ {x)=l.2.'S...k
et , comme on peut le voir immédiatement ,
A (X) - Hi (X) = {X — X^y^{x — X^y* ...{X — Xn)"'.
POSTSCRIPTUM.
On peut démontrer immédiatement de la façon suivante qu'il existe
toujours une et une seule fonction H {x) qui satisfait aux conditions
(12) et qui est en x du degré k — 1 tout au plus.
Soit
H (x) ^ «Q -J- «1 -'^ + 0^2^^ -{- . . .-\-ak-iX^-^.
Pour déterminer les k grandeurs inconnues Qq, a^, . . ., ak-i on a alors
les k équations linéaires suivantes
|Oo + ^iai + ^i^«2 + -{-xi-'^ak-\=f (Xi)
la^-^ 2x^00 + -\-{k—l)x'^-"-ak-i=riXi)
1.2.a2 + . . . . -\-ik—l){k-2)x'l-^ak-i=f"ix,)
(A) . . ^(a^_i)!a„,_i+... + (A;-l)(fe — 2)...(A: — ai+Do^f-^-aA-i^
= /•(">- ^M^à)
«0 + ^2 «1 + ^2''^ «2 + -\-x^-^ak-i=f {Xz)
l.ai + 2a;202 + -\-{k—l)x^^-^ak-i=r'ix^
Le théorème qu'il s'agit de démontrer consiste dans ceci, il est
toujours possible de satisfaire à ce système d'équations par un seul
système de valeurs Qq, a^, . . ., ak-v
58
A PROPOS DE LA FORMULE D INTERPOLATION DE LAGRANGE.
On peut remarquer d'abord que le système (A) n'admet jamais plus
d'une seule solution, car s'il pouvait y avoir p. e. deux solutions on
aurait deux fonctions différentes G (x) et H (x) satisfaisant l'une et
l'autre aux conditions (12) et qui seraient l'une et l'autre du degré
k — 1 tout au plus. Or, cela est impossible, car de ces équations (12)
il résulterait que la différence
G{x) — B. (x)
est algébriquement divisible par l'expression du degré k
(x — X{}"' {x — X2)"* . . .{x — XnY"-
Il est évident en second lieu que les valeurs
«0 = 0, ai = 0, 02 = 0, . . ., ak-i = 0
satisfont aux équations (A), aussitôt que les seconds membres de ces
équations sont égalés à zéro; et d'après ce qui précède c'est là
l'unique solution en ce cas.
La théorie des équations linéaires nous conduit immédiatement à
cette conclusion , que le déterminant du système d'équations (A) n'est
pas nul. En effet, d'après cette théorie on peut, aussitôt que ce
déterminant est nul , satisfaire aux équations (A) , après avoir remplacé
partout les seconds membres par zéro, par un système de valeurs
ao, %, ...,«*-!, qui ne sont pas toutes nulles ce qui serait contraire
à ce que nous avons démontré plus haut
Et de ce que le déterminant du système d'équations (A) n'est pas
nul , il résulte immédiatement qu'on peut toujours , lorsque les seconds
membres ont de valeurs arbitraires, satisfaire à ce système d'équations
par un seul système de valeurs Œq, a^, . . ., ak-i.
D'ailleurs on peut aisément indiquer la valeur de ce déterminant.
A cet effet on peut partir de la formule connue
(6 — a) (c — a) (d — a) . . .{q — a)
ic — b){d — b),..iq—b)
{d— c)...{q— c)
1
a
a2 .
. a'^-i
1
h
62 .
. 6*-i
1
c
C2 .
. c^-i
1
P
P' .
. . p'^-i
1
q
q' .
. s*-^
iq—p)
A PROPOS DE LA FORMULE D'INTERPOLATION DE LAGRANGE.
59
OÙ les oj premières des grandeurs a, 6, c, . .., ^9, q tendront à la fin
vers la limite x^, les Og grandeurs qui suivent vers la limite iCg, etc.
Il faut transformer convenablement les lignes de ce déterminant, en
les divisant par les facteurs qui s'annulent à la fin et en appliquant
à la limite la formule (7). On obtient ainsi pour le déterminant du
système d'équations (A) la valeur suivante
Ô ! 1 ! 2 ! ... (a^ — 1) ! (0:3 — x^)"^"* {x^ — x^)"^"^ ...{xn — rCi)"»"»
0 ! 1 ! 2 ! ... (ag— 1) ! (^^3 — rrg) ««"» . . . {xn — x,y*''n
0! l!2!...(a„— 1)!
La suite des opérations est suffisamment évidente d'après la con-
sidération d'un cas particulier, celui où
Ici on trouve
A;=:5, w = 2, a^ = 3, 02 = 2.
1 a a^ a^ a*
1 6 62 63 54
\ c ê (? à
\ d d? d^ d*
l e b^ e^ e*
1 a a^ a^ a*
^0 ^1 h h h
Uq Ml W9 M3 w^
l d d^ d^ d^
Vo Vi Vr, Vg Vi
X (6 — a) (c — a) {c — 6) (e — d)
où
'■"a — 6^6 — a'
Vr =
Vr =
(a — 6)(a — C) ' (6 — a)(6 — c) ' (c — a)(c — 6)
d — e ' c — d
(r = 0, 1, 2, 3, 4)
60
A PROPOS DE LA FORMULE D'INTERPOLATION DE LAGRANGE.
Par conséquent on a
a
h
d
Vi
Ma t
a*
= {d — a)id — b) (d — c)
(e — a) {e — h) {e — c)
et en prenant
lira a = lim 6 = lim c = x^
lira e = \imd = X2i
on trouve maintenant à l'aide de la formule (7)
Xi
1
0
X2
1
x{'
2
2Xo
^1
Xi'
2.3 a;i SÂx^^
3x2^ 4.x^
= 2{x2-x{f.
(Amsterdam, Nieuw Arch. Wisk , IX, 1882, 106 — m.)
Eenige opmerkingen omtrent de differentiaalquotiënten
van eene functie van één veranderlijke.
Is eene functie f{x) voor aile waarden van x, a^x^b, gegeven, en
voor al deze waarden van x differentieerbaar, dan is
(A) '-^^^ = ni).
{a<$<b)
Hieruit volgt, wanneer a en 6 tôt een limiet X convergeeren, en
/■' {x) continu is voor x = X,
(B) Limfc{W^^,(X).
Dat voor de geldigheid van deze formule (B) de voorwaarde, dat
f'{x) voor a; = X continu is, noodzakelijk is, blijkt uit het volgende
voorbeeld. Zij f{0) = 0 en voor x^O
f(x) = a;2 008^^2
De functie f{x) is dan continu en differentieerbaar voor aile
waarden van x; in het bijzonder is f'{0)=:0. Daarentegen is/''(a;)
niet overal continu, en namelijk discontinu voor x = 0.
Zij nu n een geheel positief getal , en
Pn=r/-, riPn) = {-ir^,
V n w
dan volgt
f(Pn)-f(Pn^ù ^ ,_ ^y, Ul^n^ ^ h'^Tl) (y-^ K^^ipi).
Pn— i>i. + i V'n + 1 ' ' n /
62 DIFFERENTIAALQUOTIËNTEN V. EENE FUNCTIE V. ÉÉN VERANDERLIJKE.
Neemt nu n in 't oneindige toe , dan convergeert p„ tôt de limiet nul,
en toch convergeert
f{Pn)—f{Pn + l)
Pn—Pn + 1
niet tôt de waarde /"' (0) = 0.
Men overtuigt zich zelfs gemakkelijk er van , dat hoe klein een
positief getal h ook gegeven is, men steeds twee positieve getallen
p en q, beide kleiner dan h , kan bepalen , zoodanig dat
fip)-m
P — Q.
eene willekeurig voorgeschreven waarde aanneemt. Er kan dus geen
sprake zijn van de convergentie van deze uitdrukking tôt eene be-
paalde limiet.
Wordt dus omtrent de wijze, waarop a en ô tôt hun limiet X
convergeeren , niets anders bepaaid, dan is de àangegeven voor-
waarde, dat f [x) voor a? = X continu is, noodzakelijk voor de gel-
digheid van (B).
Zoodra éditer vastgesteld wordt, dat a en 6 zoodanig tôt hun
limiet X convergeeren, dat X steeds tusschen a en 6 blijft, of ten
minste niet buiten het interval a , 6 valt , dan geldt de formule (B)
reeds, zoodra slechts f{x) voor x=^X. een eindig differentiaalquotiënt
f (X) heeft. Het is dan zelfs niet noodig, -dat f{x) voor andere waarden
van X differentieerbaar is.
Om dit te bewijzen heeft men niet van (A) uit te gaan, welke
formule de differentieerbaarheid van f{x) voor aile waarden a^x^b
onderstelt , maar men kan uitgaan van de identiteit
f(b)-na) ^ nh)-f{X) -\-_fCL) -fia)
b—a 6— X+X— a
Ligt nu X in het interval a , b , dan hebben b — X en X — a het-
zelfde teeken, waaruit volgt dat
f{h)-f{a)
b — a
ligt tusschen
b—X X-a '
DIFFERENTIAALQUOTIËNTEN V. EENE FUNCTIE V. ÉÉN VERANDERLIJKE. 63
welke beide waarden volgens de onderstelling, dat /"(a;) voor a; = X
een eindig differentiaalquotiént heeft , tôt f(X) convergeeren ; derhalve
ook '-^-^~^'^^. Het is duidelijk, dat ao(b ook gelijkXmogen worden.
Als een voorbeeld kande functie f(x) dienen, bepaald door /"(O) = 0 en ,
voor X ^ 0, door f(x) = + x^ waarin het bovenste of onderste teeken
te nemen is, naargelan^^ x meetbaar of oumeetbaar is. Deze functie
heeft alleen voor x^O een differcntiaalquotiënt , waarvan de waarde
door de formide (B) gevonden kan worden , zoolang nul niet buiten het
interval a , b valt.
De formule (A) vormt een bijzonder geval van de volgende meer
algemeene, waarvan ik het bewijs elders^) gegeven heb.
Zij
r (z) = iz — x{) {z — 0^2) . . . (2 — Xn + 1),
(X^<X2<X^.. .<Xn< ^n + l)
laten f{x),f'(x),f"{x), ..., f'-"-'^Ux) continu zijn voor aile waarden
van X, Xi^x^Xn + i, terwijl voor deze zelfde waarden f^**-^^{x) een
eindig differentiaalquotiënt /"W (x) heeft ; dan is
p = n-t- 1 j./ \ -I
(AA) ... V • --^-^— — ^— /"(") iè).
^ ^ f^^ r'ixp) 1.2.S...n' ^^^
{X^< ^ < Xn + 1)
Hieruit volgt, wanneer x^^, X2, . . ., Xn.+ i tôt eene gemeenschappe-
lijke limiet X convergeeren , en bovendien nog /"("> (x) voor x = X
continu is,
p = n + l
r'{xp)~1.2.S
(BB) "l:'M=T-w\--nr'^^)-
Wij iagen reeds boven in het bijzonder geval n = l , dat in het
algemeen de voorwaarde omtrent de continuiteit van f^**^{x) nood-
zakelijk is.
Wanneer echter ondersteld wordt dat % en Xn + i bij hunne conver-
gentie tôt X steeds X insluiten , of ten minste dat X niet buiten het
interval x^, x„ + i valt , dan geldt de formule (BB) in veel wijder om-
1) Amsterdam, Versl. K. Akad. Wet., 1« sect., sér. 2, 17, 1882.
64 DIFFERENTIAALQUOTIËNTEN V. EENE FUNCTIE V. ÉÉN VERANDERLIJKE.
vang; en wel is het dan voldoende , dat /'("-^'(n;) voor de bijzondere
waarde x = X een eindig differentiaalquotiënt /"'"> (X) = /(; heeft. Het
is zelfs niet noodig, dat f^"-'^^{x) voor andere waarden van x differen-
tieerbaar is, laat staan dan een continu differentiaalquotiënt heeft,
zooals boven ondersteld moest worden.
Het bewijs hiervan, dat het eigenlijke doel van deze mededeeling
uitmaakt , kan aldus gevoerd worden.
Zij
dan zijn ook
(p{x), rp'ix), ..., cp(^-^\x),
volkomen bepaald, en «^("-^(a;) heeft voor rr = X een eindig differen-
tiaalquotiënt 99(")(X) = 0. In het voorbijgaan zij opgemerkt, dat uit
de onderstelling , voor x=^'X. is /("- ^^ {x) dififerentieerbaar , reeds volgt,
j(n-i) (^x) is voor rr = X continu.
Ik stel nu
p {z) = {Z — X^) {Z — X^...{Z — Xn),
q{z) = {z — x^{z — x^).. .{z — Xn + \),
dan is volgens (AA) , wanneer men in deze formule n door n — 1
vervangt ,
f^^V'K^v) 1.2.B...(n-l)^ ^'^'
(rTi < |< a;„) ,
p=n+l .V .
V -^^1==:. ^ 9.(n-l)(.)
2^^^ q'{x,) i.2.^...{n-\f ^'^^'
(X2< r] < Xn-^l)
en -wel vereischen deze formules geenerlei onderstelling omirent de
differentieerbaarheid van 9?("-d(^).
Door aftrekking en deeling door Xn + i — x^ volgt nu
^^ r'{xp) 1.2.3... (w — 1) I Xn + i — x^
Voor de rechts tusschen accoladen geplaatste uitdrukking kan
geschreven worden
DIFFERENTIAALQUOTIÊNTEN V. EENE FUNCTIE V. ÉEN VERANDERLIJKE. 65
Un+i — a;J ï? — X 'U„ + i — a;J X — ^
Daar i en r] binnen het interval x^, Xn + i Hggen, en X ten minste
niet buiten dit interval ligt , zoo zijn
n—X X— ^
' en
Xn + 1 ^i ^n + 1 ^1
volstrekt genomen, kleiner dan één Verder volgt uit de onderstelling,
dat 93("-^)(a;) voor x=X een eindig differentiaalquotiënt 99W{X) = 0
heeft, dat
y(n-l)(^)_y(n-l)(X) y(n-l)(X)— y(»-l)(|)
^-X ^" x-i
tôt de limiet nul convergeeren , wanneer x^, X2, . . ., Xn + i allen tôt hun
limiet X convergeeren. Dus volgt ten slotte
of, daar
was en men identiek heeft
j» = n4-l
rr"
^ r'(aJp)~"1.2.3...w 1.2.3...n'
waarmee het bedoelde bewijs geleverd is.
Men kan zeggen, dat deze formule altijd geldt, zoodra slechts/'(")(X)
eene bepaalde beteekenis heeft, want dit vordert reeds vanzelf, dat
^(n-i)^^^ in de nabijheid van x=:X overal eene eindige en continu
veranderlijke waarde heeft; evenzoo wat f^^-^^x), f^^-^Hx), ... betreft.
Maar omgekeerd kan niet bevveerd worden, dat altijd wanneer
"- Z ^
p = i
r' ixp)
eene bepaalde eindige waarde heeft , deze waarde = t^^o ^s. Want
het kan zeer wel gebeuren , dat toch nog in dit geval /"^"KX) niet
5
66 DIFFERENTIAALQUOTIËNTEN V. EENE FUNCTIE V. EEN VERANDERLIJKE.
bestaat. Dit blijkt, wanneer men bedenkt , dat door verandering van
de waarde van f{x) voor a; = X de bovenstaande uitdrukking niet van
waarde verandert, zoolang geen der waarden aj^, Xg ..., Xn-^i gelijk
aan X is.
Ligt X buiten het interval a^^, a;„+i , dan behoeven
»7 — X X-l
— ^ en ,
X^ — Xn-\-\ ^1 3Cn-{-\
g^ç^n echte breuken meer te zijn , en deze omstandigheid belet dan
het bewijs ten einde te voeren. Maar wij zagen reeds door een voor-
beeld , dat in dit geval omtrent f^'^-^x) verdere onderstellingen noodig
zijn, namelijk, dat in het algemeen /"("'(a;) bestaat en voor a; = X
continu is.
V.
(Amsterdam, Nieuw Arch. Wisk. , IX, 1882, 106— m.
(traduction)
Quelques remarques à propos des dérivées d'une fonction
d'une seule variable.
Lorsqu'une fonction f {x) est donnée pour toutes les valeurs de x
pour lesquelles a^x^h, et qu'elle peut être différentiée pour toutes
ces valeurs de a;, on a
(A) ^-^-^'=r(«.
(a < ^ < 6)
Il s'ensuit que lorsque a et 6 tendent vers une limite X et que la
fonction f {x) est continue pour a;=:X,
(B) iim«^-a^=r(x).
L'exemple suivant fait voir que la condition, d'après laquelle la
fonction f {x) est continue pour a; = X, doit nécessairement être
remplie pour que la formule (B) soit valable.
Exemple. Soit f{x) = 0, et pour x^O
La fonction f{x) est alors continue et peut être différentiée pour
toutes les valeurs de x. On a en particulier f (0) = 0 La fonction
f {x) par contre n'est pas continue partout: elle est notamment dis-
continue pour rc = 0.
Prenons maintenant un nombre n entier et positif, et soit
vn "
68 DÉRIVÉES d'une FONCTION d'UNE SEULE VARIABLE.
il s'ensuit que
Lorsque n tend vers l'infini, pn converge vers la limite zéro; cepen-
dant l'expression
f{Pn)—f{Pn + \)
Pn—Pn + l
ne tend pas vers la valeur f (0) =: 0.
On se convainc même aisémenc de ce que, quelque petit que soit
un nombre donné h, on peut toujours trouver deux nombres positifs
p et q, inférieurs à /î, tels que l'expression
f{v) - nq)
P — Q
prend une valeur quelconque donnée. Il ne peut donc être question
d'une convergence de cette expression vers une limite déterminée.
Nous avons dit que la condition nommée, d'après laquelle la fonction
f'{x) est continue pour x=:X, doit nécessairement être remplie pour
que la formule (B) soit valable, dans l'hypothèse où la loi suivant
laquelle a et 6 tendent vers leur limite X est inconnue.
Mais dès qu'on admet que a et 6 tendent vers leur limite X de telle
manière que X reste constamment entre a et 6 , ou du moins ne tombe
pas en dehors de l'intervalle a, 6, la formule (B) est déjà valable si
f{x) a pour x = X une dérivée finie /"(X) Dans ce cas il n'est pas même
nécessaire que f{x) possède une dérivée pour d'autres valeurs de x.
Pour le démontrer il n'est pas nécessaire de partir de (A) , formule
qui suppose que la fonction f{x) peut être différentiée pour toutes les
valeurs de x pour lesquelles a^x ^b, on peut agir directement
comme suit.
Nous avons
f(b)-r(a)_r{b)-r(x)+rm-na)
b—a b—X+X—a
Lorsque la valeur de X est située dans l'intervalle a , b, les ex-
pressions b — X et X — a ont le même signe ; il s'ensuit que
m- m
DÉRIVÉES d'une FONCTION D'UNE SEULE VARIABLE. 69
a une valeur intermédiaire entre
b — X X — a '
deux expressions qui tendent vers f (X) dans l'hypothèse que f{x) a
pour x = X. une dérivée finie ; il en est donc de même pour -^ ^^•
Il est évident que les grandeurs a et 6 peuvent aussi, l'une ou l'autre,
devenir égales à X.
Nous pouvons prendre pour exemple la fonction /(a?), déterminée
par f{0) = 0 et par f{x) = + x^ pour x^O. Il faut prendre le signe
supérieur ou le signe inférieur selon que x est rationnel ou non.
Cette fonction ne possède une dérivée que pour a; = 0, dérivée dont
on peut trouver la valeur par la formule (B) , tant que zéro ne tombe
pas en dehors de l'intervalle a, b.
La formule (A) constitue un cas particulier de la formule suivante
plus générale, dont j'ai donné la démonstration ailleurs.^)
Soit
r [Z) = {Z — X^) {Z — Xg) ...{z — Xn + l)i
{X-^ <X2<X^. . .<Xn< Xn + \)
et supposons les fonctions f{x)^ f {x),f" {x), . . .^ f^^-~^^{x) continues
pour toutes les valeurs de x pour lesquelles x^^'^x'^Xn^ri tandis que
^(n-i)(^) a pour ces mêmes valeurs une dérivée finie f^'^^{x). Nous
avons alors
Il s'ensuit que lorsque x^, X2, ..., Xn + i tendent vers une limite
commune X et que de plus la fonction f^^^{x) est continue pour x = X,
on a
1) Amsterdam , Versl. K. Akad. Wet. , l» sect., sér. 2, 17.
70 DÉRIVÉES d'une FONCTION D'UNE SEULE VARIABLE.
Nous avons déjà vu plus haut dans le cas particulier w= 1 qu'en
général la condition relative à la continuité de /"(") (x) est nécessaire.
Mais si l'on suppose qu'en convergeant vers X les grandeurs x^ et
Xn + i sont l'une supérieure l'autre inférieure à X ou du moins que X
ne tombe pas en dehors de l'intervalle x^ , Xn + i, la formule (BB) a
une signification bien plus générale: il suffit alors pour qu'elle soit
valable que la fonction /"^"-^'(rr) ait pour la valeur particulière x = X
une dérivée finie /"("' (X) = k 11 n'est pas même nécessaire que Z"^" - ^^ {x)
ait une dérivée pour d'autres valeurs de x, moins encore que cette
fonction ait une dérivée continue, comme nous devions le supposer
plus haut.
La preuve de cette affirmation qui constitue le but spécial de cette
communication, peut être donnée comme suit.
Soit
alors
(p{x), <p' {x), . . ., (p^^'-^^x)
sont elles aussi complètement déterminées et (p'^^-^^x) possède pour
x = X une dérivée finie 95<")(X) = 0. Je remarque en passant que
l'hypothèse d'après laquelle f^''-^^{x) peut être différentiée pour ic=:X,
permet déjà de conclure que la fonction /("-^^(a;) est continue pour a: = X.
Je pose maintenant
p (z) = {z — x^) {z — x^)...{z — Xn) ,
q{z) = {z~X^){z — X^)...{z — Xn->rl)-
On a alors d'après la formule (AA), lorsqu'on y remplace n par w— 1,
y^pM ^ 1 („ _ 1) ,,.
•^^p'ixp) 1.2.3...(n— 1)
{X^ < |< Xn)
:n + l
(pjXp) _ 1
^^2 q'ixp) 1.2.3...(w-l)
{X2< t]< Xn+l)
Ai q'{x„) 1.2.3...(w — 1)^ ^'^^'
et ces formules n'exigent aucune hypothèse relative à la possibilité de
dériver la fonction (^^^-i) (x).
DÉRIVÉES d'une FONCTION D'UNE SEULE VARIABLE. 71
On trouve maintenant en soustrayant et en divisant par Xn + x — x^^
) 1.2.3...(w~l) ( rcn+i-xi
L'expression entre parenthèses qui figure au second membre peut
être remplacée par
/ ^-X \ <fM -l)(,y) — y(n-l)(X) / X — ^ \ y(n - D (X) - y'" - 1) (|)
U„ + i — rcj î; — X ""Un+i — o^i/ "X — I
Comme les grandeurs ^ et 77 sont situées dans l'intervalle rr^ , rcn + i ,
et que X n'est certainement pas en-dehors de cet intervalle, les ex-
pressions
sont, en valeur absolue, inférieures à l'unité. De plus l'hypothèse
d'après laquelle (f^^-'^^{x) possède pour a; = X une dérivée finie
9("'(X)==0, nous permet de conclure que les expressions
ç,(n-l)(^)_y(n-l)(X) y(n-l)(X) — y(n-l)(^)
»7-X ^^ X-^
convergent vers la limite zéro, lorsque les grandeurs Xj, o-g, . . ., x„+i
tendent toutes vers leur limite X. On trouve donc enfin
p = n + l
fp{Xp)
mais, comme on a
et, identiquement
on peut écrire
lim V ^^, = 0,
9.(0;)= /-(a:) *
1.2.3..,w
p-^ i''{Xp) 1.2. 3. ..w 1.2.3...n
Nous avons donné ainsi la démonstration dont nous parlions.
On peut dire que cette formule est valable dans tous les cas où
/"'"'(X) a une signification bien déterminée; car il en résulte que la
72 DÉRIVÉES d'une FONCTION D'UNE SEULE VARIABLE.
fonction /("-i) (x) a alors partout dans le voisinage de rr = X une valeur
finie et continue, et qu'il en est de même pour /^(" -2) (a;), f(n-^'> (x), . . . etc.
Mais on ne peut pas affirmer réciproquement que lorsque
f{Xp)
^^ Z p
p = l (^P)
a une valeur finie déterminée, cette valeur est 7-5-^ Car il peut
X . Z .0 . . .fl
fort bien arriver que même alors /'<")(X) n'existe pas. On le voit en
remarquant que lorsqu'on substitue x = X dans f{x) l'expression écrite
ci-dessus garde la même valeur, tant qu'aucune des grandeurs
x^, x^, . . ., Xn+i n'est égale à X.
Lorsque X est en- dehors de l'intervalle x^, Xn + i, les expressions
,-X ^^ X-l
X^ ^M+1 ^1 ^n-j-l
ne sont pas nécessairement des fractions inférieures à l'unité, et cette
circonstance, lorsqu'elle se présente, nous empêche de conduire
la démonstration à sa fin. Mais nous avons déjà vu par un exemple
que dans ce cas de nouvelles hypothèses relatives à f^^-'^^x) sont
nécessaires: il faut supposer alors en général que /''"^(x) existe et que
cette fonction est continue pour x = X.
VI.
(Amsterdam, Nieuw Arch. Wisk., IX, 1882, 98—106.)
Over eenige theorema's omirent oneindige reeksen.
1. In het SQ"'' deel van het Journal fur die reine und angewandte
Mathematik, p. 242—244, geeft de heer G. Frobenius in een kort
opstel , Cher die Leibnizsche Reihe , een theorema , dat aldaar ten
slotte onder den volgenden vorm uitgesproken wordt.
„Ist s„ eine von n abhângige Grosse, und nâhert sich
n
bei wachsendem n einer bestimmten endlichen Grenze, so nâhert sich
(1 — x) (Sq + s^x + S2X^ + s^afi + . . .)
falls X bestandig zunehmend gegen Eins convergirt, derselben Grenze."
Dit theorema vertoont eenige analogie met een ander, dat mij sedert
lang bekend was en waarvan de waarheid, naar het mij toeschijnt,
bij eenig nadenken van zelf duidelijk is; reden, waarom ik indertijd
het volledig uitwerken van een streng bewijs naliet. Het stukje van
den heer Frobenius geeft mij nu echter aanleiding, het hierop be-
trekking hebbende eenigzins te ontwikkelen, en er eenige opmerkin-
gen aan toe te voegen ; waarbij het blijkt, dat men algemeener kan
zeggen dat , wanneer w > 0 is ,
en 00k
«1^ + is2^ 4- i«s^ + i«4^ + • • •
My^)
74 OVER EENIGE THEOREMA'S OMTRENT ONEINDIGE REEKSEN.
wanneer x steeds toenemend tôt de limiet 1 convergeert , tôt dezelfde
limiet convergeert als
-^^— ^ — ^— ' ' voor w = 00.
n
De vorm van het bewijs van Frobenius schijnt mij toe niets te
wenschen over te laten , en ik heb daarom niet geaarzeld hem hierin
geheel te volgen.
2. Het boven bedoelde theorema bestaat in het volgende. Zijn
Oq, Oj^, ttg, . . . aile positief, of ten minste niet negatief, en convergeert
de reeks
xp {x) ■=^ aç^-\- a^x -{• Qc^oi? -\- . . .
voor aile waarden 0 < a; < 1 , maar divergeert deze reeks voor x = 1,
dan volgt hieruit van zelf, dat t/; (a?) boven aile grenzen toeneemt
wanneer x^ steeds toenemend, tôt 1 convergeert. Vormen nu verder
^0 ' ^1' ^2 5 • • •
eene onbepaald voortloopende rij getallen, die tôt eene limiet M con-
vergeeren^), dan is het duidelijk, dat ook de reeks
/'(a;) = ao5o + a^s^x -\- a^j2^^ + • • •
voor aile waarden 0 < rc < 1 convergeert.
In deze onderstellingen nu bestaat de te bewijzen eigenschap
hierin, dat
ZM_
tôt de limiet M convergeert , terwijl x steeds toenemend tôt de een-
heid nadert.
De omtrent de rij getallen
^0 » ^17 ^2 » • • •
gemaakte onderstelling heeft dezen zin : hoe klein een positief getal
£ ook gegeven is, het is altijd mogelijk een eindig getal w zoo groot
te kiezen , dat , wanneer men stelt
1) Dat M eindig is, wordt hierbij als van zelf sprekend ondersteld. Het spraakgebruik ,
volgens hetwelk men somtijds van een reeks grootheden , die ten slotte boven aile grenzen
toenenien, zegt, dat zij tôt de limiet oo convergeeren , schijnt mij, in het algemeen, niet
aanbevelenswaard.
OVER EENIGE THEOREMA'S OMTRENT ONEINDIGE REEKSEN. 75
(1) S„ + k = ^-\-^k,
{k = 0, 1, 2, 3,...)
de volstrekte waarden van
^0» ^1» ^2» • • •
aile kleiner dan e zijn.
Zij nu
dan volgt, met behulp van (1),
f{x) = V + anX^(K + eo)i-an + ix^ + H^ + h) + cin+2X^+HM + e.,)+.
zoodat f{x) eene waarde heeft , gelegen tusschen
P + (M + ^)(v^(^)-Q)
en
P + (M-£)0/;(a;)-Q),
waaruit volgt, dat f{x) : y^{x) ligt tusschen
p_Q(M + £)
yj{x)
en
P-Q(M-£)
M — £ +
rp{x)
Wanneer nu x tôt 1 convergeert, convergeeren P en Q tôt zekere
eindige limieten, terwijl volgens de onderstelling , yj{x) boven aile
grenzen toeneemt. Men zal dus x kleiner dan 1 , maar zoo dicht bij
1 kunnen nemen , dat de volstrekte waarden van
P-Q(M + e) ^^ P-Q(M^e)
y>{x) rf{x)
kleiner zijn dan een geheel willekeurig gegeven positief getal 6, en
kleiner dan 6 blijven , wanneer x nog dichter bij 1 genomen wordt.
Wat bewezen moet worden is dit : hoe klein een positief getal /?
ook gegeven is, men zal altijd een positief getal a z66 kunnen bepalen,
dat voor aile waarden van x, bepaald door de voorwaarde 1 >a; ^ 1 — a
fix)
de volstrekte waarde van het verschil '] { — M kleiner dan ^ is.
y>{x)
Inderdaad, men kan a aldus bepalen. Men splitse ^ in de som van
76 OVER EENIGE THEOREMA'S OMTRENT ONEINDIGE REEKSEN.
twee positieve getallen ^ = 6 -{- s. Bij de waarde van e bepale men n
evenals boven; namelijk men neme wzoogroot, dat SM+fc = M4-£A
gesteld zijnde, «o» ^i» «2> • • • volstrekt genomen allen kleiner dan s zijn.
Nadat dus n en daarmee ook P en Q bekend zijn , bepale men nu a
door de voorwaarde , dat de volstrekte waarden van
P — Q(M + £) ^^ P — Q(M — £)
voor aile waarden 1 — a ^ x < 1 , kleiner dan à blijven.
Volgens het bovenstaande ligt dan, voor deze waarden van x^
fix)
V'(^)
tusschen M + « + ^ en M — £ — ô , d. w. z. tusschen M + ^ en M — /5.
Het is duidelijk, dat de onderstelling dat xp {x) en f{x) reeksen zijn ,
gerangschikt volgens de geheele opklimmende machten van x, bij
de bovenstaande afleiding eigenlijk geene roi speelt; zoodat de
uitkomst gemakkelijk in een algemeener vorm uitgesproken kan wor-
den. Hierbij moet echter opgemerkt worden, dat een wezenlijk punt
van de redeneering hierin bestaat, dat s„, 5n+i, s„+o, . . . niet van de
veranderlijke x afhangen, zoodat de bepaling van n geheel onafhan-
kelijk is van de bijzondere waarden, die men later goedvindt aan x
toe te schrijven.
3. Als een voorbeeld van de bruikbaarheid van het bewezen theo-
rema kan de hypergeometrische reeks dienen
Hierbij komen dus alleen die gevailen in aanmerking, waarin de
reeks voor a; = 1 divergeert.
De volgende aan Gauss, Disq. gen. circa etc. WerkelII, p. 125
en 207, ontleende eigenschappen mogen vooraf in herinnering ge-
bracht worden.
1) Van zekeren term af veranderen de termen van de reeks
F (a, ^, y, 1) niet meer van teeken , en zij nemen hi voortdurend toe,
ôf voortdurend af.
OVER EENIGE THEOREMA'S OMTRENT ONEINDIGE REEKSEN. 77
2) De termen nemen bo ven aile grenzen toe , wanneer a -j- /S — y — l
positief is.
3) De termen convergeeren tôt eene eindige , van 0 verschillende
limiet , wanneer a-}-/5 — y — 1 = 0.
4) De termen convergeeren tôt nul , wanneer a-{- ^ — y — 1 nega-
tief is.
5) De reeks convergeert voor a; = 1 , wanneer a-\- ^ — y<CO, en
divergeert , wanneer a-}- (i — y'^0 is.
Volgens 3) convergeert de uitdrukking
a(a+l)...(a + n-l)ig(^+l)...(^+w-l)
l.2.S...n...y{y-}-l)...{y-\-n—l)
waarin a-f-/? — y — 1 = 0, voor w = oo , tôt eene eindige limiet, welke
limiet gelijk is aan
n{y-l)
lets algemeener vindt men voor a-{- ^ — y — m^O
/Qx li^ «(a + l)---r« + W-l)/?(^ + l)...(yg + n-l) _ n{u-l)n{y-\)
^ ^ ' n = œU{u + l)...{u + n-l)y{y+l)...{y + n-l)-n{a-i)U{^-l)'
en wel volgt dit onmiddellijk uit de defînitie van II (0):
rr/ N I- 1.2.3...n
n{z) = hm , — î— — 7 — j— ^TT -, — j — :W«.
Daar alleen de gevallen , waarin de reeks voor x^\ divergeert, hier
beschouwd worden , zoo ziet men uit 5) , dat a -}- /S — y ^ 0 ondersteld
moet worden. De gevallen a-f-/5 — }'>0 en a-f-/5 — y=^^ moeten
afzonderlijk behandeld worden.
I. a4-/5— y>0.
Dan is dus m = a -f- /^ — 7 positief; neemt men nu , in het alge-
meene theorema
, _-, , _a(a + l).>>(« + ^-l)/g(ig + l).-.(/g + ^-l)
^«- ' --M(u+l)...(M+w_l)y(y + l)...(y + M-l)'
1 n _^(M+1)--'(M + W-1).
^' ''"- 1.2.3. ..n '
dan is
78 OVER EENIGE THEOREMA'S OMTRENT ONEINDIGE REEKSEN.
f{x) = aoSo-{-aiS^x-{-a2S2X^. . . = F(a, ^, y, x),
en volgens (3)
.=.'"-^-n(a-i)n(^-i)'
zoodat men onmiddellijk verkrijgt
II. a + /? - 7 = 0.
Neemt men, om dit geval te behandelen
, _1 , _ (g + 1 ) (g 4- 2) . . . (g 4- n) ^ (;g + 1) . . . (^ + n - 1 ) ^ n+1
'~a' ^"- 1.2.B...n.y{y+i)...{y-{-n-l) ^a + n
a
n + 1'
dan is
„=œ^""~n(a)n(/?-l)~an(a-l)n(yS-l)'
en na eene kleine herleiding
(5) . . . . lim
F(a,;g,a + /g,rc)_ n(a + ^-l)
' '-(r^J
1 \ n(a — i)n(/ô — 1)
Het behoeft nauwelijks gezegd te worden , dat de door (4) en (5)
uitgedrukte eigenschappen ook onmiddellijk uit de théorie der her-
leiding der F-funktie volgen. De formule (4) is in overeenstemming
met de formulen [82] op p. 209 en formule [48] op p. 147 van
Gauss' Werke, Bd. III, terwijl de formule (5) onmiddellijk volgt uit
formule [28], p. 217.
Geheel dezelfde méthode kan toegepast worden bij die reeksen,
welke op dezelfde wijze als de hypergeometrische samengesteld zijn,
maar bij welke de coefficient van x"^ in teller en noemer meer ele-
menten bevat. Noemt men F (x) de oneindige reeks , waarvan de eerste
term -\-l is , en waarvan de w -j- 1«*« term ontstaat door den w^*° te
vermenigvuldigen met
OVER EENIGE TIIEOREMA'S OMTRENT ONEINDIGE REEKSEN. 79
{a^n-l){a, + n-i)...{ak + n-l)
n{fi,-\.n-l)...{^, + n-l)
dan vindt men voor
w = a + «1 + «2 + • • • + a A — /»i — /^s — • • • — /^& > 0,
en wanneer
« + «1 + «2 + • • • + «A — /^l ~ ^2 — • • • — ^A = 0
is,
F (g-) _ n{^,-\)n{^,-i)...n{a,-i)
' 1 \""n(a-i)n(ai-i)...n(/?A-i)"
•-fc)
4. Neemt men in het theorema van art. 2 voor de functie v' (a;) in
het bijzonder
zoodat
ao = a^=a2 = . ..=:a„= 1,
dan volgt dus
lim (1 — x)\sq-\-SiX-^S2X^-{- , . .\=^i
x = l
lim Sn = M.
n=oo
Het theorema, in art. 1 vermeld, is blijkbaar algemeener, want
wanneer lim s„^ M is, zoo ziet men gemakkelijk , dat hieruit volgt
n =00
,.^.o + «i + -.. + !^ = M,
n=ao W
terwijl men uit dit laatste niet omgekeerd tôt lim Sn = M kan besluiten
n=Qo
Deze omstandigheid gaf aanleiding om te onderzoeken , of nog niet
bij andere onderstellingen omtrent de functie ip (x) in het theorema van
art. 2 de voorwaarde lim Sn = M vervangen kan worden door deruimere
n =00
Um'» + ^' + -- + ^-i = M;
en het bleek , dat dit werkelijk het geval is voor
80 OVER EENIGE THEOREMA'S OMTRENT ONEINDIGE REEKSEN.
{u > 0)
en voor
Het bewijs zal hier alleen voor v^(a;) = (l — ic)-" gevoerd worden,
daar het bewijs voor
vW = log(^)
hierna geen bezwaar zal opleveren.
Uit de onderstelling , dat
\im'' + '^ + -" + '--l = U,
n = oo n
volgt , dat hoe klein een positief getal e ook gegeven zij , het altijd
mogelijk is een geheel positief getal n zoo groot te kiezen, dat voor
(6) '^-^'^++t'^'— =^ + -->
(A; = 0, 1,2,3,...)
de getallen eq, e^, cg . • • • aile , volstrekt genomen , kleiner dan e zijn.
Zij nu verder
terwijl ik er aan herinner, dat
y>{x)=l+~-X + - \^^ ^ X^J^... = {1-X) —
is.
Uit (6) volgt voor s„^_fc de waarde
(8) . . . . s„ + fc = M + (w + A; + l)£A4-i — (w + A;)efc,
(A; = 0. 1,2, 3, ...)
waaruit gemakkelijk op te maken valt , dat de reeks f(x) voor 0 < a; < 1
OVER EENIGE THEOREMA'S OMTRENT ONEINDIGE REEKSEN. 81
convergeert. Met behulp van (7) en (8) kan men nu f{x) aldus voor-
stellen.
,/-(a;) = P + MJ(l-rc)-" — Q(-n(M)Heo^" + R + S,
k =00
R = M (1 — o;) V (M + l)„4.fc _ 1 £^2;"+*- \
(9) . . ( k^i
s = (1 - M) ^ (w)„+*_ieArc"+*-i.
A:=l
Hierin is ter bekorting door {u)p de coefficient van x^ in de ont-
wikkeling van (1 — x)~^ aangeduid, dus
Daar «i, r,, . . . aile, volstrekt genomen, kleiner dan e zijn, zoo is de
volstrekte vvaarde van R kleiner dan
fc = 00
eU{l — x) 2^(M-f l)^ + ;t_iX" + ^--S
en evenzoo de volstrekte waarde van S kleiner dan
k = <x>
A fortiori zijn dus de volstrekte waarden van R en S respectievelijk
kleiner dan
fc =00
EU{1—X) ^{U-\-\)hX^ = BXl{\—x)-'^
en
fc = oo
±e{\—u)^ (M)^a:* = ± «(1 — m) (1 — rc)-«.
fc = 0
Stelt men dus
(10) u-\-\.vf.{\—u) = t,
dan is de volstrekte waarde van R -f- S kleiner dan
£/(l— a;)-",
dus is
R + S = £î/<(1— a:)-",
waarin y eene positieve of negatieve echte breuk is.
8â OVER ËENIGE THEOREMA's OMTRENT ONEINDIGE REEKSEN.
Uit (9) volgt dus nu, door vermenigvuldiging met (1 — x)^,
(11) . {l - x)^f{x) = ¥.-\-\F — M.Q — n{u)neoX''l{l — x)''-{-Eyt.
De functie P — MQ — w(w)„eû^" is geheel rationaal in rc, en neemt
voor x = l noodzakelijk eene eindige waarde aan, zoodat
IP — MQ — n(M)n£o^"l(l— ^)",
daar u positief is, stellig tôt nul convergeert, wanneer a;, steeds toe-
nemend, onbepaald tôt de eenheid nadert. Menkandus, hoe klein
eene positieve grootheid ô ook gegeven is, altijd een positief getal
a bepalen zoodanig, dat voor aile waarden van x gegeven door
1 — a^x< 1 de volstrekte waarde van
\F — Uq — n{u)nSoX''i{l—x)'*
kleiner dan ô is.
Het valt nu uit (11) gemakkelijk op te maken, dat werkelijk
(1 — xYf{x), bij onbeperkte nadering van x tôt 1, tôt de limiet M
convergeert, m. a. w. dat, hoe klein /? ook gegeven is, men a altijd
zoo kan bepalen, dat voor aile waarden van x voldoende aan
i — a^x< 1 de waarde van (1 — xYf{x) minder van M verschilt dan /?.
Inderdaad, men neme twee positieve getallen 5 en £ zoodanig, dat
Bij de waarde van e bepale men nu n z66 , dat de waarden van
«0, ^1, «21 • • • ^^ (6) allen volstrekt kleiner dan £ uitvallen. Nadat aldus
n, en daarmee ook P en Q , bekend zijn, bepale men nu a door de
voorwaarde, dat, wanneer x niet meer dan a van 1 verschilt,
IP — MQ — w(zO«£oa;»*|(l — ^)"
volstrekt kleiner dan ô is. Volgens (11) ligt dan voor deze waarden
van x het product (] — x)^fix) tusschen de grenzen M-|-^4"^^ ^^
M — 5 ~ ^£ , d.i. tusschen M + /5 en M — /S.
VI.
(Amsterdam, Nieuw Arch Wisk , IX, 1882, 98—106.)
(traduction)
A propos de quelques théorèmes concernant les séries infinies.
1. Dans le SO'^""» tome du Journal far die reine und angewandte
Mathematik, p 242 — 244, M. G. Frobenius publie dans un court
article Ueber die Leibnizsche Reihe un théorème auquel il donne
finalement la forme suivante:
„Si Sn est une fonction de n et que l'expression
n
tend vers une limite déterminée et finie lorsque n augmente, l'expression
(l — rr) (■'?o + SiX-{- .<Î2.r2 + s^oc^ + . . .)
tend vers la môme limite lorsque la valeur de x tend vers l'unité en
croissant continuellement."
Ce théorème montre une certaine analogie avec un autre théorème
qui m'était connue depuis longtemps et dont la vérité, à ce qu'il me
paraît, s'impose pour peu qu'on y réfléchisse; pour cette raison je
m'étais abstenu autrefois d'en chercher une démonstration achevée et
rigoureuse Cependant, l'article de M. Frobenius me fournit main-
tenant l'occasion de développer quelque peu mes idées à ce sujet et
d'y ajouter quelques remarques qui font voir qu'on peut dire géné-
ralement , que lorsque w > 0 , les expressions
( 1 - .)- [,, + « ., . + «i^-il> .,.. +« i^t^l +1) s,^: . . .j,
et
'-(l-y
84 QUELQUES THÉORÈMES CONCERNANT LES SÉRIES INFINIES.
lorsque a: tend vers l'unité en augmentant continuellement , tendent
vers la même limite que l'expression
n ^
Il me semble que la forme de la démonstration de Frobenius ne
laisse rien à désirer; c'est pourquoi je n'ai pas hésité de le suivre
entièrement sous ce rapport.
2. Le théorème dont je parlais est le suivant. Supposons que les
grandeurs ao , «i , ag . . . soient toutes positives ou du moins pas néga-
tives et que la série
V^ (ic) = tto + ai rr -h a2 a;2 4- . . .
converge pour toutes les valeurs de x, telles que 0< a;< 1, tandis
qu'elle diverge pour x=^\.
On en conclut aisément que la valeur de ip{x) augmente au-delà
de toute limite lorsque x tend vers 1 en croissant. Et si
représentent une série illimitée de nombres convergeant vers une
limite M '), il est évident que la série
f {x) = ao So + Û^l ^1 ^ + ^2 *2 ^^ + • • •
converge elle-aussi pour toutes les valeurs de x, telles que 0 < a; < 1.
Or dans ces hypothèses la propriété qu'il s'agit de démontrer
consiste en ce que l'expression
fjx)
ip{x)
tend vers la limite M , lorsque x tend vers l'unité en augmentant
continuellement.
L'hypothèse faite à-propos de la série de nombres
^0 } ^1 ) ^2 ' • • •
a le sens suivant : Si e est un nombre positif donné , il est toujours
possible, quelque petit que soit e, de choisir un entier fini n tel
que lorsqu'on pose
1) Cette limite M est supposée finie, cela va sans dire. On dit quelquefois que des gran-
deurs formant une série et qui finissent par croître au-delà de toute limite, convergent vers
la limite oo ; mais cette manière de s'exprimer me semble en général peu recommendable.
QUELQUES THEOREMES CONCERNANT LES SÉRIES INFINIES. 85
(1) 5n + * = M-|-£ft,
(A = 0, 1, 2, 3, ...)
les nombres
*0 ) ^1 » ^2 » • • •
sont tous inférieurs à « en valeur absolue.
Posons
lQ=:ao + «i^ + ûf2^^+ + a„_ia;"-^
On a alors, en faisant usage de l'équation (l),
Il s'ensuit que f{x) a une valeur intermédiaire entre
P + (M + £)[t/^(x)-Q]
et
P+(M-£)[t/.(rr)-Q],
f(x)
d'où l'on conclut que -\-x a une valeur intermédiaire entre
^ P-Q(M+j
Or, lorsque x tend vers 1, P et Q tendent vers certaines limites
finies, tandis quev^(a;), d'après notre hypothèse, augmente au-delà de
toute limite. Il sera donc possible de prendre pour x une valeur
inférieure à 1 et si peu différente de 1 qu'en valeur absolue les
expressions
P-Q(M + g) ^^ P-Q(M-6)
yj (x) y> (x)
deviennent plus petites qu'un nombre positif <5 arbitrairement choisi
et qu'elles restent plus petites que ô lorsque la valeur de x s'approche
encore davantage de l'unité.
Le théorème qu'il s'agit de démontrer est le suivant. Quelque
petit que soit un nombre donné positif /5, on pourra toujours déter-
miner un nombre positif a de telle manière que pour toutes les valeurs
86 QUELQUES THÉORÈMES CONCERNANT LES SÉRIES INFINIES.
de X vérifiant la condition 1 — a<x< lia différence ' f , — M devient
plus petite que /? en valeur absolue.
En effet, il est possible de déterminer a de cette manière. Divi-
sez ^ en une somme de deux nombres positifs ^ = ô-{-e. Cherchez
ensuite comme plus haut une valeur de w qui correspond à celle
de £, c. à d. prenez n de grandeur telle que lorsqu'on pose s,, + a = M -}- «^
les nombres «o, hf h>--' deviennent tous inférieurs à £ en valeur
absolue. Connaissant donc n et partant P et Q , déterminez a par la
condition d'après laquelle les expressions
P - Q (M + g) ^^ P-Q(M-.)
restent inférieures à 5 en valeur absolue pour toutes les valeurs de
X pour lesquelles 1 — a^x< 1.
D'après ce qui précède l'expression
yj{x)
a alors, pour ces valeurs de ic, une valeur comprise entre M -}-« 4" ^
et M — e — ô, c. à. d. entre M + /Î et M — /S. '
Il est évident que l'hypothèse d'après laquelle y {x) et f{x) sont
des séries ordonnées suivant les puissances entières ascendantes de x
ne joue à vrai dire aucun rôle dans la démonstration donnée Le
résultat peut donc aisément être énoncé sous une forme plus générale.
Il faut cependant remarquer à ce propos que notre raisonnement
exige absolument que Sn,Sn+i,Sn+2, ... ne dépendent pas de la vari-
able X, de sorte que la détermination de n est complètement indé-
pendante des valeurs particulières qu'on juge bon d'attribuer plus
tard à x.
3. Pour faire voir l'utilité du théorème démontré nous pouvons
l'appliquer à la série hypergéométrique
où il ne faut considérer que les cas oh cette série diverge pour x=l.
Commençons par rappeler les propriétés suivantes empruntées à
Gauss, Disq. gen. circa etc. Oeuvres, III, p. 125 et p. 207:
QUELQUES THÉORÈMES CONCERNANT LES SÉRIES INFINIES. 87
1) A partir d'un certain terme les termes de la série F (a, /?, y, 1)
ne changent plus de signe et augmentent ou diminuent continuellement.
2) Les termes augmentent au-delà de toute limite, lorsque l'ex-
pression a -|- i^ + y — 1 est positive.
3) Les termes tendent vers une limite finie dififérente de 0, lorsque
a-]-^-y -1=0.
4) Les termes tendent vers zéro, lorsque l'expression a-{-^—y — l
est négative.
5) La série converge pour x=l, lorsque a-{-li — y<0; elle di-
verge , lorsque a -[- ^ — y ^ 0.
D'après 3) l'expression
a(a + l)...(a + n-l);g()g-f 1)... jfi + n-^l)
1.2.S...n...Y{y + i).-.{Y + n-l)
où a-\- (i — y — 1=:0, tend pour n = oo vers une limite finie.
Cette limite est
n(y-i)
n(a-i)n(/8-i)'
On trouve un peu plus généralement
(^\ lim a{a + l)...{a + n-l)^{^+l)...{fi + n-l) _ U {u-l)n{y-l)
^ ' ' n=œU{u-\-l)...{u + n-l)y{y + ï)...{y-\-n-l)-n{a-i)n{^-iy
lorsque a -}-/^ — / — m = 0.
C'est ce qui ressort immédiatement de la définition
n (Z) = lim -, r-:r~-, p-^rr ; r r- W*.
Comme nous ne considérons ici que les cas où la série diverge
pour x = l , il faut supposer d'après 5) a-{- ji — y^O. Les deux cas
a-\- ^ - y >0 et a-\- ^ — y=zO doivent être traités séparément.
I. a + /5-j/>0.
On sait alors que la grandeur u = a -^^ — y est positive.
Si dans le théorème général on prend
_ a(a + l)...(« + n - 1) ^(^ -f- 1) .^. (y? -f n-J)
-u{u + i)...{u-i-n-'i)y{Y + i)"{y + n-l)
_M(n + l)...(M + n-l)
■" 1.2.3...n
= 1,
ao =
on trouve
88 QUELQUES THEOREMES CONCERNANT LES SÉRIES INFINIES.
ip [x) = Qo -{• a^ X -\- a^x^ -\- . . . = {l — X)- ^
/■(a;) = oo §0 + «1 ^1 ^ + «2 ^2 a^^ + • • • = F («> ^1 y, x) ,
et d'après (3)
,. „ n(w— i)n(;' — 1)
de sorte qu'on obtient immédiatement
(4) hmii-xr+^-yFia 8 V x) = nMiArJL-Li) ^^ ^y - D.
W • -^"fl/^ ^) ï[a,p,y,x)— n(a - l)n(;ff-l)
IL a + ^-}/ = 0.
Si l'on pose, pour traiter ce cas,
^ _1 ^ _(a + l)(a4-2)...(a + n)/^(^ + l).■.(^ + 7^-^) n + 1
'~ a ' ^"^ 1.2.3...w.î'(j/-fl)...(7 + n-l) ^a+n'
a
ao = a , a„ =
il en résulte
w-fl'
,;^„ _ n(Y-i) _ n(« + ^-i)
„ = 00 " ~" n (a) n (;S- f) -a n (a - 1) n (;g - 1)
Et après une petite réduction on obtient
F(«,A« + ^,a;)_ n(« + /g-l)
^^^ • • • * x = i iog(-J_] ~n(a-i)n(;8-i)"
Il est presque superflu de dire que les propriétés exprimées par
(4) et (5) peuvent aussi être déduites immédiatement de la théorie de
la transformation de la fonction F. La formule (4) s'accorde avec les
formules [82] , p. 209 et [48] , p. 147 des Oeuvres de Gauss , Tome III,
tandis que la formule (5) est une conséquence immédiate de la for-
mule [28], p. 217.
On peut appliquer une méthode identique aux séries composées
de la même manière que la série hypergéométrique, mais dans
lesquelles le coefficient de x" contient un plus grand nombre d'élé-
ments dans le numérateur aussi bien que dans le dénominateur. Si
Ton appelle F (x) la série infinie dont le premier terme est égal à 1
et dont on obtient le (w + 1)^^™® terme en multipliant le w>^™® par
QUELQUES THÉORÈMES CONCERNANT LES SÉRIES INFINIES. 89
(« -I- ^ - 1) (g^ -I- n - 1) . . . (g^ -f- n - 1)
n(fi,-\-n-l)...{^k + n-l) ^'
on trouve pour
M =: « -f «^ -(- «2 + . . . -f- a;t - ^l - A2 - • • • - ^* > 0
lim(l-a;)"F(n;)
n (w - 1) n iii, - i)n(/g, - 1). . . ri (^^ - r
n (a - 1) n {a, - 1) n (a2- 1) . . . n {a^ - 1) '
et pour
« + «1 + «2 + • • • + «* — i^l - /^2 - • • • - /^A = 0
lira ,
F (a;) _ n (^1 - 1) n (^^a - 1) . . . IUfik - 1)
'-'-(i^J
1 \ n (a - 1) 11 (Oi - 1) ... Il (a& ~ 1)
4. Si dans le théorème du n" 2 on donne à ip {x) la forme spéciale
^ (^) = Y-ZTx = 1 + ^ + ^^ + • • • r
de sorte que
ao = a^ = a2 = . . . = a n = 1 ,
il s'ensuit que
\im {1 — x) ]so -\- s^x -\- s^ x^ -]- . . . I = M ,
x = l
lim Sn = M.
tt = 00
Le théorème énoncé au n'' 1 est évidemment plus général, car
pour lims„:=M on peut en tirer, comme cela se voit aisément,
lim
go4-gl + '-' + gn-l_j^
tandis qu'il n'est pas possible de tirer réciproquement de cette der-
nière équation la formule lira Sn = M.
n =00
Cette circonstance m'induisit à examiner si d'autres hypothèses
encore concernant la fonction rp {x) permettent de remplacer dans le
théorème du n" 2 l'équation lims„=M par l'équation plus générale
n =00
lim "» + ^' + •■■ + "-'=. M.
n = 00 W
Je découvris qu'il en est réellement ainsi : on peut prendre
90 QUELQUES THÉORÈMES CONCERNANT LES SÉRIES INFINIES.
(W>0)
et
Je ne donnerai la démonstration que pour rf{x) = {i — x)-^ attendu
que la démonstration pour
n'offre ensuite aucune difficulté.
De l'hypothèse
on déduit qu'il est toujours possible, quelque petit que soit un
nombre positif donné e, de prendre un nombre entier positif w tel
que pour
(6) '-^'^"^^+t'^^- = ^ + -^'
{k = 0, 1, 2, 3, ..)
les nombres £q, e^, eg, . • • deviennent tous inférieurs à £ en valeur absolue.
Posons ensuite
je puis rappeler qu'on a
^, , , M , M(w4-1) p ,
/"(:z;) = 5o + y «1 ;r H p^" «2 ^ + • • • .
L'équation (6) donne pour Sn+k la valeur
(8) . . . . Sn+fc = M.-{-{ni-k + l)e,+i-{ni-k)ek,
ik = 0, 1, 2, 3,...)
d'où l'on conclut aisément que la série fix) converge lorsque 0< a?< 1.
QUELQUES THÉORÈMES CONCERNANT LES SÉRIES INFINIES. 91
A l'aide des équations (7) et (8) on peut maintenant donner à f{x)
la forme suivante:
f{x) = P -f M [(1 - X)-'' - Q] - n{u)nt,,x^ + R + S,
(9) . . ^ ^1
&= 00
Pour plus de brièveté on a appelé ici {u)p le coefficient de x^ dans
le développement de (1 -x)~'*, c. à. d, on a pris
^^^^ - 1.2.3...P
Attendu que les grandeurs e^ £2» • • • sont toutes en valeur absolue
inférieures à e, la valeur absolue de R est inférieure à
BU{1 -X)^{U-\- 1)„.
n + ft-1
et de même la valeur absolue de S est inférieure à
fc = 00
±£(l-w) 2^(M}„ + ,_ia;" + *-i.
A plus forte raison les expressions R et S sont donc, en valeur
absolue, inférieures à
A = 00
£M(1 -x) ^{u-\-\)kX^=:EU{l-x)-''
et
k = x
±e{l -u) ^{u)kX' = ±e{l-u){i -X)-^
k=zO
respectivement.
Si l'on pose donc
(10) ît-f-v.a. (1 — M)I=^
la valeur absolue de R -}- S sera inférieure à
£^(1 -X)-".
Par conséquent
92 QUELQUES THÉORÈMES CONCERNANT LES SÉRIES INFINIES.
OÙ y représente une fraction positive ou négative inférieure à l'unité
L'équation (9) donne maintenant , après multiplication par (1 — rc)",
(11) . (1 - xrf{x) = M-f|P-MQ-w (w)n£o^"l (1 - xr 4- eyt.
La fonction P — MQ — w(w)n£o^" est rationnelle en x et prend néces-
sairement une valeur finie pour rc = 1 , de sorte que l'expression
lP-MQ-n(w)n£o^"!(l -xY,
attendu que u a une valeur positive, tend certainement vers zéro,
lorsque x se rapproche indéfiniment de l'unité en augmentant conti-
nuellement.
On peut donc toujours, quelque petite que soit une grandeur
positive donnée ô , déterminer un nombre positif a de telle manière
que pour toutes les valeurs de x satisfaisant àl-a^a;<l,Ia valeur
de l'expression
\V -M.q-n{u)ne^x''\{l-xy*
devienne inférieure à (5 en valeur absolue.
Or, on déduit aisément de l'équation (11) que l'expression (1 -x^fix),
tend réellement vers la limite M , lorsque x se rapproche indéfiniment
de l'unité, en d'autres termes qu'on peut toujours, quelque petite
que soit une grandeur donnée /S , déterminer a de telle manière que
pour toutes les valeurs de la variable satisfaisant à 1 -a-^x< i
la différence entre la valeur de (1 — rc)"/(x) et M devient inférieure à /?.
En effet, prenez deux nombres positifs ^ et e tels que
Déterminez ensuite le nombre n de telle manière que dans l'équa-
tion (6) les valeurs de eq, e^, e^, . . . deviennent toutes , en grandeur
absolue, inférieures à celle de e. Le nombre n et partant P et Q
étant ainsi connus , prenez un nombre a tel que si la différence entre
X et l'unité n'est pas supérieure à a, l'expression
IP - MQ - W (M)n£o^"l (1 - ^)".
devient inférieure à ^ en valeur absolue. D'après l'équation (11) la
fonction {l — xYf{x)^ pour ces valeurs-là de x, est alors située entre
les limites M -|- <5 -f- i e et U-ô -te, c. à. d. entre M -j- /5 et M - /5.
VII.
(Amsterdam, Nieuw Arch. Wisk., 9, 1882, m — 116.)
Over de transformatie van de periodieke functie
Aq -f- Al cos (p -\- Bi sin ç> -{-... -\- An cos ncp -\-Bn9mn cp.
Het groote nut, dat men in veel gevallen kan trekken uit de
ontbinding in factoren van eene uitdrukking van bovengenoemden
vorm, schijnt mij de volgende eenvoudige ontwikkeling van hetgeen
hierop betrekking heeft te wettigen.
Voor het geval , dat w = 2 is , en de uitdrukking voor geen waarde
van 99 gelijk aan 0 wordt, heeft men deze ontbinding in factoren
bij de ontwikkeling der storingsfunctie sedert lang toegepast , en in
art. 54 van de Auseinandersetzung einer zweckmâssigen Méthode
zur Berechnung der absoluten Stôrungen der kleinen Planeten, erste
Abhandlung, zegt Hansen in eene noot: Die allgemeine Théorie der
Auflosung des Polynomen
X = yQ-\-y^C08X-{-y2C092x-\- YqCOSSx-{- . . .
4" sin a; . {/?o + /^i cos rc -[- /^g cos 2 a; -f- • • • I
in Factoren habe ich in meiner Pariser Preisschrift vollstandig ent-
wickelt. Ik heb van de hier aangevoerde Mémoire, sur les pertur-
bations qu'éprouvent les comètes , geen inzage kunnen nemen , en
de vorm waarin Hansen de vraagsteit, zou misschien kunnen doen
vermoeden , dat de daar gegeven behandeling eenigszins afwijkt van
de volgende.
Overigens wil het volgende niets anders zijn dan eene beknopte
samenstelling van de formules, die voor de besproken herleiding
noodig zijn.
94 DE TRANSFORMATIE VAN EENE PERIODIEKE FUNCTIE.
Omirent de reëele coëfficiënten A^, B^, in de uitdrukking
Aq + ^i cos (p -\- A2 cos 2 (p -\- . . . -|- An cos w 99 -4"
-}- Bj sin 99 + B2 sin 2 99 -f- • • . + Bn sin w 99
zal alleen ondersteld worden , dat A„ en B„ niet beide gelijktijdig
nul zijn, wat blijkbaar geen schade aan de algemeenheid doet. Ter
bekorting zal bovenstaande uitdrukking door F (93) aangeduid worden;
zij verder
e'^^ = cos cp -\- i sïn (p = z ,
dus
6 "" ^ ' = cos 99 — isin(p = z-'^ ,
dan is
2 F ((^) = 2 Ao + Al iz + s-i) + A, (2^ + z -2) _f- . . . -f A„ (2" -f 2"") —
— Bi i (0 — 0- 1) — B2 2 (02 — 2r -2) — . . . — B„ I (2" — 3 -") ,
of wel
2 0«F(9^) = GU),
wanneer gesteld wordt
G(z) = iAn-Bni)z'--}-{An-.i-Bn-iiy^^-' + ... + {A,-B,i)z^+'-{-2AoZ^-\-
+ (Al + Bi ^) s" - 1 + (A, 4- Bo 2) 2"-2 + . . . -f (An + Bn 2).
De gebroken functie ^2;-«G(2) neemt dus voor z = e^\ d. w. z.
voor waarden van z met den modulus 1, de waarde F (99) aan De
geheele functie van den 2n'**" graad G (z) heeft nu blijkbaar deze
eigenschap, dat
s2nG(l
toegevoegd is met G (2), en dit heeft eene bijzondere eigenschap van
de wortels der vergelijking (}{z) = 0 ten gevolge. Zij namelijk
G (2) = (An - Bn i) {z - p, e5>«) (z - p.2 65^0 ... (0 - po„e^^«''0,
dan moet de uitdrukking rechts onveranderd blijven , wanneer men
z door — vervangt, vervolgens met s^w vermenigvuldigt en eindelijk
z
i en —i verandert; dus heeft men
G(2;) = (An4-Bnî)(l -pie-3.»s)(l - p2e-~9.i 2) , , , (i - p^^ e-^^"' z).
Volgens de eerste ontbinding zijn de gezamenlijke wortels van de
DE TRANSFORMATIE VAN EENE PERIODIEKE FUNCTIE. 96
vergelijking Q(z) = 0, elk dezer wortels zooveel maal neergeschreven
als door den graad van veelvoudigheid wordt aangewezen ,
en volgens de tweede ontbinding
Pi P2 P2n
Daar nu deze beide groepen alleen in volgorde kunnen verschillen,
zoo blijkt hieruit, dat wanneer jp^e^i» een r-voudige wortel is, ook
— 6«> * een r-voudige wortel is.
Pi ^
De gezamenlijke wortels van de vergelijking G(2) = 0 kunnen dus
in twee groepen gesplitst worden.
Vooreerst de wortels met een modulus verschillend van 1. Deze
wortels kunnen voorgesteld worden door
r^e"!', r2e"»S . . . , r^e"*',
ri ' ra ' ' rk
waarin r^ , r.,, . . ., r/, aile kleiner dan 1 zijn.
Het geheele aantal dezer wortels is even en gelijk aan 2 k.
Ten tweede de wortels met een modulus 1. Deze mogen zijn
Hun aantal 2 l is evenzeer even , en men heeft
k + l = n.
Het is trouwens duidelijk, dat Vj, Vg, . . .,^21 de wortels zijn van
F(9.) = 0,
en daar F (99), bij vermeerdering van 99 met 2^1, dezelfde waarde aan-
neemt, zoo valt hieruit reeds op te maken , dat het aantal dezer
wortels even moet zijn.
.Hierbij is nog op te merken, dat uit
2z''Fi(p) = G{z)
in verband met
dz~ '^ *
door differentiatie naar z volgt
s"-i [2w F («^) — 2 i F' M] = G' {z),
« » - 2 [2 n (2 w — 1) F M — 2 (2 w — 1) i F' (</>) + 2 F" {<p)] = G" {z) ,
96 DE TRANSFORMATIE VAN EENE PERIODIEKE FUNCTiE.
waaruit blijkt, dat wanneer voor zekere waarde van z
G(0), G'(«), G"(0), ...,G(^-i)(0),
aile nul worden , en G(^^(0) niet nul is, voor de bijbehoorende
waarde van 9? ook
F(9.), F'(9>), F"(<^), ..., FC-DCç.),
gelijk nul zijn, en Y^^^{<p) niet nul is; zoodat een r-voudige wortel
van G (0) = 0 overeenkomt met een r-voudigen wortel van F (99) = 0.
Wat M^, M2» • • -, Wfc, l'i, V2, ' . -,V2i betreft, wegens de periodiciteit der
exponentiaalfunctie kan men elk dezer waarden met een willekeurig
veelvoud van 2n vermeerderen of verminderen, en ze dus aile
bijv. > 0 en < 2 tt onderstellen. Het is voor het volgende overigens
geheel onverschillig, hoe de bepaling hierover getroffen wordt, wan-
neer slechts aan de eenmaal aangenomen waarden vastgehouden
wordt.
Na dit ailes is dus
G (2) = (A„ - B„ i) X T X U X V,
T = (z - r^ e"'») ...(z-Tk e"*0 ,
U = (.-^eM)...(._i- .«.<).
V = (0 - c"' 0 {z -€"<'')... (z - e"*' •) ;
en dus voor z = e^^
F ((p) = ^ e-^î'* (An - Bn i) X T X U X V.
Door nu de factoren van T, U, V respectievelijk aldus te herleiden
eî'*-rit".« = e«'»X(c(^~"'^*" - r,) ,
eî''- — fc«.» = 6Î"xfl---e-^''-"'^l
n \ n r
en vervolgens gebruik te maken van de identiteiten
komt er
DE TRANSFORMATIE VAN EENE PERIODIEKE FUNCTIE 97
F (93) = C [1 — 2ri cos {cp — Ml) + r^^] x . • • X [1 — 2rA cos {(p — m^) + r'i] X
X sin ^{(p — Vi) sin \ [cp — v^)... sin \{(p — v-zi),
waarin
Bepaalt men R en a zoodanig, dat
An + Bni^Re"»,
dus
An — Bni = Re-''»
is, dan volgt voor het product van aile wortels der vergelijking
G(^)=:0 de waarde e^"*, dus
of wel
2 a -|- 2 m 71 = Vi + î^2 4- • • • + î'a i + 2 Ml + 2 Wg + • • • +2 W;t ,
waarin m een geheel getal is , waarvan de waarde door deze verge-
lijking volkomen bepaald wordt , wanneer men eenmaal de waarden
van Vi,r2, . . . , r2i, Mi, Wg, . . . , Wj^ en a op bepaalde wijze aangenomen
heeft.
De waarde van C wordt nu
(_ l)n 22i-i E, g-^ig" +"»" (ri r2 . . . rit)-S
of
C = (— 1)»» + »* 22^-1 R (ri rg . . . r^)- 1 .
Hier volgt ten slotte de samenstelling van aile formules:
F (99) = Ao + ^1 cos 9? + ^2 cos 2 9? + • • • + ^n cos w 93 -f-
4" Bi sin 9? -[- B2 sin 2 9? -j- • • . + Bn sin w 99 ,
+ 2 Ao s»» + (Al 4- Bi i) 2« - 1 + (A2 + Bo i) 2»» - 2 -I- . . . + ( An + B„ 0-
Wortels van G{z) = 0:
rie">», roe^*\ . . . , rke"*"',
n ^2 ^*
e"'», e"*», . . . , e""*,
rj, rg, . . . , r/c kunnen aile kleiner dan 1 genomen worden ;
98 DE TRANSFORMATIE VAN EENE PERIODIEKE FUNCTIE.
2 a + 2 m 71 = Vi + z?2 4- . . . + i;2i 4- 2 (Ml + M2 + • • • 4- Wi) ,
¥{(p) = Cx'n[l — 2rpC0s((p — Up)-^rl] X^n 8mX((p — Vp).
p=i '^ p=i ^
Om een enkel voorbeeld te geven , zij
F (95) = 4 — 3 K2 sin <p — 2 1/2 cos^ (p.
Men vindt , dat F (9?) , F' (95) , F" (9?) voor 9? = 45° nul worden , ter-
wijl F'" (99) niet nul is, dus heeft men
Een vierden wortel van F(9?) = 0 vindt men door benadering; er
komt
v^ = 106° 35' 45".4.
Nadat aldus vier wortels van de zesdemachtsvefgelijking G(z) = 0
gevonden zijn, is het gemakkelijk de beide overige rg"* en — e"»
te bepalen. Ik verkrijg ten slotte
F (9?) = C [1 — 2 r cos (9? — m) + r^] sin^ | (<p — v-^) sin | (9? — V4) ,
i^log C = 1.268505 ,
ioiogr = 9.484070 — 16,
M=239°12'7".3,
ri = 45°,
v^ = 106° 35' 45''.4.
VII.
(Amsterdam, Nieuw Arch. Wisk. , 9, 1882, iri — 116)
(traduction)
De la transformation de la fonction périodique
Aq + Al cos 99 + Bi sin 99 -|- • • ■ + An cos w 99 + B„ sin n 99.
La grande utilité qu'on peut retirer dans bien des cas de la décom-
position en facteurs d'une expression de la forme écrite ci- dessus me
semble justifier les simples considérations suivantes sur ce sujet.
Dans le cas où n = 2 et où cette expression ne devient nulle pour
aucune valeur de 99 on a depuis longtemps appliqué cette décomposition
en facteurs ; on s'en est servi dans le développement de la fonction
perturbatrice , et dans le n^. 54 de son Auseinandersetzung einer zweck-
mâssigen Méthode zur Berechnungder absoluten Stôrungen der kleinen
Planeten, erste Abhandlung, Hansen dit dans une note: J'ai déve-
loppé complètement dans mon ouvrage couronné à Paris la théorie
générale de la décomposition en facteurs du polynôme
X = 7o + ^1 cos a; + 72 cos 2 a; -f ^3 008 8 a; + . . .
+ sin a; . |/5o + /?i cos a; + /^g cos 2a; + . . .(.
Je n'ai pas pu me procurer le Mémoire sur les perturbations qu'éprou-
vent les comètes , auquel l'auteur fait allusion ; et la forme dans
laquelle Hansen pose le problème pourrait nous amener à supposer
que sa méthode diffère quelque peu de la nôtre
Notre article n'a d'autre but que celui d'indiquer brièvement les
formules nécessaires à cette décomposition.
La seule hypothèse à faire concernant les coefficients réels A^, B*,
dans l'expression
Ao -^- Al cos 9? -f A2 cos 299 -f- . . . -f- A„ cos n99 +
+ Bi sin 9? -[- B2 sin 2 99 -|- . . -}- Bn sin n99
100 DE LA TRANSFORMATION D'UNE FONCTION PÉRIODIQUE.
est celle ci que An et Bn ne s'annulent pas en même temps, ce qui ne
nuit pas à la généralité.
Pour simplifier, l'expression ci-dessus sera indiquée par F (ç>). Posons
en outre
e?" = C03(p -\- i8[n(p = z,
donc
e~^' = cos9? — iam(p = z~^,
nous avons alors
2F{cp) = 2Ao + A,{z-i-z-^) + A,{z^ + z-^)i-... + An{z- + z—)-
— Bii{z — z-^) — B2i{z'^ — z-^) — ... — Bni{z'' — z-''),
ou bien
2s" F (9?) = G (^),
si l'on pose
G(0) = (A„-BnO2'" + (A«_i-B„_iO22"-i-f... + (Ai-BiZ>" + i4-2Ao0" +
4-(Ai + BiOs'»-' + (A2 + B2ï)s"-2 + ... + (An4-Bna
La fonction fractionnaire ^z-'^Gc{z) prend donc pour z=^e'^\ c.-à-d.
pour des valeurs de z dont le module est égal à l'unité, la valeur F (99).
La fonction entière G {z) du degré 2w jouit apparemment de la propriété
suivante : l'expression
est conjuguée avec G(z). Il en résulte une certaine propriété des racines
de l'équation G {z) = 0. En effet , posons
G(^) = (An — B«z)(0 — ^ieî'*)(^— P2e^'•)•••(^-P2ne*"•0•
L'expression qui figure au second membre doit alors rester invariable,
lorqu'on remplace z par — , qu'on multiplie ensuite par z'^^ et qu'on
change enfin i en — i. Par conséquent
G {z) = {An 4- Bni) (1 — Pi e-«'*' z) (1 —po e-^'^z) ...{i—p2n e-'i"'^z).
D'après la première décomposition, les racines de l'équation G (z) = 0,
sont
oii chaque racine doit être écrite un nombre de fois égal au degré de
DE LA TRANSFORMATION D'UNE FONCTION PÉRIODIQUE. 101
multiplicité correspondant ; et d'après la seconde décomposition ,
elles sont
— e^»*, — c*»*, .... — e«««*.
Comme ces deux groupes ne peuvent différer que par l'ordre de leurs
termes, il s'ensuit que lorsque p^ 6«'* est r fois racine, il en est de même
pour — e*'*.
Les racines de l'équation G (0) = 0 peuvent donc être divisées en
deux groupes.
On a d'abord les racines dont le module diffère de l'unité Ces
racines peuvent être représentées par les expressions
r^e"'*, r2e"'*, . . . , ne"**,
— 6«'', — e"»», . . . , — e"*»,
où les grandeurs r^, r<i, . . .,rk sont toutes inférieures à l'unité.
Le nombre total de ces racines est pair et égal à 2A;.
En second lieu nous avons les racines avec un module 1. Sup-
posons que ce soient les racines
e"»», e"»», . . ., e""».
Leur nombre 21 est pair également, et l'on a
k-\-l = n.
Il est d'ailleurs évident que v-^, v^, • • • , V2i sont les racines de
F(9P) = 0
et comme F (9?), lorsque l'angle (p est augmenté de 27i, prend la
même valeur, cette remarque suffit pour faire voir que le nombre
de ces racines doit être pair.
Nous pouvons encore observer à ce sujet que l'équation
2«"F(ç?) = G(^)
donne, lorsqu'on la dérive par rapport à .s en tenant compte de la
relation
d<p 1
dz
0«-i [2 w F (9?) — 2 î F' {(p)] = G' {z),
0"-2 [2 w (2 w — 1) F (<p) — 2 (2 n — 1) î F' (9^) + 2 F" (9^)] = G" {z) ,
102 DE LA TRANSFORMATION D'UNE FONCTION PÉRIODIQUE.
ce qui fait voir que lorsque pour une valeur déterminée de z les
fonctions
G(^), G'(^), G"f^), ..., QC-^C^)
s'annulent toutes, tandis que G^*'^^) ne s'annule pas, les • fonctions
F(9.), F'(9P), F"(9.), ..., F('-i)(ç.)
s'annulent également pour la valeur correspondante de 9?, tandis que
F('')(97) ne s'annule pas: d'où il résulte qu'un nombre qui est r fois
racine de G (^) =: 0 correspond à un nombre qui est r fois racine
de F((^) = 0.
Quant à w^, 2/2, •••, w^, i\, ra, ..., v^u à cause de la périodicité
de la fonction exponentielle , on peut augmenter ou diminuer chacune
de ces grandeurs d'un multiple quelconque de 2n^ de sorte qu'on
peut les supposer toutes p. e. > 0 et < 2n. Il est d'ailleurs absolu-
ment indifférent pour la suite de savoir quelle choix de ces gran-
deurs on a fait: il suffit qu'on s'en tienne aux valeurs une fois
adoptées.
Après tout ceci on a donc
G (^) = (An — Bn V) X T X U X V ,
T = (5; — fi e^^'O ... (0 — r^ e"**) ,
U:=
- z —
1
^1
g M:
\
•
.(.-
1
gMA
V =
^{z-
6^1'
';(0
—
e'
^^'j.-
.{z-
-e«
= .T*
'):
partant , pour z
F (<p) = ^ e-"?»' (A„ - Bn î) X T X U X V.
En réduisant alors les facteurs de T, de U et de V respectivement
de la manière suivante
ri V n /'
g ? » g t), j __ g i (? + "1)» /g i (?> - fi)i g - i (? - u.) n
et en faisant usage ensuite des identités
(g(?-".)»_^^)(l_±g-(?-«:)A^_I_fl_2^^cos(<p-Mi) + r?],
gi(9'-f,)i_g-4(y-r,)i_2^-gin|(ç,_^^)^
DE LA TRANSFORMATION D'UNE FONCTION PÉRIODIQUE. 103
on obtient
Fi<p) = C[l — 2r^ eus {(p — u^) + rl]X...X[l — 2rk cos (97 — u^) + ri] X
X siii 1(9? — t\) sin l {(p — V2) . . .8m^{(p — V2i);
où
C =(— 1)" 22'- 1 (An — Bn 0 ei(^' + "^ + ••• + ''" + 2«. + 2m, +... +2M*)i (^^ ^^ , , ^ ^^)- 1.
Si l'on détermine R et a de telle manière que
donc
Ân — Bni = Re-''\
on obtient pour le produit de toutes les racines de l'équation
G (2)^0 la valeur e^"» et par conséquent
g 2 O t -_ g (», + C, 4- . . . + C,^ + 2 Ui + 2m, + . . . + 2 M;s)t
ou bien
2a-{-2mn = v-^-\-V2-\-...-\-V2i-\-2u^-{-2u2-{-...-\-2Uk;
équation dans laquelle m représente un nombre entier, dont la va-
leur est entièrement déterminée par cette équation, dès qu'on a adopté
des valeurs déterminées de v^, v^^ . . .,V2i, de u-^, U2, .. .,Uk et de a.
La valeur de C devient maintenant
(_l)n22i-iRe-«te(« + "»'').(rir2...rjt)-S
ou
c = (— l)"» + « 22' - 1 R (ri 7-2 . . . n) - 1.
Voici enfin une récapitulation de toutes les formules trouvées:
F (9?) = Aq + Al cos 9? + A2 cos 2 99 + • • • + An cos w 9? -f-
+ Bi sin 97 -(- B2 sin 2 97 + • • • + Bn sin w 9? ,
+ 2Ao^" + (Ai + BiO^«-i + (A2 + B20^"-2 + ...+(An + Bni).
Les racines de G (^) ^ 0 sont
rie">»,
r-je".', .
.., r^kfc"*»;
±,.,
i-"-
Tk
e".',
e"»», .
. . , e"«*.
Les grandeurs r^, rg, . . . , r* peuvent toutes être prises inférieures
à l'unité.
104 DE LA TRANSFORMATION d'UNE FONCTION PÉRIODIQUE.
An + Bnî^Re"*,
2a-^2m7i = v^-\-V2-j-...-}- V2i-\- 2 (Wi + t/2 + . . . + W/t),
C = (— l)»» + "2 2«-iR(rir2...rfc)-i,
p = k p=2l
F{(p) = Cx n [1 — 2rpCos(9? — Wp) + râ X n sinACç? — Vp).
p=i p=i
Pour donner un seul exemple, soit
F {(p) = 4 — SV2 sin cp — 2V2 cos ^ q,.
On trouve que F (99), F' (99), F" (95) s'annulent pour 97 = 45°, tandis que
F'" (9?) ne s'annule pas. Donc
v^ = rg = Vs = 45°.
Une quatrième racine de F (99) == 0 , trouvée par une méthode
d'approximation, est
v^ — 106° 35' 45".4.
Après que quatre racines de l'équation du sixième degré G{z) = 0
ont été trouvées de cette manière, il est facile de déterminer les
deux autres re"* et — e"*. J'obtiens enfin
F (99) = C [1 — 2 r cos (99 — m) + ^'"^J sin^ | (9? — v^) sin -^ (99 — vj ,
loiog 0=1.268505,
ioiogr = 9.484070— 16,
w=:289°12'7".8,
v^ = 106° 85' 45".4.
VIII.
(Amsterdam, Nieuw Arch. Wisk., 9, 1882, 198— 211)
Over een algorithmus voor het meetkundig midden.
In het 89»*" deel van het Journal fur die reine und angewandte
Mathematik p. 343 , heb ik eene rekenwijze aangegeven , waardoor
het mogelijk is, wanneer k positieve getallen a^, a.2^,...^ak gegeven
zijn , uit deze getallen op rationale wijze A; an dere getallen 6^, 69» 'm^a;
af te leiden , zoodanig dat a^ ^2 • • • ^* = ^1 ^2 • • • ^* ^s, en de verschil-
len tusschen de getallen h^.h^, . . .,hk onderling zoo klein kunnen zijn,
als men verkiest.
Ik stel mij voor in het volgende op dit onderwerp terug te ko-
men , en de bewijzen mede te deelen van hetgeen in die korte noot
is uitgesproken.
1. Zij dan , wanneer a^, a^, • . .^au willekeurige reëele getallen zijn,
Ml hun rekenkundig midden, d. w z. hun som gedeeld door hun
aantal k; M2 het rekenkundig midden van aile producten van twee
verschillende der getallen a^, ^2, . . . , a&, d w. z. de som dezer pro-
ducten gedeeld door hun aantal 0 ; evenzoo M3 het reken-
kundig midden van aile producten van drie verschillende der ge-
tallen «1 , «2, • . . , «jt enz ; eindelijk M;t = a^ a, . . . a^t.
Omtrent de getallen a^, Oo^ . . . ,ak wordt verder niets ondersteld,
zoodat het 00k gebeuren kan , dat eenige dezer getallen gelijk
zijn. Het is nauwelijks noodig op te merken , dat daarom hierboven
het woord verschillende niet betrekking heeft op de getallenwaarde
van ai , ^2 , . . . , a^t , maar wel op de aan deze getallen toegekende
individualiteit.
106 OVER EEN ALGORITHMUS VOOR HET MEETKUNDIG MIDDEN.
Voor de gelijkvormigheid stel ik nog vast, dat Mq=1 zal zijn.
De uitdrukking
M^-Mp_iMp +
(p=l,2,3,...,A;-l)
is nu in het algemeen positief, of scherper uitgedrukt, deze uitdruk-
king is nooit negatief en alleen dan gelijk nul, wanneer 5f aile ge-
tallen a^, ag, ..., Ok aan elkander gelijk zijn, ôf wanneer minstens
k — p-j-l dezer getallen gelijk nul zijn, in welk geval blijkbaar Mp
en Mp4-i afzonderlijk gelijk nul zijn.
Deze eigenschap is in hoofdzaak sedert lang bekend, en voor
eenige geschiedkundige opmerkingen hieromtrent kan ik volstaan
met te verwijzen naar een opstel van Dr. D. Bierens de Haan, in
het 8'^^ deel der Verslagen en mededeelingen der Koninklijke Aka-
demie van Wetenschappen , Afdeeling Natuurkunde , Amsterdam ,
1858, p. 248—260. Men zie ook het opstel van Lobatto in het
9'^'' deel dier Verslagen, p. 92—106.
Voor het gemak van den lezer , en ook om de grensgevallen ,
waarin de uitdrukking gelijk nul wordt, volledig te behandelen,
laat ik hier echter het bewijs van het boven gezegde volgen.
2. Zij gegeven
( f(^) = {x — tti) ix — a2)...{x — ttk) ,
^^^ f{x) = Mox'< — 4-'^iX''-'^+ ^^t"^^^ M^x^-^ — .■. + Mfe,
\ 1 1 . ^
waar in het tweede lid het bovenste of onderste teeken te nemen
is, al naar dat k even of oneven is.
Volgens de onderstelling omtrenta^, «g? • • • > ^a: heeft dan de ver-
gelijking f{x)^=0 slechts reëele wortels , en hetzelfde geldt dus van
de vergelijkingen, die vorderen, dat de verschillende afgeleide functiën
van f{x) de waarde nul aannemen. Daarom heeft ook de vergelijking
(2) 0 = MoxP + ^—^^-i^M^x^i-^^^^M2xP-'^—...±^^Mp + Mp + i
1 1 . ^ 1
alleen reëele wortels, want deze vergelijking is niet wezenlijk ver-
schillend van
dx^^-p--^
OVER EEN ALGORITHMUS VOOR HET MEETKUNDIG MIDDEN. 107
Ik onderscheid nu deze drie gevallen.
1°. Mp + i is niet gelijk nul.
2°. Mp-j-i=:0, maar Mp is niet gelijk nul.
3°. Mp + i = 0 en Mp = 0.
In het eerste geval zijn ook aile wortels van de vergelijking
reëel, en derhalve ook die van
(4) 0=:Mp + ia:2 — 2Mp.T + Mp_i;
want het tweede lid dezer laatste vergelijking onderscheidt zich
alleen door een stand vastigen factor van de {p — ])'*^ afgeleide van
de functie, die het tweede lid van (3) uitmaakt. Uit de realiteit der
wortels van (4) volgt nu
M^ — Mp_iMp^i^O;
en wel is M^ — Mp_iMp + i alleen dan gelijk nul, wanneer de beide
wortels van (4) gelijk zijn. Hiertoe is weder noodzakelijk en vol-
doende, dat aile wortels van (3), dus ook aile wortels van (2), aan
elkaar gelijk zijn , wat weder medebrengt dat aile wortels van
f(x) = 0 gelijk zijn , of rr^ = «g = • • • = «'*:•
IsdusMp + i niet gelijk nul, dan is M^ — Mp-iMp + i altijd positief,
behalve wanneer a^ ^^g^ . =aA:, in welk geval de uitdrukking
gelijk aan nul is.
In het tweede geval is blijkbaar M^ — Mp-iMp + i positief.
Eindelijk is in het derde geval deze uitdrukking gelijk aan nul,
en heeft de vergelijking (2) minstens twee wortels gelijk nul, zoodat
de vergelijking f{x)^0 minstens k — p-{-\ wortels gelijk nul heeft;
of m. a w. in dit geval zijn minstens k — p-\-l der getallen a^ «g» •••»«*
gelijk aan nul.
Hiermede is het in art. 1 uitgesprokene volledig bewezen.
3. Van nu af onderstel ik , dat a,, «9» • • • j^* aile positief zijn ,
en stel
/c\ I nr / Mo , Mo , Mifc
M/ ^-^-M^' "-^-M,.!'
108 OVER EEN ALGORITHMUS VOOR HET MEETKUNDIG MIDDEN.
zoodat de getrofifen overeenkomst omtrent Mo veroorlooft te schrijven
{p=:],2,S,...,k)
waaruit volgt
ctp — Op + l'
Mp — Mp_iMp + i
Mp_iM.
dus
a'p^a'p + i;
en, wanneer ook de waarde nul voor a^, a2, . ■ . ^ak uitgesloten wordt,
kan alleen dan a[=^afp^-^ worden, wanneer a^=:a2= ■ • • = Ok. Daar
ook dit laatste geval geheel zonder belang is, kan het gevoegelijk
buiten beschouwing blijven, en is derhalve
(6) a'i > «2 > a's > «4 > . . . > oîfc ;
terwiji uit (5) onmiddellijk volgt
(7) tti «2 «3 . . . «A = al a2 a's . . . ajfc .
Nu is blijkbaar
, _ «1 + «2 + 0^3 + • • ' + «A
O'k
aj ttg ag ' ' Œk
en, wanneer wij nu onderstellen dat geen der getallen ffi, %» • • • . o'fc.
grooter dan % en kleiner dan ak is, zoo volgt
«A: > «1 ,
derhalve aftrekkende
^ l
(8) 0 < a'i — 4 < -j— («1 — ttk).
Leidt men nu uit ai , a^. ■ ■ , a'k eene nieuwe groep van k getallen
aï , a2 , . . . , a'k af op dezelfde wijze als a'i, a2 , . . . , a^ uit a^ , ag , . . . , a^ ;
OVER EEN ALGORHHMUS VOOR HET MEETKUNDIG MIDDEN. 109
evenzoo uit ai', a2 , . . • , a'k de getallen ai", aï', . . . , a'k enz ; dan is dus
Oi > a\ > a2 > .. .> a'k > Uk,
a'i >a'{ > 0^' > ...> a'k > a'k,
a'x > ai" > ar > . . . > a'i^' > a'^ ,
0<a'i — a'k< j^^ {a^ — ak) ,
0 < ai' — a^' < - "■- (ai — aJtX ( ""-) (ûTi — a^t) ,
0 < ai" - a'i'< ^ (ai' - a'ji) < (^f (a^ - a*) ,
»! ag . . . ajt = ai a'2 . . . a^ = a" a2' . . . a* = ai" a2" . . . ajt' = • • . ,
en voor de n^^ afgeleide groep van getallen af^ , af\..., a^ heeft
men
,(n-l) \ ^(n) \ ^(n) \ \ ^(n) -^ ^^("-1)
A; — 1\"
0<ai«)-a^-)<(^-^)"(a,-a.),
a,a^^...ak = a'('UfK..a^;^\
Daar nu
^A — IX"
m
bij onbepaald toenemende waarden van n, ten slotte zoo klein wordt
als men verkiest, zoo volgt dat de getallen aj^^ af\ ..., a{*> aile
voor M = 00 tôt eene gemeenschappelijke limiet convergeeren , die
blijkbaar gelijk is aan het meetkundig midden van a^, a2, . . . ■, ak
k
l/"ai «2 . . . a*.
4. Voordat ik verder ga , zij het geoorloofd eenige getallenvoor
beelden te geven.
110 OVER EEN ALGORITHMUS VOOR HET MEETKUNDIG MIDDEN.
Eerste voorbeeld. A; = 3.
«1 =5,
«2=5,
«3 =4,
14
, 65
, 60
«3=^3,
„ 7603
"' ~"1638'
35290
^'-"767"3'
16380
^^ - ^529
of
ai' =4.64163 61416 36...,
a^' = 4.64158 88465 08...,
a^' = 4.64154 15131 77....
Men ziet, hoe snel de getallen van eene zelfde groep tôt elkaar
naderen , immers
al — a2 = 0.02380 95 ... ,
a^ — as = 0.02747 25 ... ,
al' — a'^ = 0.00004 72951 38 ... ,
a'^ — afi = 0.00004 73333 31 ... .
Het gemiddelde der waarden van de tweede afgeleide groep geeft
al" = 4.64158 88337 74 ... .
Later zal blijken, dat het verschil al" — aé" ongeveer 3 eenheden in
de lO*** decimaal bedraagt. De limiet is hier
I^ÏÔÔ^ 4.64158 88336 12769 . . .
Tweede voorbeeld. A; = 4.
of
«1=3,
a2 =2, «3=2,
a, =2,
9
20 , 11
a2=^, «3=y,
n' 24
_ 17531
""' - 7920 '
„ 116410 „ 128826
"'- 52593' ""'- 58205 '
15840
"^ - 7157
ai'= 2.21351 010101...,
a^'= 2.21341 24313 1...,
as' = 2.21331 50073 0...,
al' =2.21321 78287 0....
OVER EEN ALGORITHMUS VOOR IIET MEETKUNDIG MIDDEN. 111
en
ai -«^=0.02777 78...,
a2 —as=0 02222 22 ... ,
a's —ai =0.01118 18.. ,
al' — a^ = 0.00009 76697 0 . . . ,
al' — a'é = 0.00009 74240 1 . . . ,
0^' — ai' = 0.00009 71786 0 . . . .
Uit de waarden van al', 02, as, «4 volgt
a'r = 2.2 1336 38420 8...;
de limiet is hier
1^'24 = 2.21336 38394 007 ... .
5. In de beide gegeven voorbeelden worden de verschillen der
opvolgende getallen van eene zelfde groep
ttl — «2 , O2 — «3 , • • •
a'i — «2 , «2 — 03 , . . .
niet alleen bij overgang tôt de volgende groepen, hoe langer hoe
kleiner, maar de verschillen die tôt eene zelfde^groep behooren, wor-
den hierbij onderling hoe langer hoe minder verschillend.
Inderdaad kan men het volgende uitspreken.
Het quotient van elke twee der k — l verschillen
(i>=l,2, 3, ...â:-1)
convergeert voor n = oo tôt de limiet 1.
Van de verschillende bewijzen , die ik voor deze eigenschap vond ,
is het volgende verreweg het eenvoudigste.
6. Ik stel
a^ = a — iCi ,
02 = a — rcg ,
«3 = 0 — 0:3 ,
waarin a een willekeurig getal is , en neem verder aan
Xi<X2<Xs<...<:Xk,
zoodat ook geen twee der getallen a^ Og, . . ., Uk gelijk zijn. Verder zij
112 OVER EEN ALGORITHMUS VOOR HET MEETKUNDIG MIDDEN.
( f{^)=={x — X^) {X — X2)... {X — Xk) ,
zoodat de getallen No, Nj, ...,Nfc op dezelfde wijze uit x^, X2,...,Xk ge-
vortnd zijn als Mo, M^, . . . , M;t uit «i, «2» • • • , «a:. Het kaii tôt geen
onduidelijkheid aanleiding geven, dat f(x) hier en in het vervolg eene
andere beteekenis heeft dan in art. 2. Men overtuigt zich nu on-
middellijk, dat de getallen Mq, M^, . . . , Mk, op de volgende wijze door
middel van de functie f{x) en hare afgeleide functiën uitgedrukt
kunnen worden
M, =r{a),
kMk-i = r{a),
Â;(A; — l)...3.2Mi =/"(^-i)(a),
^k{k— 1)... S. 2. IMq =f^^^{a),
waaruit dus volgt
(p- 1,2, 3,..., A;)
waarbij p{a)^=f{a) te nemen is.
In plaats van (11) kan men 00k schrijven
NoflP— -|- Ni aP-^-\- ^^^~^^ Ng aP-2 _ . , .
^^^^ • ''^No^-^^^^^^^^h^^^
Ontwikkelt men deze vvaarde van a'p volgens de afdalende machten
van a, dan vindt men voor de eerste termen dezer ontwikkeling
,,^, 'M (p-l)(NJ-NoN2)
De p reëele ongelijke wortels der vergelijking van den p*^^" graad
mogen genoemd worden y-^, y^, . . . , yp volgens hunne grootte gerang-
schikt, dus
y^<y2<"-<yp-
OVER EEN ALGORITHMUS VOOR HET MEETKUNDIG MIDDEN. 113
Evenzoo mogen z^<^Z2<i ■ - . < Zp-^ de reëele ongelijke wortels van
de vergelijking /"*-p+i (a;) = 0 zijn , zoodat z-^^ tusschen y^ en ^g» %
tusschen y^ en 2/3 ... , eindelijk Zp-i tusschen yp-i en yp ligt. Hierbij
is dus p > 1 te onderstellen. Volgens (11) is dan
a' = (g — yi)(a — y2)---(fl^ — yp)
^ (a — z^) {a — Z2)...{a — Zp-i) '
en wanneer men de deeling uitvoert en in gedeeltelijke breuken
splitst, volgens (13)
(14) «^=«-Ni+'z'^,
waarin
Q5) ^ ^^ i^k — Vi) {zk — y 2)"' {zk — yp)
{Zk — Z^-"{Zk — Zk-\){Zk — ZkJrl)"'{Zk — Zp-i)'
In den teller van deze uitdrukking voor A^r zijn de factoren
{zk — Vi) {zk — 2/2) • • • (zk — yk) ,
aile positief; daarentegen de overige factoren, ten getale van p — A:,
Zk — yk + i, Zk — yk+2) . . . , Zk — yp,
aile negatief.
De negatieve factoren in den noemer van A^ zijn
Zk-— Zk-\-l, Zk Zfc + 2, '•', Zk Zp-i]
hun aantal is p — k — 1. Het aantal negatieve factoren in den teller
van Ak is dus één grooter dan het aantal negatieve j^ctoren in den
noemer; derhalve zijn
-^1 1 -^2 > -"3 I • • • > -^P — 1 >
aile negatief, en daar de verschillen
a — ^i>a — ^2>--->^ — Zk-i
positief zijn , zoo volgt
4>a-N,+ Ai + A2 + --- + Ap-i^
^^ ^ a-'Zp-i
Nu is Al + A2 + . . -|- Ap.-i blijkbaar de coefficient van — in de
Qi
ontwikkeling van ap, volgens de afdalende machten van a; dus
8
114 OVER EEN ALGORITIIMUS VOOR HET MEETKUNDIG MIDDEN.
volgens (13) gelijk aan — (p— 1) (N?— NoNg), verder is a — z^ kleiner
dan a — x^ = a^, a — Zp-i grooter dan a — Xk = Ok, terwijl a — N^
blijkbaar gelijk aan ai is; zoodat nu volgt
(P-1)(N;-NoN,)
Up <^ «1 — ,
(16) .
«1
,^ , (P-1)(N;-NoN2)
ap> ai
ttk
Voor p^l heeft men blijkbaar de teekens > en < door het
gelijkteeken te vervangen.
7. De afleiding der ongelijkheden (16) steunt wezenlijk op de om-
standigheid dat A^, Ag, . . ., Ap_i aile negatief zijn. Men kan dit
laatste ook nog aldus aantoonen.
Zij
g (x) = {x- 2/i) (rc — 2/2) . . . (o; — yp) ,
dan is blijkbaar
, _ pg(a)
en
9'{x)_ 1 _^_J__^ _^ 1
g{x) x — y^~x — y2~"'~x — yp'
waaruit door differentiatie volgt
g{x)g"{x)-g'{x)g'{x)^ 1 1__ _ 1
g{x)g{x) {x — y^f [x — y^f '" {x — ypf
en men vindt •hierin x:=Zk stellende, daar g'{zk)=iQ is,
g"{zk) ^ _ 1 _ 1 _ ^ „ .
9 M {zk — yif {zk — y 2? '" \zk — ypf '
Nu is echter, zooals uit o'p^=-4j4 onmiddellijk volgt,
. _ pgjzk)
^'-- g"{zk)
dus
o 1 1 1
Aifc {zk — yif {zk — y 2? '" {zk — ypf '
zoodat Kk is negatief.
8. Vervangt men in (16) p door p -}" ^ » ^^^ verkrijgt men door
verbinding der verschillende ongelijkheden
OVER EEN ALGORITHMUS VOOR HET MEETKUNDIG MIDDEN. 115
»^-«Wi<'"+-P<"'-"*'(N?-NoN,),
dus daar p hoogstens gelijk is aan A; — 1 en a^ — a* en Nf — NqNs
positief zijn, zoo veel te meer
(17)
"l "A:
ap—a'p + i>^ '^^ ^(N? — N0N2).
"1 "A:
In de uitdrukking rechts komt nu p niet meer voor.
Al de voorgaande ontwikkelingen blijven onveranderd, wanneer
men de getallen a^, a^, . . .^ak, door ûi"> , o^"\ . . . 0 J*^ en tegelijker-
tijd a(, a^,...,ajj door af* + i>, 4" + i\ . . . , ajj' + i^ vervangt.
Daar nu reeds bewezen is, dat af\ af\...,Q^p voor w = oo tôt
eene zelfde positieve limiet naderen, zoo kan men blijkbaar n altijd
z66 groot nemen, dat
positief is, en dan volgt gemakkelijk
af)-(;^-l)(af-a(")) <^^>-<^^^> a;') + (fe-l)(af)-4"))
«*"^ + (A - 1) «' - a?^) 0? "^ '^ - <+V^ af ^ - (A: - 1) {o!-? - a^)
Neemt men n groot genoeg. dan verschillen de beide waarden ,
waartusschen
„(n + 1) fjin + 1)
Op — «p + 1
„(n + 1) „(n + 1)
Wg "3 + 1
ligt, ZOO vveinig als men verkiest van de eenheid.
Hiermede is dus het in art 5 uitgesprokene bewezen.
9. Voor het gemak der schrijfwijze zal ik voor een oogenblik
a^") door bpj a^"*"^^ door b^ aanduiden.
Dan is dus
Oi — bk— r j 7 -y- »
61 ^ 62 ^ • • ^ bk
116 OVER EEN ALGORITHMUS VOOR HET MEETKUNDIG MIDDEN.
Of
e uitdrukking rechts is
-^[b, + b, V-^ b,b, '
. . 4- 1 — A2.
waar p en g de getallen 1, 2, 3, ..., k doorloopen, en j?>ç blijft.
Deelt men nu beide îeden door {b^ — bkf en gaat men over tôt
de limiet voor n = oo, dan volgt, daar volgens het voorgaande
„="L(6i-6,)2 ~U-1;
is , en ter bekorting de limiet van b^, &2> • • • » ^a genoemd wordt b ,
k^ ,. bi — b'k 1 ^. ,2
Nu is
2(^_5)2 = 12^ 22 + 32 + ... + (A;- 1)2 +
+ 12 + 22 + . .. + (A: — 2)2 +
+ l2 + ...+(A;-3)2 +
+ 1S
waarvoor men na herleiding verkrijgt
^{p-qf = ^kHk'-\),
dus
bi-6^ _^/fe + lx 1
„:?«,(6i-6*)2 ~12U-lj^ 6'
OVER EEN ALGORITHMUS VOOR HET MEETKUNDIG MIDDEN. 117
10. Deze formule (19) geeft een duidelijk begrip van de snelheid,
waarmede ten slotte de getallen tôt hunne gemeenschappelijke limiet
*
Va^ a2 ... ttfc convergeeren ; het blijkt dat af + ^^ — aj" ■*" ^^ eene eindige
verhouding heeft tôt de tweede macht van a^^^—afK
In het eerste voorbeeld van art. 4 was
ai' — a'i = 0.00009 4628 . . . ,
en als benaderde waarde van al" — a's kan nu genomen worden
en daar aï' , «2", «s" op zeer weinig na eene rekenkunstige reeks
vormen, heeft men aan
ai" = 4.64158 88337 74...
de correctie
— Tô -^^i^^^ = — 0.00000 00001 61 . . .
toe te voegen, om de in 12 decimalen nauwkeurige waarde van i^ioo
4.64158 88336 13 . . .
te verkrijgen.
In het tweede voorbeeld heeft men aan
ai" = 2.21336 38420 8 . . .
de correctie
— â ^"' T/'^'^' = — 0.00000 00026 8 . . .
aan te brengen , om te verkrijgen
1^24 = 2.21336 38394 0....
11. Met een enkel woord moge nog het geval , dat eenige der
getallen a^, 02,..., ait gelijk nul zijn, besproken worden.
Onderstellen wij
«1 = «2 ^ û?3 ^ • • • ^ «A > 0 , h<k,
en
«/i + 1 = fl/i + 2 = • . . = a^ = 0 ,
118 OVER EEN ALGORITHMUS VOOR HET MEETKUNDIG MIDDEN.
dan zijn blijkbaar Mo, Mj , M^, ...,M;j positief, niet gelijk nul, en
M/j + i, . . . ,Mjk aile gelijk nul.
Derhalve worden
a'i, 02, . . . jûffe
aile positief en niet gelijk nul, a/t.i = 0; terwijl o'h + 2, ■ • ■ lO'k geen
bepaalde beteekenis hebben. Stelt men echter vast, dat in dit geval
^h + u • • -i^^ic aïlen gelijk nul zullen zijn , dan zijn er dus van de getallen
«1, 02,.- -^a'k
evenveel gelijk nul, als van de oorspronkelijke groep a,, 02,-.,0k
Men ziet nu onmiddellijk, dat de verdere beschouwingen van
art. 3 met hoogst geringe wijzigingen onveranderd doorgaan, en
dat ook nu de getallen a[''\ a'2\ . . ■ , aP tôt eene zelfde limiet , die
gelijk aan nul is, convergeeren.
Daarentegen is de wijze, waarop deze convergentie hier plaats
vindt, geheel anders, en men kan zeggen , dat deze convergentie
veel langzamer is.
Het blijkt namelijk , dat de verhouding van twee opvolgende
getallen
Clp , Op , Op , Qp , . . . , Clp ...
ip=\,2,S,...,h)
bij toenemende n tôt eene eindige, gemakkelijk te bepalen limiet
convergeert , die voor de verschillende waarden van p dezelfde is ;
terwijl de verhoudingen der getallen van eene zelfde groep
«1 . «2 ; • • • jÛf'/i
tôt eindige limieten convergeeren, die alleen van k en h afhangen,
niet van de getallenwaarden van a^, 02,..., o/^, waarvan men is uit-
gegaan.
Daar het strenge bewijs van deze eigenschappen meer ruimte
schijnt te vorderen , dan in eenige overeenstemming is met hun
oogenblikkelijk belang, zoo vergenoeg ik mij met deze aanduidingen.
12. De toepassing op willekeurige complexe waarden levert groote
moeielijkheden op.
Wel is het gemakkelijk, in dit geval yoorwaarden op testellen,
OVER EEN ALGORITHMUS VOOR HET MEETKUNDIG MIDDEN. 119
die, ZOO zij door a^, a2,....,ak vervuld worden , voldoende zijn om
te besluiten, dat de rekenwijze tôt eene bepaalde limiet voert, en dan
1
aan te geven , welke der k waarden van (a^ a^ ... a*)* deze limiet
is; maar het schijnt uiterst bezwaarlijk om, zooa^, a2,...,afc wille-
keurig gegeven zijn, uit te maken , of er al dan niet eene limiet is,
en in het eerste geval deze limiet aan te geven.
Alleen het geval k = 2 levert niet het minste bezwaar op, en het
zal daarom voldoende zijn , de volgende uitkomsten eenvoudig mede
te deelen.
Men vindt dan , dat in dit geval er altijd eene limiet gelijk aan
± Va^ a2
is, behalve wanneer de verhouding a^ : a^ reëel negatief is.
Stelt men
en neemt r^ en r^ positief, a^ en 03 tusschen 0 en 27i (de eerste waarde
in-, de tweede buitengesloten) , dan is de limiet gelijk aan
wanneer de volstrekte waarde van a^ — a^ kleiner dan n is.
Is echter a^ — a^ grooter dan tt, dan is de limiet gelijk aan
Neemt men bijv.
1
z
dan is de limiet gelijk aan +1 of — 1, al naar dat het reëele deel
van z positief of negatief is.
Daar
Oi, ai, a", al"...
hier aile rationale functiën van z zijn , zoo heeft men in
b^-\-b2 + h + ...,
waarin
6j = tti , 62 == ^i — ^1 » ^3 = ^i' — «1 > &4 = ûi" — ai' , . . . ,
eene oneindige reeks , waarvan de termen rationale functiën van 2; zijn ,
120 OVER EEN ALGORITHMUS VOOR HET MEETKUNDIG MIDDEN.
convergeerend voor aile waarden van z, waarvan het reêele deel niet
gelijk nul is, en waarvan de som gelijk aan -f- 1 of gelijk aan — 1
is , al naar dat het reëele deel van z positief of negatief is.
Eene dergelijke reeks is door Weierstrass opgesteld in de hoogst
belangrijke verhandeling zur Functionenlehre, voorkomende in de
Monatsberichte der Kônigl. Preuss Akademie der Wissenschaften ,
1880, p. 735.
Kort daarna merkte Tannery op , dat men op zeer eenvoudige
wijze dergelijke reeksen kan vormen. (Zie Monatsberichte , 1881,
p. 228 e V.).
Men zal gemakkelijk opmerken , dat de bovenstaande reeks als bij-
zonder geval begrepen is onder degene , die Weierstrass t. a. p. , p.
230 aangeeft. (Men verbetere daar de drukfout; in plaats van
x' = ' moet gelezen worden x' = r— j— -
J. "^~ X JL —j~ X,
Eene vertaling van het eerste opstel van Weierstrass en de latere
mededeeling naar aanleiding van Tannery's opmerking, is te vinden
in het Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques, deuxième
série, tome V, Avril 1881.
VIII.
(Amsterdam, Nieuw Arch. Wisk., 9, 1882, 198— 211.)
(traduction)
Sur un algorithme de la moyenne géométrique.
Dans le 89^^™® tome du Journal fur die reine und angewandte
Mathematik , p. 843, j'ai indiqué une méthode de calcul permettant,
lorsque k nombres positifs a^, ag,..., ak sont donnés, d'en déduire
rationnellement k autres nombres 6^, 63» • • • > ^* de telle manière qu'on
ait «i «2 • • • ^fc = ^1 ^2 • • • ^f< ^t <1"^ ^^s différences des nombres 6^ 62, • • • > &*
soient aussi petites qu'on veut.
Je me propose de retourner sur ce sujet dans l'article présent et
de faire connaître les preuves de ce qui a été avancé dans cette
brève note.
1. Soient a^, ag» -•-i ^k des nombres réels arbitraires, M^ leur
moyenne arithmétique, c à. d. leur somme divisée par leur nombre
A; M2 la moyenne arithmétique de tous les produits différents des
nombres a^, ag, ..., a* pris deux-à-deux, c à. d. la somme de ces
produits divisée par leur nombre ^ — ; de même Mg la moyenne
arithmétique de tous les produits différents des nombres ai,a2, ...,ak
pris trois-à trois, etc. ; enfin Mk = a^ a^ . . ■ ak.
On ne fait aucune autre supposition au sujet des nombres a^, «2» •••»«* ;
il peut donc arriver que plusieurs de ces nombres sont égaux entre
eux. Il est à peine nécessaire de faire remarquer qu'en employant
plus haut le mot différent nous n'avons pas voulu indiquer que les
valeurs numériques de tous les nombres a^, ag, ..., a* sont diffé-
122 SUR UN ALGORITHME DE LA MOYENNE GÉOMÉTRIQUE.
rents ; nous avons simplement voulu attribuer à chaque nombre une
individualité distincte
Pour des raisons de symétrie je pose encore Mq = 1. L'expression
M^ — Mp_iMp + i
{p=l, 2, 3, ,.., k — 1)
est généralement positive ou , plus précisément , cette expression n'est
jamais négative et ne devient nulle que lorsque tous les nombres
a^, «2» •••> ^* sont égaux entre eux ou qu'au moins k — p-\-l de
ces nombres s'annulent auquel cas les expressions Mp et Mp + i s'an-
nulent évidemment l'une et l'autre.
Cette propriété générale est connue depuis longtemps ; en matière
d'histoire il suffit de renvoyer le lecteur à un article du docteur
D. Bierens de Haan publié dans le 8'®™® tome des Verslagen en
mededeelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen , Sec-
tion de physique, Amsterdam 1858, p. 248—260. On peut consulter
aussi l'article de Lobatto dans le 9'^"® tome des Verslagen , p. 92 — 106
Cependant pour épargner de la peine au lecteur et aussi pour
traiter d'une façon générale les cas limites où l'expression considérée
s'annule, je fais suivre ici la preuve du théorème énoncé.
2. Posons
( f{x) = ix — ai) {x~a^)...{x — ajc) ,
^^^ I f{x) = U,x'^-\-W,x^-^-\. ^^^"^^ M^a^^-^-.-. + M,,
où il faut prendre dans le second membre le signe supérieur ou le
signe inférieur selon que le nombre k est pair ou impair.
D'après l'hypothèse faite au sujet des nombres a^, a^^ . . . , au l'équa-
tion f{x) = 0 n'a que des racines réelles et la même chose est donc
vrai pour les équations exprimant que les dérivées successives de
f{x) s'annulent. C'est pourquoi l'équation
{2)0 = ll,xP + ^-^-^M,xP-i-^^j^M,xP~^~...±^'^-M, + M, + x
n'a que des racines réelles , car cette équation ne diffère pas essen-
tiellement de la suivante :
d'^-p-^fjx)
SUR UN ALGORITHME DE LA MOYENNE GÉOMÉTRIQUE. 123
Je distingue les trois cas suivants.
1°. Mp + i diffère de zéro.
2°. Mp + i = 0, mais Mp diffère de zéro.
3°. Mp + i = 0 et Mp = 0.
Dans le premier cas les racines de l'équation
sont toutes réelles, et il en est donc de même de celles de l'équation
(4) 0 = Mp + ia;2 — 2Mpa: + Mp_i;
en effet , le second membre de cette dernière équation ne diffère que
par un facteur constant de la {p — !)'*■"« dérivée de la fonction qui
constitue le second membre de l'équation (8). De la réalité des ra-
cines de (4) on conclut à l'inégalité
]^^-Mp-_iMp + i^O;
l'expression ^1| — Mp_i Mp + i ne s'annule que lorsque les deux racines
de l'équation (4) sont égales entre elles. A cet effet il faut et il
suffît que toutes les racines de (3), donc aussi toutes celles de (2),
soient égales entre elles, d'où l'on conclut que toutes les racines de
l'équation /"(a;) = 0 sont égales entre elles, c à. d. que ai = a2 = --=^*
Par conséquent lorsque Mp + i ne s'annule pas, l'expression
M|-Mp_iMp + ] est toujours positive, excepté au cas ou a^=^a 2=.. =ak;
car alors elle s'annule.
Dans le deuxième cas l'expression M^ — Mp_iMp + i est évidem-
ment positive.
Enfin dans le troisième cas cette expression est nulle et l'équation
(2) a au moins deux racines nulles, de sorte que l'équation /■(rc) = 0
a au moins k — p-{-l racines nulles ; en d'autres termes , dans ce
cas au moins k — p -\- 1 des nombres a^, o^, • •■, «jt s'annulent.
Nous venons de donner la démonstration complète du théorème
du n^ 1.
3. Je suppose à partir de ce moment que les nombres ai,a2,. .,«*
soient tous positifs, et je pose
(5) . . . «i = Mi, 02=./, 08=,-/, ■••» «*= ni
124 SUR UN ALGORITHME DE LA MOYENNE GÉOMÉTRIQUE.
ces équations jointes à l'hypothèse faite au sujet de la signification
de Mo me permettent d'écrire
Mp
Mp_i
(p=l, 2, 3, ..., k)
Il s'ensuit que
, , _M^-Mp_iMp+i
donc
ap^Op+i,
et si l'on exclut aussi la valeur 0 des nombres a^, ag, . • • , a^, on ne
peut avoir a[^=a'pj^i, à moins que a^ = ag = . . := «jt- Comme ce
dernier cas n'a lui aussi aucune importance nous pouvons sans in-
convénient l'écarter; nous avons donc
(6) ai>a^>a^>ai>...>ajfc,
tandis qu'on tire immédiatement des équations (5):
(7) a^a^o^. . .ak=^a!\a2a'^-. .a'k.
Or, on a évidemment
,_ ai -f- g^ + % + ...+ g^
""- k '
k
ak=
L + ± + ± + ... + ±
et si nous supposons qu'aucun des nombres a^, a^, . > • , ak ne soit
supérieur à a^ ni inférieur à Uk, il s'ensuit que
a'k >ai,
donc, en retranchant ces deux inégalités l'une de l'autre,
(8) 0<ai-a;,<^^(aj-a;t).
Si des nombres ai, ag , . • . , a* nons déduisons un nouveau groupe
de k nombres , savoir aï, a2 , . . . , Ok de la même manière que des
SUR UN ALGORITHME DE LA MOYENNE GÉOMÉTRIQUE. 125
nombres a^, a.,, . . . , a^ nous avons déduit les nombres ai, a2, . . . , aJk ,
et si des nombres ai', a^^ . . . , a'k nous déduisons de la même ma-
nière les nombres ai", a'i\ . . . , a'k, etc. , nous avons donc
«1 > ai > a2 > . . . > a^ > ajfc,
ai >ai'>a.^' > . . .> a'i > a'k,
ai'>ai">a^">...>ar>ai',
^ \
0 < ai —a'k< —^ (ai — a/t) ,
0<a'{ — a^' < —y- (<^i —«'*)< ("X") ("i~^*)'
0 < ai" - aT < ^ (ai' - a',') < (^ J (a^ - a,) ,
Cj^ ag . . . ffjt = <^i <^ • • • û* = <*1 02 • . . d'k = <*1 ' <ï2 ' . . . CLk ^ ' ' • '
Les équations correspondantes pour le w'*""* groupe de nombres déduits
des groupes précédents , c. à. d. pour les nombres a}"^ af\..., ép , sont
af-') yép >af >. . . >ai'») >a?-i\
1\"
0<at'')-alr><(^^[(a,-a,),
a^ a., .
Or, comme l'expression
i^0L,...ak = ai^^ (!!^K..a^p
r-^)
lorsque w augmente indéfiniment , finit par devenir aussi petite qu'on
le désire, il s'ensuit que les nombres af^ , a^"\ ..., ép convergent
tous pour n = oo vers une limite commune évidemment égale à la
moyenne géométrique des nombres a^, Og, ..., a^, c. à. d. à
k
4. Qu'il me soit permis, avant que de continuer, de donner
quelques exemples numériques.
126 SUR UN ALGORITHME DE LA MOYENNE GÉOMÉTRIQUE.
Premier exemple. A; = 3.
tti =5,
«2 =5,
«3 =4,
, 65
, 60
«3=^3,
„ 7603
'''""1638'
„ 35290
'' = 7673 '
,, 16380
'' ~ 3529
ou
ai' =4.64163 61416 36...,
a^'= 4.64158 88465 08...,
aâ'= 4.64154 15131 77....
On voit avec quelle rapidité les nombres d'un même groupe de-
viennent égaux les uns aux autres; en effet
ai — aa = 0.02380 95 ... ,
02 — as = 0.02747 25 ... ,
oi' — a^' = 0.00004 72951 38 . . ,
a^' — oli = 0.00004 73333 31 ... .
La moyenne des valeurs obtenues pour les nombres du deuxième
groupe, déduits du premier, est
ai" = 4.64158 88337 74....
Nous verrons plus tard que la différence ai" — a's est environ de
0.00000 00003. La limite est ici
■^ÏÔÔ = 4.64158 88336 12769 ....
Deuxième exemple, k = i.
ou
«1 =3,
02=2, %=2,
a^ =2,
«i=|.
20 , 11
«2-^, «3= y,
«' 24
_ 17531
' ~ 7920 '
„ 116410 „ 128826
"^ - 52593 ' ""' ~ 58205 '
ai' =2.21351 OlOlO 1...,
a^'= 2.21341 24313 1...,
a^'= 2.21331 50073 0...,
al' =2.21321 78287 0....
15840
"*- 7157'
SUR UN ALGORITHME DE LA MOYENNE GÉOMÉTRIQUE. 127
et
a\ - a^ = 0.02777 78 ... ,
ao — as = 0.02222 22 ... ,
o^_ al = 0.01118 18.. ,
ai' _ a!i = 0.00009 76697 0 . . . ,
a'{ - a!i = 0.00009 74240 1 . . . ,
a'i — a'I = 0.00009 71786 0 . . . .
Des valeurs de aï , de ào , de as et de a'^ on tire
aT = 2.21336 38420 8 . . . .
La limite est ici
1^24 = 2.21336 38394 007 ... .
5. Dans les deux exemples donnés on voit que non seulement
les différences successives des nombres d'un même groupe telles que
o'i — 02 , 02 — as , . . .
ai — 02 , 02 — Os , . . .
deviennent de plus en plus petites lorsqu'on passe aux groupes sui-
vants , mais aussi que les différences appartenant à un même groupe
tendent de plus en plus vers une même valeur.
En effet, on peut énoncer le théorème suivant.
Pour w = 00 le quotient de deux quelconques des {k — 1) différences
Op — Op^i
(p = l, 2, 3, ... k — 1)
tend vers la limite 1.
Parmi les différentes preuves de cette propriété que j'ai trouvées
la suivante est de beaucoup la plus simple.
6. Je pose
a^ = a — x-^,
02 = a — rcg,
03 = 0 — ^3,
a^^ a — Xkj
où a représente un nombre quelconque. Je suppose en outre que
Xi<X2<X^<. ..<Xk,
128 SUR UN ALGORITHME DE LA MOYENNE GÉOMÉTRIQUE.
de sorte qu'il est impossible que deux des nombres a^, a2, .., a^
aient la même valeur. Soit encore
if {X) = (X — X-j) (X — X2) . . .(X — Xk),
les nombres No, Nj, . . . , Na sont donc formés à l'aide des grandeurs
x^, Xo, . . . , Xk de la même manière que les nombres Mq, M^, . . . , M&
ont été formés à l'aide des grandeurs a^, Og, ..., Ok. Aucune am-
biguïté ne peut résulter du fait que f(x) a ici dans la suite une autre
signification que dans le n^ 2. On se convainc aisément que les
nombres Mq, M^, . . ., Ma; peuvent être exprimés de la façon suivante
à l'aide de la fonction fy,x) et de ses dérivées :
M, =/-(a),
Â; Ma- ! = /•'(«),
kik — l)M.k-2 = f"{a),
(10)
Il s'ensuit que
(11)
A; (A; — 1) ... 3 . 2 . 1 Mo = ^^^ (a).
"^— /•(*-p+i)(a)'
(p = l, 2, 3, ..., k)
oh il faut prendre f^{à) = f{a).
Au lieu de l'équation (11) on peut écrire
JL 1 . â
En développant la formule du second membre suivant les puis-
sances descendantes de a, on trouve pour les premiers termes de ce
développement
(13) <:=« — Ni +...
Appelons 2/1, 2/2, • • • , Vp les p racines réelles et inégales de l'équa-
tion du p^^^^ degré
SUR UN ALGORITHME DE LA MOYENNE GÉOMÉTRIQUE. 129
ces racines sont par hypothèse rangées suivant leur ordre de gran-
deur, de sorte que
Vi < 2/0 < . . . < î/p.
Appelons de même z^, z.,, ■ ■ ■ , Zp-\, grandeurs qui satisfont aux
inégalités 2-, < 2:0 < • • • < «^^t^- 1 , ^es racines réelles et inégales de l'équa-
tion Z^'^-^+i) (.t) = 0; de sorte que z^ est située entre y^ et tj^-, z^
entre y^ et t/3... et enfin Zp^i entre yp-\ et y p. Il faut supposer
p > 1. On a alors suivant l'équation (11)
a' = (a~yi)(a — y2>...(<t — yp)
^ {a — Zi){a — Zo)...{a — Zp--i)'
et, si l'on exécute la division et qu'on partage le quotient en frac-
tions simples, on aura suivant l'équation (13)
(14) ....... a^ = „_N,+ l:'<^^.
OÙ
{zk — ?/i) {zh. — yo) • • • i^k — yp)
(Zk — Z'i) . . . [Zk — Zk-l){Zk — Zk + l) ' ' '{Zk — Zp-i)
Dans le numérateur de cette fraction qui représente A* les
facteurs
i^k — yi) {sk — y^)'" i^k — Vk)
sont tous positifs; les autres {p — k) facteurs au contraire, c. à. d. les
facteurs
Zk — y/c + 1 , Zk — yfc + 2 , • ■ • , Zk — yp
sont tous négatifs.
Les facteurs négatifs du dénominateur de l'expression A* sont
Zk ^A; + 1 , Zk — Zk-\.2, . • • , Zk — Zp-i]
leur nombre est de p — k — 1. Le nombre des facteurs négatifs du
numérateur de la fraction kk surpasse donc d'une unité celui des
facteurs négatifs du dénominateur. Par conséquent les expressions
sont toutes négatives, et comme on a
a — z^y a — z.2> . . .> a- Zk~\,
toutes ces expressions étant positives, il s'ensuit que
9
18Ô SÛR tJN ALGORITHME DE LA MOYENNE GÉOMÉTRIQUE.
„^<«-N.+ ^- + ^^ + --- + ^^-'
CL — Zi
et que
a' > a - Ni 4- A +^2 +^j^-Mp -i_
Or, l'expression Ai -|- Ag + . . . + Ap_i est évidemment le coefficient
de — dans le développement de ap suivant les puissances descen-
dantes de a; suivant (13) cette expression est donc égale à
— (p— I)(Nf — N0N2) et l'on a a — z^ <ia — x^ = a^, a—Zp-i > a — Xk^=ak,
tandis qu'on a aussi, comme cela se voit aisément a — Ni = ai.
Il s'ensuit donc que
(p-l)(N?-NoN2)
(16)
o'p <ai —
u-l
,^, (p-l)(N?-NoN2)
Op >«!
ak
Pour p = 1 il faut évidemment remplacer les signes > et < par
le signe =.
7. Pour pouvoir déduire les inégalités (16) nous avons tenu compte
— et c'était une base essentielle de notre raisonnement — du fait
que les grandeurs A^ Ao, ..., Ap_i sont toutes négatives. Ce fait
peut être démontré encore autrement.
Soit
g (x) = {x — y^){x — 2/2) ...{x — yp) ,
il s'ensuit évidemment que
„/_PÔ'(«)
et que
g{x) x — y^'x — y^ x — yp
On en tire en différentiant
g (x) g" (x) — g' [x) g' (x) _ _ 1 _ 1 1^
g{x)g{x) {oc — y{f {x — y^f '" {x—ypf
et si dans cette expression l'on pose x=:Zk, on trouve, puisque g'(zk) = 0,
9"M^ 1 !___ 1
9 [zk] {zk — yif {zk — yof '" {zk— ypf
SUR UN ALGORITHME DE LA MOYENNE GEOMETRIQUE. 131
Or, de l'équation ap = ^, ,^ on peut tirer immédiatement ^
^ " g' {a) ^
. _pg (zk)
'- 9"{Zk) '
donc
Ak (Zk — Vif {Zk — yii' '" (Zk— Vvf '
d'où il suit que A* est négatif.
8. Si l'on remplace p par p-\-l dans l'équation (16), on obtient
en combinant les différentes inégalités
n' —„' , , /- <J'k-{-p{0'i — a'k) .^j2 vr i^jx
dp — Op + i < — — — ^INj — JN0JN2),
donc à plus forte raison , attendu que p est tout au plus égal à A: — 1 ,
et que les expressions a^ — a^ et N? — Nq N.i sont positives ,
«;-o^+.<''*+'*-''<'''-''^>(n;-NoN.),
(17) . . . { ' '
ai - <+, > «ar-_L'L-Jl(«L- «Jâ (Nf - No N,).
"1 ^k
Les seconds membres de ces équations ne contiennent plus le
nombre p.
Tous les développements antérieurs restent les mêmes, si l'on
remplace les nombres a^, o^, . . . , akj par af\ 4"\ . . . , ap et en même
temps les nombres af, a^, aj^ par af+^\ o^'^^\ •••, a?"^'^
Or , comme nous avons déjà prouvé que les nombres af\ af\ ..., a^
tendent tous pour w =: x vers une même limite positive, on peut
apparemment toujours donner à n une grandeur telle que l'expression
a(«)_(;^_l)(a(n)_aSr))
est positive , et dans ce cas on conclut aisément que
^ ' (,f4.(/fc_l)(aW_a2»0 <*'^ — <A'^ <~{A;— 1)(^^^^^
Lorsqu'on donne à n une valeur suffissamment grande, les deux
132 SUR UN ALGORITHME DE LA MOYENNE GÉOMÉTRIQUE.
grandeurs entre lesquelles est située l'expression
^(n + l)_ (w + l)
diffèrent de l'unité aussi peu qu'on le désire.
Nous avons donc démontré ce qui a été avancé au n*^ 5.
9. Pour simplifier les formules, je remplacerai momentanément
a^") par 6p et a^" + i> par &;.
On a donc dans ce cas-là
ou
Ki+i-+i)(«-'«= ^+î+::+-+i7+
+1+ > +Ï+-
Le second membre peut s'écrire
~-^\b,^b, v~ b^b, '
, . 4- 1 - Â;2.
où p et ç acquièrent successivement toutes les valeurs 1 , 2, 3, . . ., â;,
avec cette condition qu'on aura toujours p ^ q.
Si l'on divise les deux membres par (b^ — bkf et qu'on passe à la
limite pour w = oo, on trouve, attendu que d'après ce qui précède
n=œ{b^—bky \k—ll
k\. b\ — bk 1 ,., V.
b n=oo{bi — bky {k — \fb'
oh b représente la limite du produit &i, b^, . . ., bk-
SUR UN ALGORITHME DE LA xMOYENNE GÉOMÉTRIQUE. 133
Or.
2 (p-qy=i^ 4. 2-^' + 3^ 4- ... + {k-iy- 4-
ou, après réduction,
1
donc
ou
^{p-qY^j^k^fc'-l)
nTl{b,-hr "12^-11^ b
a "+!) _ a^;^+^> 1 /k4-l\ - ^
10. Cette formule (19) donne une idée nette de la rapidité avec
laquelle les nombres convergent finalement vers leur limite commune
k
Va^a2...ak. Il paraît que le rapport de la dififérence af+*> — a? + ^>
à la deuxième puissance de l'expression a^^"^— a}"^ est fini.
Dans le premier exemple du n^ 4 nous avions
a'{ — a^ = 0.00009 4628 ... ;
nous pouvons prendre maintenant comme valeur approchée de la
différence a'{' — ag" l'expression
6 o^' '
et comme les nombres ai", a^' et Og' forment à fort peu près une pro-
gression arithmétique, il faut ajouter à
o'i" = 4.64158 88337 74 . . .
la correction
— To -^- = — 0.00000 00001 61 . . .
12 0^'
pour obtenir une valeur exacte en 12 décimales de I^ÎÔÔ ; cette va-
leur est la suivante:
4.64168 88336 13 . . .
134 SUR UN ALGORITHMK DE LA MOYENNE GÉOMÉTRIQUE.
Dans le deuxième exemple il faut à
ai" = 2.21336 38420 8...
ajouter la correction
_ 5 J(«irr_^ = _ 0.00000 00026 8 ... ;
on obtient ainsi
1^24 = 2.21336 38394 0....
11. Considérons encore brièvement le cas où quelques-uns des
nombres a^, a-^, . . . , ak s'annulent.
Supposons
a^ ^ tto ^ «3 ^ . . . ^ «/, > 0 , h <Ck,
et
a/t + 1 = a/i ^ 2 = ■ • . = «A; = 0 ;
alors les expressions Mo, M^, Mg, . . . , M/^ sont évidemment positives et
non pas nulles, tandis que les nombres Mh + i, . . . , M* s'annulent tous.
Par conséquent les nombres
a'i, «2 , . . . , a'h
deviennent tous positifs et non pas nuls; le nombre a'h + i s'annule;
quant aux lettres ah+2, ■•-, «I-, elles n'ont pas de signification pré-
cise. Mais si dans ce cas l'on attribue à tous les nombres a'k + u ...,ak
également une valeur nulle, il s'ensuit que parmi les nombres
O'i , 02 , . . . , Q'k
il y en a autant qui s'annulent que parmi le groupe primitivement
considéré a^, Og, . . . , Uk-
On voit de suite que les raisonnements ultérieurs du no 3 sont
applicables à ce cas avec quelques modifications peu importantes,
et que les nombres af\ aP , . . . , a^^^' convergent de nouveau vers une
même limite qui ici est nulle.
Mais la manière dont ces nombres convergent vers leur limite est
ici tout autre : on peut dire que la convergence est beaucoup plus lente.
En effet, il paraît que le rapport de deux nombres successifs de
la série
Op , ttp , ttp , ttp , . . . j ttp . . .
SUR UN ALGORITHME DE LA MOYENNE GÉOMÉTRI(,)UE. 135
tend vers une limite finie et aisée à déterminer; cette limite est la
même pour les différentes valeurs de p\ tandis que les rapports des
nombres d'un même groupe
«1 j "2 , . . . , O;,
tendent vers des limites finies qui ne dépendent que de A; et de ^ et
non pas des valeurs numériques a^, ag, ..., a/, qu'on a choisies au
commencement.
Comme la démonstration rigoureuse de ces propriétés prendrait
à mon avis plus de place que ne le comporte leur importance actu-
elle, je me contente de les avoir indiquées.
12. L'application de notre théorie à des nombres complexes arbi-
traires offre de grandes difficultés.
Il est aisé sans doute d'indiquer dans ce cas les conditions qui ,
si elles sont remplies par les nombres a^, a-j, ..., ak, suffisent pour
faire voir que la méthode du calcul conduit à une limite déterminée,
et de dire ensuite quelle est parmi les k valeurs de l'expression
1
(a^ a-2 . . . akf celle qui correspond à cette limite ; mais il semble ex-
trêmement difficile de déterminer, lorsqu'on donne arbitrairement
les nombres a^, a^, ..., a*, s'il existe oui ou non une limite et d'in-
diquer cette limite dans les cas où elle existe.
Seul le cas oti à; = 2 n'offre aucune difficulté ; c'est pourquoi il
suffira de donner les théorèmes suivants sans démonstrations.
On trouve donc que dans ce cas il existe toujours une limite
excepté lorsque le rapport a^ : 0-2 est réel et négatif.
Si l'on pose
«1 = ^16"'*,
et qu'on attribue à r^ et à r? des valeurs positives, tandis que les
grandeurs a^ et oo sont situées entre 0 et 2n (la première de ces va-
leurs étant incluse et la seconde exclue) , la limite est
si la valeur absolue de la différence a^ — a-i est inférieure à n; mais
136 SUR UN ALGORITHME DE LA MOYENNE GÉOMÉTRIQUE.
si elle est supérieure à. n la. limite a la valeur
-]
Si l'on pose par exemple
Vr^ n
1
la limite sera -|- 1> lorsque la partie réelle de z est positive, — 1 lors-
que cette partie est négative.
Comme les expressions
sont toutes ici des fonctions rationnelles de 0, la somme
h 4- à, + 63 + • . . ,
où
b^=a^, h.y = tt] — «^ , 6y = a'( — aï, h^ = al" — a'{ , . . ,
est composée d'une infinité de termes qui sont tous des fonctions
rationnelles de s. Cette somme tend vers une limite déterminée pour
toutes les valeurs de z dont la partie réelle n'est pas nulle ; cette
limite est -f- 1 lorsque la partie réelle de z est positive , — 1 si elle
est négative.
Une série de ce genre a été donnée par Weierstrass dans son
article fort important Zur Functionenlehre, publié dans les Monats-
berichte der Kônigl. Preuss. Akademie der Wissenschaften , 1880,
p. 735.
Peu après Tannery a remarqué qu'on peut former des séries ana-
logues en suivant une méthode fort simple (Consultez les Monatsbe
richte, 1881, p. 228 et suiv.).
On apercevra aisément que notre série est comprise comme cas
particulier dans celles que Weierstrass donne dans l'article cité à
la p. 230. (Il faut y corriger une faute d'impression: au lieu de
X =---—- il faut lire x' = ~-. — •
l~x i -\-xj
Une traduction du premier article de Weierstrass et une commu-
nication plus récente de cet auteur à-propos de la remarque de
Tannery, se trouvent dans le Bulletin des sciences mathématiques
et astronomiques, deuxième série, tome V, Avril 1881.
IX.
(Amsterdam, Nieuw Arch. Wisk., 9, 18^2, 193 — 195.)
Over het quadratische rest-karakter van het getal 2.
1. Zij p een oneven priemgetal. De getallen kleiner dan p, met
uitzondering van p — 1,
1. 2, 3, ..., p-2
kunnen in twee groepen verdeeld worden, al naar gelang ze qua-
dratische resten of niet resten van p zijn. De eerste groep
(A) a, a', a", . . .
bevat dan al de resten , de tweede groep
(B) 6, 6', b",...
aile niet resten , die onder de getallen l, 2,S, . . .,p — 2 voorkomen. Is
dus p — 1 of —1 quadratische rest, dan bevat de groep (A) aile
resten van p behalve p — i, en de groep (B) bestaat uit de geza-
menlijke niet-resten van p. Is daarentegen — 1 quadratische niet-
rest, dan bestaat de groep (A) uit aile resten, de groep (B) uit aile
niet-resten met uitzondering van p—\. In het eerste geval bevat
dus de groep (A) „ , de groep (B) ^—^ — getallen , in het tweede
geval bevat (A) ^-^- , (B) ^ "~ " getallen.
Maar het is nu gemakkelijk te zien, dat de groep (B) steeds uit
een even aantal getallen bestaat. Men kan namelijk de getallen
van (B) in paren vereenigen , door twee getallen b en b' van (B) tôt
een paar te rekenen, wanneer
6 6' = 1 (mod p)
is.
138 OVER IIKT QUADRATISCHE REST-KARAKTER VAN HET GETAL 2.
De getallen van een paar zijn altijd ongelijk; want uit 6 = 6' zou
volgen b'^ = i, dus 6 = 1 of b = p — 1, maar het getal 1 komt als
rest nooit in de groep (B) voor, terwijl p — 1 noch in (A), noch
in (B) voorkomt.
p — 1
Is dus het geheele aantal -^ der niet-resten even , dus p
van den vorm 4n-{-i, dan bevat (B) aile niet-resten van p, en — 1
is dus rest van p. Is daarentegen ^ - oneven, p van den vorm
in-\-S, dan is noodzakelijk — 1 niet-rest van p.
Te gelijk volgt nu:
voor p = én-\- l: (A) bevat aile resten behalve de rest p — 1; het
aantal der getallen (A) is 2w — 1; (B) bevat aile niet-resten; hun
aantal is 2n;
en voor p = 4tn-{-S: (A) bevat aile resten; hun aantal Is 2 w-[- 1; (B)
bevat aile niet-resten behalve de niet-rest p — 1; het aantal der
getallen (B) is 2w.
2. Door bij aile getallen a, a', a", . .. ,byb', 6", ... de eenheid op te
tellen, ontstaan de groepen van getallen
(A') a-f 1, a +1, a" 4-1,...
(B') 6 4- 1, 6' + l, 6" + l,...,
die te zamen aile getallen
2, 3, 4,...,p-l
î; — 1 .
vormen; zoodat in (A') en (B) te zamen voorkomen de — g— met-
Q
resten en nog ^ resten van p, namelijk aile resten behalve 1.
Het aantal der getallen (B') is even , en onder de getallen van (B')
komen evenveel resten als niet-resten van p voor. Want zijn 6 en
b' twee getallen van (B) , die een paar vormen en derhalve voldoen aan
66' = 1 (raod. p),
dan is
6 4- 1 = 6(6' 4-1) (mod.p),
en daar 6 niet-rest is , zoo is één der getallen 6 4-1. ^'4-1 l'^st , het
andere niet-rest.
OVER HET QUADRATISCHE REST-KARAKTER VAN HET GETAL 2. 139
In verband met het voorgaande volgt, dat voor p = in -^ l de
groep (B') bestaat uit
» — 1 . w — 1
^-^- = M resten en uit ~ ^~ =^ niet-resten,
en derhalve de groep (A') uit
»j ___ (^ Y) 1
-— r— = n — 1 resten en uit - t~ = w niet-resten.
4 4
Is ecliter p = 4 n -j- 3 , dan bevat de groep (B')
p— 3 p—S
~i — = n resten en --; — = n niet-resten ,
4 4
derhalve bevat de groep (A)
« — 3 »+l , , .
. = w resten en — ^ — = n -f 1 niet-resten.
3. Het quadratische rest-karakter van 2 kan nu als volgt bepaald
worden. De gevallen p = 4w-|- 1> p = 4w-|-2 moeten afzonderlijk
behandeld worden.
I. p = in-{-l.
In dit geval bevat (B) aile niet-resten van p, dus heeft men
(x — 6) (a; — 6') {x — 6") ... = :(; 2 -j- 1 (modp).
Stelt men hierin rr = — 1 dan volgt
(6 + 1) ib' -f- 1) (6" -f 1) . . . = 2 (moôp).
Maar volgens n^ 2 komen w niet-resten voor onder de 2m getallen
6-|-l, 6'-fl,---. terwijl de overige resten zijn.
Is dus w even of
p = Sk-\-l,
dan is 2 rest van p.
Is w oneven of
p = 8A; + 5,
dan is 2 niet-rest van p.
140 OVER HET QUADRATISCHE REST-KARAKTER VAN HET GETAL 2.
II. p = in-}-S.
In dit geval bevat (A) aile resten van ^9, dus heeft men
p- 1
(x — a){x — a') {x — a") . . . = x ^ — 1 (mod p).
Stelt men hierin x = — l, dan volgt
(a + 1) {a' 4- 1) (a" + 1) . . . = 2 (modp).
Maar volgens n^ 2 komen n-\-l niet- resten voor onder de 2n-\-l
getallen a -f 1, a' -\- i, . . . , terwijl de overige resten zijn.
Is dus n even of
dan is 2 niet-rest van p.
Is n oneven of
dan is 2 rest van p.
p=:Sk-\-7.
IX.
(Amsterdam, Nieuw Arch. Wisk. , 9, 1882, 193—195)
(traduction)
Le nombre 2 comme résidu quadratique.
1. Supposons que p représente un nombre premier impair. Les
nombres inférieurs à p , à l'exception de p — 1 , c. à d. les nombres
1, 2, 3,..., p-2
peuvent être divisés en deux groupes, dont l'un est formé des résidus
quadratiques de p, l'autre des non-résidus de ce nombre. Le premier
groupe
(A) a, a', a", . . .
contient donc tous les résidus, le deuxième
(B) 6, 6', 6",...
tous les non résidus compris dans les nombres 1, 2, S,...,p — 2.
Lorsque p — 1 ou — 1 est un résidu quadratique , le groupe (A)
contient donc tous les résidus de p excepté p — 1 , et le groupe (B)
tous les non-résidus de p. Mais lorsque — 1 est un non-résidu, le
groupe (A) se compose de tous les résidus et le groupe B de tous les
non-résidus à l'exception de p — 1. Dans le premier cas le groupe (A)
contient donc — ^ — et le groupe (B) -— ^ — nombres , dans le deuxième
cas le groupe (A) contient ^ et le groupe (B) — g— nombres.
Or, il est aisé de voir que le groupe (B) comprend toujours un
nombre pair de termes. En effet, on peut réunir en couples les
nombres de (B) , en appellant couple deux nombres b et b' du groupe
(B) qui satisfont à la relation
bb' = l (moôp).
142 LE NOMBRE 2 COMME RESIDU QUADRATIQUE.
Les nombres appartenant à un même couple sont toujours inégaux
entre eux , en effet , de 6 ^ 6' on pourrait tirer 6^ = 1 , donc 6 = 1 ou
b = p — 1 ; mais le nombre 1 qui est un résidu ne fait jamais partie
du groupe (B), tandis que le nombre p — 1 ne fait partie ni du
groupe (A) ni du groupe (B).
p 1
Lorsque le nombre total — « — ^^^ non-résidus est pair, c. à d.
lorsque p a la forme 4« -f 1 , le groupe (B) contient donc tous les
non résidus de p et — 1 est un résidu de p. Mais lorsque le nombre
--Q— est impair et que p a la forme 4w -j- 3 , le nombre — 1 est
nécessairement un non- résidu de p.
On arrive en même temps aux conclusions suivantes:
a) lorsque p=:in-\-^: le groupe (A) contient tous les résidus excepté
le résidu p — 1 ; le nombre des termes du groupe (A) est 2w — 1 ;
le groupe (B) renferme tous les non résidus; leur nombre est 2n.
b) lorsque p = 4n-|-3: le groupe (A) contient tous les résidus; leur
nombre est 2n-}-l', le groupe (B) contient tous les non-résidus excepté
le non-résidu p — 1 ; le nombre des termes du groupe (B) est 2n.
2. Lorsqu'on ajoute l'unité à tous les nombres a, a', a", . . .,b, b', b", . . .
on obtient les groupes suivants de nombres
(A') a-hl, a' + l, a" + l,...
(B') 6 + 1, &' + l, &"+!,...,
ces deux groupes ensemble contiennent tous les nombres
2, 3, 4, ...,p-l.
Il s'ensuit que les groupes (A') et (B') ensemble contiennent les
— h non-résidus et encore -g — résidus de p, c. à d. tous les résidus
excepté l'unité. 'ti»?
Le nombre des termes du groupe (B') est pair et parmi ces termes
il y a autant de résidus que de non-résidus du nombre ^î- En effet,
si b et b' sont deux nombres du groupe (B) qui forment un couple
et qui satisfont par conséquent à la relation
bb' = l (modp),
il s'ensuit que
b-\-\ =b{b'-\-l) (mod p),
LE NOMBRE 2 COMME RESIDU QUADRATIQUE. U3
et comme b est un non-résidu, l'un des nombres b -\-l, b' -\-l est un
résidu , l'autre un non-résidu.
Eu égard à ce qui précède , on peut en déduire que pourp = 4w -j- 1
le groupe (B') se compose de
. =: w résidus et de r~ = w non résidus ,
et le groupe (A') par conséquent de
^~-r—=n résidus et de — . — =n non-résidus.
4 4
Mais lorsque p^4n-\-d, le groupe (B') contient
^ __ ^ résidus et ^—, — = n noa-résidus ,
4 4
et le groupe (A') par conséquent
-—^ = M résidus et —y— = n -|- 1 non-résidus.
3. Le caractère du nombre 2 comme résidu ou non- résidu peut
maintenant être déterminé de la manière suivante. Les cas p = 4n -f 1
et p = in-^S doivent être traités séparément.
L p = 4w + L
Dans ce cas le groupe (B) contient tous les non-résidus de p, on
a donc
(^x — b{x — b'){x — b")... = x 2 -1-1 (modp).
En y substituant k x la. valeur — 1 , on trouve
(6 4- 1 {b' + 1) (6" + 1) . . . = 2 (mod p).
Mais suivant le n*^ 2 il y a w non-résidus parmi les 2n nombres
b-\-l, 6'-[-l, . . ., tandis que les autres sont dq^s résidus.
Par conséquent lorsque n est pair, c. à d. lorsque
p = 8^ + l,
le nombre 2 est résidu de p.
144 LE NOMBRE 2 COMME RESIDU QUADRATIQUE.
Mais lorsque n est impair, c. à d. lorsque
le nombre 2 est non- résidu de p.
IL p = in-\'S.
Dans ce cas le groupe (A) contient tous les résidus de p] on a donc
{x — a) {x — a') (x — a") . . .=x ^ — 1 (mod p).
En y substituant k x la. valeur — 1, on trouve
(« + l)(a'+l)(a" + l)... = 2 (modp).
Mais suivant le n^^ 2 il y a *i -j- 1^ non-résidus parmi les 2n-\-l
nombres « + 1, a' -{-1, . . ., tandis que les autres sont des résidus.
Par conséquent lorsque n est pair, c. à d. lorsque
p = 8k-\-S,
le nombre 2 est non- résidu de p.
Mais lorque n est impair , c. à d. lorsque
p = 8k-]-7,
le nombre 2 est résidu du nombre p.
X.
(Amsterdam, Versl. K. Akad. Wet, iesect.,sér. 2, 17, 1882,338 — 417
Bijdrage tôt de théorie der derde- en vierde-machtsresten.
Het hoofdtheorema in de théorie der quadraatresten , de zooge-
naamde wet van reciprociteit , heeft betrekking op de wederkeerige
verhouding van twee oneven priemgetallen , en in eene volledige
théorie moet daarom het karakter van het getal 2 als quadraatrest
of niet-rest van een ander oneven priemgetal, afzonderlijk bepaald
worden Het getal 2 blijkt hierdoor eene bijzondere plaats onder
aile priemgetallen in te nemen.
De theorema's, waardoor het karakter van 2 bepaald wordt, zijn
het eerst door Fermât uitgesproken ^) en door Lagrange ^) bewezen
Hierbij moet echter vermeld worden dat het bewijs , door Lagrange
gegeven , op geheel analoge beschouwingen berust , als die waardoor
Euler^) reeds vroeger de theorema's bewezen had, die het karakter
van 3 als quadraatrest of niet-rest bepalen, en welke insgelijks reeds
door Fermât waren uitgesproken. Het is daarom des te meer op-
merkelijk , dat Euler steeds te vergeefs getracht heeft , de theorema's
omirent het karakter van 2 te bewijzen (Vergel. Disq. Arithm.,art. 120).
Een geheel analoog verschijnsel doet zich voor in de théorie der
vierde-machtsresten. Ook hier heeft de algemeene reciprociteitswet
betrekking op twee oneven, d. w z. niet door 1 +*' deelbare, priem-
getallen en het karakter van dit bijzondere priemgetal 1 -|- i moet
afzonderlijk bepaald worden.
In de verhandeling van Gauss: Theoria residuorum biquadratico-
1) Op. Mathem., p. 168.
2) Nouv. Mém. de l'Ac. de Berlin, 1775. Oeuvres, t. III, p. 759.
3) Comment, nov. Petrop., t. VIII. p. 105.
10
146 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN.
rum commentatio secunda , waarin voor het eerst de geheele com-
plexe getallen van den vorni a-{-bi in de getallentheorie ingevoerd
werden , is het biquadratisch karakter van 14"* volledig bepaald.
Het daar voorkomende bewijs is zuiver arithmetisch gevoerd en steunt
wezenlijk op het theorema van art. 71, dat geheel overeenkomt met
de hulpstelling, die den grondslag uitmaakt, zoowel van het derde
als van het vijfde Gaussische bewijs van de reciprociteitswet in de
théorie der quadraatresten. (Theorematis arithmetici demonstratio
nova. Werke, II, p. 1 en Theorematis fundamentalis in doctrina de
residuis quadraticis demonstrationes et ampliationes novae, Werke,
II, p. 47).
Zooals bekend is, heeft Gauss zijn voornemen , in eene derde
verhandeling de théorie der vierde-machtsresten tôt een zeker einde
te brengen door het bewijs te leveren van de algemeene reciproci-
teitswet, die reeds in de tweede verhandeling over deze théorie
uitgesproken is, niet ten uitvoer gebracht.
De eerste gepubliceerde bewijzen van dit fundamenteele theorema
zijn de beide van Eisenstein in het 28^** deel van Crelle's Journal
far Mathematik, p. 53 en 223, In het eerste stuk : Lois de réciprocité
wordt het karakter van 1 -\-i niet behandeld, wel in het tweede stuk:
Einfacher Beweis und Verallgemeinerung des Fundamentaltheorems
fur die biquadratischen Reste, Bij de daar voorkomende afleiding
van het karakter van 1 -\- i wordt echter gebruik gemaakt van de
vooraf bewezen algemeene reciprociteitswet, wat mij in elk geval
minder schoon voorkomt, daar de overgang van het meer eenvoudige
tôt het samengestelde toch stellig verlangt het karakter 1 -f- i geheel
onafhankelijk van het fimdamentaaltheorema af te leiden.
Hetzelfde geldt in meerdere of mindere mate van aile andere
methoden , die later bekend gemaakt zijn om de théorie der vierde-
machtsresten te behandelen , en voorzoover ik zie , kan alleen van
de Gaussische afleiding van het karakter van 1 + * gezegd worden,
dat zij zuiver arithmetisch is, en geheel onafhankelijk van de alge-
meene wet van reciprociteit , zoodat zij hierdoor voldoet aan de
eischen, die men aan eene geleidelijke ontwikkeling van de geheele
théorie der vierde-machtsresten zal moeten stellen.
BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 147
Geheel analoge opmerkingen zijn te maken omirent de théorie
der derde-machtsresten. Het eerste gepiibliceerde bewijs van de door
Jacobi uitgesproken wet van reciprociteit in deze théorie is dat van
Eisenstein in deel 27 van Crelle's Journal far Mathematik, p. 289.
Het afzonderlijk te bepalen karakter van 1 — q (waarin g een com-
plexe derde-machtswortel der eenheid) is eerst later gegeven door
Eisenstein in deel 28, p. 28 e. v. van hetzelfde tijdschrift. Bij deze
afleiding wordt weder gebruik gemaakt van de algemeene wet van
reciprociteit, en ik zie niet, dat tôt dusver eene afleiding van het
cubisch karakter van 1 — ^ gegeven is, waarvan dit niet gezegd kan
worden.
Daar het nu toch wenschelijk voorkomt, eene afleiding te bezitten
voor het karakter van 1 -{- i en 1—^, geheel afgescheiden van de
algemeene reciprociteitswetten , zoo is het misschien niet geheel van
belang ontbloot om aan te toonen, dat al deze theorema's, die
betrekking hebben op de priemgetallen 2, l-fz, 1 — ^ en die tôt
aanvulling der reciprociteitswetten noodzakelijk zijn, volgens eene
gelijkblijvende méthode bewezen kunnen worden.
Het principe van deze méthode bestaat daarin, het priemgetal
waarvan het karakter te bepalen is te vervangen door een congruent
product van factoren Het karakter dezer factoren wordt dan bepaald
door beschouwingen , geheel overeenkomstig aan die van Gauss in
art. 15 — 20 van zijne eerste verhandeling over de théorie der vierde-
machtsresten (Werke, II, p. 78 — 87). Gauss beschouwt in deze ver-
handeling alleen reëele getallen , en het doel der verhandeling is de
bepaling van het karakter van 2 in deze reëele théorie. Het bleek
mij echter, dat al de beschouwingen van Gauss bijna onveranderd
ook in de théorie der complexe getallen herhaald kunnen worden ,
en de bepaling van het biquadratisch karakter van 1 + 1 volgt dan
onmiddellijk met behulp van eene eenvoudige beschouwing, volgens
welke 1 -\-i congruent is met een product , waarvan men het karakter
der factoren kent.
Met behulp van deze hoogst eenvoudige opmerkingen is dan ook,
eenmaal de onderzoekingen der eerste verhandeling van Gauss ge-
geven zijnde, de bepaling van het karakter van 1 -f- ^ ^^" opzichte
148 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN.
van een priemgetal van den vorm a-\-bi (waarin b niet gelijk nul is)
om zoo te zeggen mede geheel volbracht; terwijl eene geheel analoge
méthode in het geval, dat de modulus een reëel priemgetal van den
vorm 4w -f- 3 is, tôt hetzelfde doel gebezigd kan worden Hoewel dit
laatste geval eene veel eenvoudiger behandeling toelaat (zie bijv.
Gauss Werke, II, art 68), heb ik toch gemeend het ook op de-
zelfde wijze als de overige gevallen te moeten behandelen, omdat
zoodoende blijkt, dat de gebezigde méthode in staat is om de volle-
dige theorema's af te leiden.
Nadat de bepaling van het biquadratisch karakter van 1 + i af-
gehandeld is, heb ik met behulp van de voorafgaande ontwikkelingen
aile theorema's bewezen, die Gauss door inductie gevonden , en in
art. 28 der Theoria residuorum biquadraticorum commentatio secunda
opgesteld heeft. Voor zoover mij bekend, zijn deze theorema's hier
voor het eerst bewezen^). Dit bewijs steunt geheel op de théorie
der complexe getallen , welke théorie hier dus geheel als hulpmiddel
dient, daar de theorema's zelf alleen betrekking hebben op reëele
getallen. Behalve de reprociteitswet in de théorie der vierde-machts-
resten, waren voor het volledig bewijs nog de beschouwingen van
art 19 en 20 noodzakelijk.
Ik zal nu beginnen met de afleiding van het karakter van 2 in
de théorie der
QUADRAATRESTEN.
1. Zi'j p een oneven priemgetal, de getallen
1, 2, 3, ..., p — 1
zullen dan in twee groepen verdeeld worden. Tôt de eerste groep
A a, a, a'', . . .
worden gerekend aile quadraatresten , tôt de tweede groep
B /5, ^', r, ...
aile niet-resten van den modulus p. Elk der groepen A en B be-
1) In het 4de deel van het Journal de Liouville heeft Lebesgue deze theorema's voor een
deel bewezen. Zie daar p. 51 en 52. Remarque 1".
BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 149
p 1
staat uit -g— volgens den modulus p incongruente getallen , en men
ziet gemakkelijk, dat de beide congruenties :
[x — o){x — a') {x — a") . . . = a; 2 _ l
p-i (modp)
identieke congruenties zijn , want zij zijn van lageren graad dan den
( — g — ) ^^ bezitten beide blijkbaar^-^ — vvortels, namelijk de eerste
de wortels a;=:a, x=^a', x = a", ..., de tweede de wortels x = ^,
x = ^', x = ^",...
Door bij de getallen van A en B de eenheid op te tellen ontstaan
de volgende beide groepen getallen:
A' a + 1, a'-f 1, a" + l, ...
B' ^ + i,^' + l, ^" + 1, ...
De aantallen getallen van de groep A', die in A en B voorkomen,
noem ik nu respectievelijk (0.0), (0.1), en de aantallen getallen van
B', die in A en B voorkomen, respectievelijk (1.0), (1.1).
Deze vier getallen kunnen in het volgende schéma S vereenigd
worden :
(0.0) (0.1)
(1.0) (1.1)
Daar de priemgetallen van de vormen p=:4w-|-^ en^ — 4n-f-3
zich verschillend gedragen , moeten deze beide gevallen afzonderlijk
behandeld worden. Ik begin met het eerste.
2. Voor p = 4w-|-l is — 1 quadraatrest , zoodat de getallen a en
p — a tegelijkertijd in A voorkomen. Evenzoo komen de getallen
/S en p — ^ gelijktijdig in ^ voor.
Nu is (0.0) blijkbaar gelijk aan het aantal oplossingen van de con-
gruentie
a-\-l^a' (mod p) ,
waarin a en a uit de groep A te kiezen zijn; en daara' = p — a" is,
zoo kan men ook zeggen , dat (0.0) het aantal oplossingen voorstelt
van de congruentie
a -|- a" -)- 1 = 0 (mod p).
150 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN.
Op gelijke wijze omtrent de aantallen (0.0), (1.0), (1.1) redeneerende ,
blijkt, dat het
teeken voorstelt het aantal oplossingen van
(0.0) a -f- a' -f 1 EEE 0
(0.1) a + /^+1^0
(1.0) ^ + a+lEEEO
(1.1) ;5 + /5f'+l=0
Men ziet hieruit oatniddellijk, dat
(0.1) = (1.0)
is ; eene tweede betrekking tusschen de getallen van het schéma S le-
vert de volgende beschouwing Bij elk getal /? van de groep B be-
hoort één bepaald getal van die zelfde groep ^'\ zoodanig dat
^^" = 1 (modp)
en tevens is dan p ^" congruent met een getal a van de groep A.
Door vermenigvuldiging van de congruentie
^ + ^' + 1 = 0
met ^" volgt dus
1+a+r^o
en door deze laatste congruentie met /S te vermenigvuldigen , ver-
krijgt men de eerste terug. Hieruit valt onmiddellijk op te maken,
dat (1.1) = (0.1) is, zoodat het schéma S dezen vorm heeft:
hj
j J
Nu komt in de groep A het getal p — 1 dus in A' het getal p voor ,
welk laatste getal noch in A noch in B voorkomt. Aile overige ge-
tallen van A' en B' echter komen , zooals évident is, ôf in A 6f
in B voor.
Hieruit volgt
dus
h =
2J = '-^'
P —
BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 151
De identieke congruentie
{x~^){x-^'){x — ^")...=x^ +1 (modp)
geeft nu voor ic = — 1 , daar — „ — even is
(/5 + l)(^' + l)(r + l)... - 2 (modp).
Het aantal niet-resten onder de getallen ^-\-l, /S' -|- 1, ^" + 1, ...
» — 1
is nu (1.1)— j:=^ •
Is dus ^' even of
p = 8w + l,
dan is 2 quadraatrest van 2?.
Is daarentegen j oneven of
dan is 2 niet-rest van p.
3. Voor p = 4m + 3 is —1 niet-rest , en de groep B komt overeen
met de groep getallen p — a, p — a\ p — a", . . .
Het' teeken (0.0) stelt nu voor het aantal oplossingen van de con-
gruentie a 4- l = a' {modp), of 00k daar a' = p — ^is, het aantal op-
lossingen van a 4" i^ + 1 = 0-
Op deze wijze blijkt, dat het
teeken voorstelt het aantal oplossingen van
(0.0) a + ^+l=0
(0.1) a 4- a' + 1 = 0 (modp),
(1.0) ^S-h^' + l-O
(1.1) ^+a+l = 0
derhal ve is (0.0) = (1.1). Is verder weder ^^"-^1, ^' /S" = a, dan volgt
uit /S + /8' + l = 0 door vermenigvuldiging met /tf"
l-f-a + r = 0,
waaruit op soortgelijke wijze als boven volgt (1.0) = (0.0). Het
schéma S heeft dus voor p = 4 w 4- 3 dezen vorm :
h h
Daar het getal p — l in de groep B, dus p in B' voorkomt, maar
1 52 BIJDR AGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN.
overigens aile getallen van A' en B' 5f in A ôf in B voorkomen,
zoo volgt
dus
2/. = ^-!,
Uit de congruentie
{x — a){x — a') {x — a") . . .^^x ^ — 1 (mod p)
volgt voor x = — 1 daar — g— oneven is,
(a4.1)(a' + l)(a"4.1)...EE2 (mod p)
en het aantal niet-resten onder de getallen a + 1, a' + 1. «" -f 1, . . . is
dus (0.1)= j = ^^.
Is dus j even of
p = 8w + 7,
dan is 2 quadraatrest van p.
Is daarentegen j oneven of
P = 8m4-3,
dan is 2 niet-rest van p.
Nadat hiermede dus het karakter van 2 als quadraatrest of niet-
rest ten opzichte van een willekeurig oneven priemgetal bepaald is,
ga ik er toe over het overeenkomstige te ontwikkelen in de théorie
der
VIERDE- MACHTSRESTEN.
4. Het oneven (d. w. z. niet door 1 -f- i deelbare) priemgetal
m = a-\-bi zal steeds primair, in den zin van Gauss, ondersteld
worden, zoodat a — 1 en & volgens den modulus 4 5f beide ^0, ôf
beide =2 zijn.
Zooals bekend is, bestaan de priemgetallen in de théorie der ge-
heele complexe getallen van den vorm a-\-hi:
vooreerst uit de reëele priemgetallen q van den vorm 4 r -j- 3 ;
deze getallen moeten negatief genomen worden om primair te zijn ;
BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 153
ten tweede uit de complexe priemfactoren van de reëele priem-
getallen van den vorm éw+l- Deze complexe priemgetallen zijn
van den vorm a-\-bi, waarin 6 niet gelijk nul is, en worden door
vermenigvuldiging met ééne bepaalde der vier eenheden 1, i, — 1,
— i primair. Zij kunnen verder in twee soorten onderscheiden worden
al naar gelang , wanneer a-{-bi primair is , a — 1 en b beide door 4
deelbaar, of beide het dubbel van een oneven getal zijn.
Ik onderscheid hierna deze drie klassen van primaire priemgetallen :
I. De reëele priemgetallen q van den vorm 4 r -f- 3 , negatief ge-
nomen.
IL De complexe priemgetallen van den vorm 4r-J-l + 4sî.
III. De complexe priemgetallen van den vorm 4 r + 3 + (4s -j- 2)z.
Het priemgetal (in de complexe théorie) zal steeds door M aan-
geduid worden, de norm van M door //. Verder zal steeds p een
reêel (positief) priemgetal van den vorm 4 r -J- 1 » q een reëel (posi-
tief) priemgetal van den vorm 4 ?' -f- 3 voorstellen. De priemgetallen
van de eerste soort zijn dus M = — g, f^ = q^, voor de tweede en
derde soort is ,u = p.
Ik merk nog op, dat voor de beide soorten I en II de norm fi van
den vorm 8r-[-l, en voor III van den vorm 8r-|-5 is. Deze
omstandigheid maakt , dat de beide eerste soorten van priemgetallen
tôt op zekere hoogte gemeenschappelijk behandeld kunnen worden.
De beschouwingen van het volgende art. 5 gelden nog gelijkelijk
voor de drie klassen van priemgetallen.
5. Zij dan M het priemgetal, fx de norm. Een volledig systeem
van incongruente , en niet door den modulus M deelbare getallen,
bestaat uit fx — 1 getallen , welke volgens hun biquadratisch karakter
ten opzichte van M, tôt vier klassen, elk ^— ^ getallen bevattende,
gebracht kunnen worden :
A
«,
«',
a", .
B
^,
^\
^", •
C
y.
y\
/', .
D
à,
^\
à'\ .
154 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN.
Tôt de eerste klasse A worden gebracht aile getallen a, a', a", met
het biquadratisch karakter 0, tôt de groepen B, C, D de getallen
met het biquadratisch karakter 1 , 2 , 3.
Ten overvloede zij gezegd, dat hier het biquadratische karakter
in den zin van Gauss genomen wordt, zoodat de getallen der vier
klassen gekarakteriseerd zijn door de congruenties :
a 4 =1, ^ i =i^ y i ^ — 1, à 4 =^ — i (modM).
Ik zal mij echter, voor hetgemak, eveneens van het door Jacobi
ingevoerde symbool bedienen , en dus kunnen schrijven
((T))=M(a=M(i))=-.((a=-'-
Eindelijk zij eens vooral opgemerkt , dat in het vervolg aile con-
gruenties betrekking zullen hebben op den priemmodulus M, zoolang
niet uitdrukkelijk een andere modulus is aangegeven.
Ik laat hier een voorbeeld volgen van de verdeeling der resten
(mod M) , met uitzondering van de rest 0 , in de vier klassen A, B, C, D
voor elk der drie soorten van priemgetallen , die in art. 4 onder-
scheiden werden.
M
= — 7,
At = 49.
1,
Si,
-2.
-3,
-22,
-1,
-32,
2,
- h
3,
2 2.
l-2i,
~1 + Si,
— 2 - 3 i,
24- i,
-3- 2,
3 — 22,
-1 + 22,
1-32,
2 + 32,
-2- 2,
3+ 2,
— 3 + 22.
-3 + 32,
— 2 — 2 î,
-14- h
— 3 - 3 2,
2 — 22,
— 1— 2,
3 — 32,
2 + 22,
1- i,
3 + 32,
-2 + 22,
1+ 2.
3 + 2z,
14-22,
1 + 32,
-24-32,
-2+ 2,
-3+ 2,
— 3 — 2 2,
-1+22,
— 1 — 3 2,
2-32,
2- 2,
3— 2.
M = -
-3 — 82,
ju = 7S.
1,
3 4-2 2,
-1-42,
-32,
14-22,
-4,
-1-32,
-2,
-3 + 42,
-1,
— 3 — 22,
l + 4^•,
3 2,
-1-22,
4,
1 + 32,
2,
3 — 42.
1-27,
-1-2,
24-32,
5 4-2 2,
-3 + 32,
1-32,
1—42,
-2 + 42,
2 + 22,
-1 + 22, ■
1+ h
— 2 — 3 2, -
-5 — 22,
3-32,
-1 + 32,
-1 + 42,
2-42,
— 2 — 2 2.
BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 155
A
B
4»,
-3-j- i.
2i, -
4 + 8», 4— », —4»,
i, 3, 3- »,
-2 + 3», -2+ », -2»,
-4-3»,
— i,
2 — Si,
-4+ »,
-3,
2— ».
-3- i,
— 4— i,
4 + 2 î,
2 — 2», —3 + 2», 3+ »,
2+ », -2 + 5», 4+ »,
1 _ t, —s — Si, —4 — 2»,
-2 + 2»,
-2- »,
-1+ i,
3-2»,
2 — 5 »,
3 + 3 ».
- 1 — 4 »,
M=-5 + 6», /i = 61
-8, -2+ »,
1+ », 3 + 2», -
2+ », 2», -
1 + 3»,
-3- »,
-5,
-2 + 2»,
3 — 2 »,
4+ ».
1- i,
1-2»,
1 + 2»,
2 — 3 », — 1 + 3 »,
2, 5»,
8- », 2 + 2»,
-2 — 3»,
1-4»,
— i,
4»,
-4+ »,
Si.
-2z,
- 1 - 8 »,
8+ i,
5, —4- »,
2-2», -1,
-3 + 2», 4,
1 + 4»,
3,
-1- i,
-2- »,
2- r,
-3-2».
— 2 — 2 »,
2 + 3»,
-1 + 4»,
i, -3», -
-4», -1+ », -
4- », -1 + 2», -
-1-2»,
-2 + 3»,
-2.
-3+ »,
1 — 3»,
— 5».
Evenals in art. 1 overtuigt men zich onmiddellijk, dat de nu vol-
gende congruenties identiek zijn :
{X'-a){x — a'){x — a")... =x^~—l
l»-l
(mod M) ,
= x
+ 1
{x — ô){x — ô'){x — d")... =x * +»
waaruit voor x = — 1 volgt, de gevallen ^ = 8w + l en /t = 8w + 5
onderscheidende :
lu = Sn-\-l
(/5 + 3)(^'-f i)(r + i)
(y + 1)(/ + 1) (/' + !)
(c5 + l)(<5' + l)(c5" + l)
;. = 8w + 5 (a + l)(a' + l)(a" + l)
(^ + l)(^' + l)(/3' + l)
(a + l)(cî' + l)(a" + l)
1 — t
2
1 + »
2
J+»
1— »
(mod M).
156 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN.
6. Laten wij nu verder de nieuwe groepen van getallen A', B', C
en D' beschouwen, die ontstaan door bij de getallen van A, B, C en
D de eenheid op te tellen :
A' a + 1, a' + l, «" + !,...
B' ^ + 1,^' + 1,^"4-1,...
J)' ô + l, ô'^l,ô"-\-l,...
en noemen wij nu de aantallen getallen van A', die congruent zijn
met getallen van A, B, C, D, respectievelijk
(0.0), (0.1), (0.2), (0.3);
de aantallen getallen van B', die congruent zijn met getallen van
A, B, C, D, respectievelijk
(1.0), (1.1), (1.2), (1.3).
Evenzoo hebben de getallen
(2.0), (2.1), (2.2), (2.3)
betrekking op de groep C en de getallen
(3.0), (3.1), (3.2), (3.3)
op de groep D'.
Men kan al deze 16 getallen (0.0), (0.1), enz. vereenigen in het
volgende quadratische schéma S:
(0.0)
(0.1)
(0.2)
(0.3)
(1.0)
(1.1)
(1.2)
(1.3)
(2.0)
(2.1)
(2.2)
(2.3)
(3.0)
(3.1)
(3.2)
(3.3)
en voor de voorbeelden in art. 5 gegeven , verkrijg ik
¥. = — 7, f^ = i9. U = — S — 8i,ju = 7S. U= - b + Qi, iu = 6\.
5222 5642 4326
g 2244 6255 8366
2424 4545 4343
2442 2556 3633
Volgens de congruenties van het voorgaande artikel is
voor /i = 8 w 4" 1
(d + l)(d' + l)((5" + l)... = l-f z
en voor ju = 8n-\-b
(ys+i)(yS' + i)(r + i)...EEi + i
Daar nu de aantallen getallen van
5 + 1, ô' + l, <5" + l,...,
BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 157
die respectievelijk tôt de klassen A, B, C, D behooren , bedragen
(30), (3.1), (3.2), (3.3), zoovolgtonmiddellijk, datvoor^ = 8w + l het
biquadratisch karakter van 1 -|- i volgens den modulus 4 congruent
zal zijn met
(3.1)4-2(3.2)4-3(3.3)
en evenzoo voor het geval /u = 8n-\- b met
(1.1) + 2(1.2) + 3(1.3).
Zoodra dus de getallen (0.0), (0.1), enz bepaald zijn, is hiermede
ook onmiddellijk het biquadratisch karakter van 1 -}- i bekend.
Het komt er dus nu op aan, de getallen van het schéma S on-
middellijk uit het gegeven primaire priemgetal M = a 4- ^ ^ af te leiden.
De hiertoe noodige beschouwingen zijn vvezenlijk dezelfde als die
van Gauss in art. 16 — 20 der Theoria residuorum biquadraticorum
commentatio prima
Gauss handelt daar over de théorie der reëele getallen , maar het
blijkt gemakkelijk, dat het daar gegevene in zeer nauw verband staat
met het vraagstuk, dat ons hier bezig houdt.
Om de geheele ontwikkeling voor oogen te hebben , zal het noodig
zijn hier de argumentatie van Gauss met de geringe noodige wij-
zigingen te laten volgen.
Hierbij valt ook nog op te merken dat, voor een priemgetal
M = — q tôt de eerste klasse van art 4 behoorende , er in de reôele
théorie van Gauss niets analoogs bestaat , met wat hier in de théorie
der geheele complexe getallen ontwikkeld zal worden.
Voor de verdere beschouwingen is het in de eerste plaats noodig,
de beide gevallen, dat de norm // van den vorm 8 w 4- 1 of van den
vorm 8n4-5 is, afzonderlijk te behandelen. Ik zal met het eerst-
genoemde geval , waarin dus het priemgetal M tôt een der beide
eerste klassen van art. 4 behoort, beginnen.
7. Voor ju = 8n-\-l, is { — 1) * = 1 , zoodat — 1 biquadratische
rest van M is en in de klasse A voorkomt, of eigenlijk met een
getal van A volgens den modulus M congruent is. Maar het is bij
deze beschouwingen geoorloofd om congruente getallen , daar zij
158 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN.
elkander vervangen kunnen, aïs gelijk te beschouwen en ik zal voor
het gemak van deze zienswijze gebruik maken , zonder dat daardoor
eenige onduidelijkheid zal kunnen ontstaan
Daar dus het biquadratisch karakter van — 1 gelijk nul is, zoo
volgt, dat wanneer a, ^, y, à respectievelijk tôt de klassen A, B, C, D
behooren , ook — a, — /?, — y, — <5 in deze zelfde klassen voorkomen,
en wel — a in A, — /? in B, — y in C en — (5 in D.
Nu is blijkbaar het getal (0.0) gelijk aan het aantal oplossingen
van de congruentie
a + 1^ a' (modM),
waarbij a en a' op willekeurige wijze uit de groep A te nemen zijn,
maar daar bij elk getal a' een getal n"=:p — a' behoort, zoo is dit
aantal oplossingen hetzelfde als dat van de congruentie
« + a"-}-lEEO (modM),
waarin weder a en a" uit A te nemen zijn.
Geheel op dezelfde wijze omtrent de getallen (0.1), (0.2), enz. rede-
neerende , overtuigt men zich dat
het teeken voorstelt het aantal oplossingen van
(0.0) a 4- a' + 1 EE 0
(0.1) a + ;5 4-U 0
(0.2) a + y+lEEEO
(0.3) a-\-ô -\-l = 0
(1.0) ^-j-a+lETiO
(1.1) ;? + ;?'+ 1-0
(1.2) ^^y^l^o
(2.0) y -\- a -j- 1 n: 0
(2.1) y + ^ +1-0
(2.2) y ^ y' ^1^0
(2.3) y-\-d +1 = 0
(3.0) ô-\-a + 1 EE 0
(3.1) ^ + ^+1=0
(3.2) ô-i-y +1-0
(3.3) 'ô-\-ô' -\-1e^0
BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 159
Hieruit volgen dus onmiddellijk deze zes betrekkingen :
(0.1) = (1.0), (0.2) = (2.0), (0.3) = (3.0),
(1.2) = (2.1), (1.8) = (3.1),
(2.3) = (3.2).
Vijf nieuwe betrekkingen tusschen de getallen (0.0), (0.1), enz. ver-
krijgt men door de volgende beschouwing. Zijn a, /5, y getallen van
A, B, C en bepaait men x, y, z zoodanig dat
arzjsEl, ^2/=l, yz~l (mod M)
is, dan behoort blijkbaar x tôt de klasse A, y tôt D, z tôt C, zoodat
men kan schrijven
aa'r^l, ^ô' = l, yy' ~~\.
Vermenigvuldigt men nu , terwijl men eene bepaalde oplossing van
a -f-^+1^0 beschouwt, deze congruentie met (5 dan volgt b' -\-\-\-b^^^
waarin à' ^ aà tôt D behoort. Ongekeerd volgt uit ^' -f- 1 -f ^ -^ 0 ^oo^
vermenigvuldiging met ^ weder a -j- ^^ -|- 1 ^ 0. Hieruit blijkt dus, dat
het aantal oplossingen van de beide congruenties
a -t- /S + 1 ^3 0 en 5 4- ($' -f- 1 — 0
evengroot is, zoodat men heeft (0.1)=: (3.3).
Geheel op dezelfde wijze heeft men
/(a + y4.1) = /' + 14-^.
^(« + ^4- 1)EEE/Î'+14-^,
M/î + y + i) = i 4-/5' + ^
/(^-fy4.1) = (5 +l+y',
waaruit men op dezelfde wijze besluit tôt
(0.2) = (2.2) , (0.3) = (1.1) , (1.2) = (1.3) = (2.3).
Hiermede zijn dus elf betrekkingen tusschen de zestien getallen
van het schéma S gevonden , en deze getallen worden hierdoor
teruggebracht tôt vijf verschillende , die door /i, j, A;, Z, m aangeduid
zullen worden Het schéma S neemt nu deze gedaante aan:
h j k l
j l m m
k m k m
l m m j
160 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN.
8. Het getal — 1 komt in A voor, waarmede dus het getal 0 van
A' correspondeert. Dit g-etal 0 van A' komt in geen der klassen
A, B, C, D voor, maar elk ander getal van A' komt blijkbaar in één
der groepen A, B, C of D voor. Daar fi = 8n-{-l, r~ = 2 w is ,
zoo volgt dus
(0.0) + (0.1) + (0.2) -f (0.3) = 2 w — 1.
Aile getallen van B', C, D' komen in één der klassen A, B, C, D
voor, zoodat men heeft
(1.0) + (1.1) + (1.2) + (1.3) = 2 72,
(2.0) + (2.1) + (2.2) + (2.3) == 2 w,
(3.0) + (3.1) + (3.2) + (3.3) = 2n.
Deze vier vergelijkingen herleiden zich tôt de volgende drie be-
trekkingen tusschen h, j, k, l en m
h-{-j+k-{-l=2n — l,
j-\-l-\-2m = 2n,
k-\- m = n.
9. Eindelijk wordt nog eene verdere , niet linéaire, betrekking
tusschen h, j, k, l, m verkregen door de beschouwing van het aantal
oplossingen der congruentie
ai-^-\-y-\-l~0 (mod M) ,
waarin a, /5, y op aile mogelijke wijzen uit de klassen A, B, C te
kiezen zijn.
Neemt men nu vooreerst voor a achtereenvolgens aile getallen
van A, dan gebeurt het respectievelijk h, j, k, l malen, dat a+ 1 tôt
A, B, C, D behoort en de enkele maal dat a + li^iîO wordt, kan
buiten beschouwing blij ven . daar de congruentie fi -\- yr:^ 0 geen
enkele oplossing toelaat.
Voor elke bepaalde der h waarden, die a + Ii^Oq maken , zijn dan
nog verder ^ en y zôô te kiezen , dat
wordt. Het aantal oplossingen dezer congruentie (voor een gegeven
waarde van Oq) isgelijkw, zooals onmiddellijk blij kt door vermenig-
vuldiging met Oq, wanneer 0^0^= 1 (mod M) is, waardoorzij overgaatin
l+^' + y'^O.
BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 161
Daar deze redeneering toepasselijk is voor elke der h waarden ,
die maken, dat a-\-l weder tôt A behoort, zoo verkrijgt nien op
deze wijze hm oplossingen van de congruentie
Het gebeurt verder ; malen , dat a -f- 1 tôt B behoort , en voor
elke bepaalde waarde a -f 1 Aj heeft de congruentie
hetzelfde aantal oplossingen als de congruentie
dus is dit aantal gelijk j. Het gezegde blijkt onmiddellijk uit
wanneer PqÔq — I.
Deze waarden van a , die a -}- 1 tôt B doen behooren , geven dus
in het geheel jj oplossingen van de beschouwde congruentie.
Voor a-f-1^ 7o> wat k malen gebeurt, heeft de congruentie
yo + i^ + T'-O
l oplossingen, want
yo(}'o + i5 + y)-i + ^ + «.
De waarden van a, die a-\-i tôt C doen behooren, leveren dus in
het geheel kl oplossingen.
Is eindelijk a-}-l=^o, wat l malen gebeurt, dan heeft de con-
gruentie
wegens
m oplossingen , en deze waarden van a geven dus l m oplossingen.
Het totale aantal oplossingen van de congruentie
a + /î + r + 1^0 (raod M)
is derhalve gelijk aan
hm-\-jj -\-kl-{-lm.
Maar men kan dit aantal nog op andere wijze berekenen. Neemt
men namelijk voor ^ achtereenvolgens aile getallen van B, dan ge-
beurt het j, /, m, m malen, dat /S + 1 behoort tôt de groepen A, B, C, D.
11
162 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN.
En voor elk dezer vier gevallen vindt men , dat er respectievelijk
k, m, k, m oplossingen van de gegeven congruentie zijn , zoodat het
totale aantal oplossingen bedraagt
jk-\-lm-{-mk-\-mm.
10. De gelijkstelling van deze beide uitdrukkingen voor het aantal
oplossingen van a -\- ^ -\- y -\-1e^0 geeft
0 = hm-{-jj-{-kl — j k — km — mm,
en ?i elimineerende met behulp van h = 2 m — k — 1, welke waarde
gemakkelijk uit de in art. 8 verkregen vergelijkingen tusschen h, j,
k, l, m volgt, komt er
0 = (k — mf-{-jj-\-kl—jk — kk — m.
Volgens de relaties in art. 8 is
en deze waarde in jj-\-kl — jk — kk overbrengende , wordt deze uit
drukking gelijk aan \{l—jf, zoodat de voorgaande vergelijking, na
vermenigvuldiging met 4, overgaat in
0 = 4 (Â; — m)2 4- (^ — j)2 — 4 m ,
maar men heeft
4 m = 2 (A; 4- m) — 2 (A; — m) = 2 w — 2 (A; — w),
dus is
of wel
en stellende
vindt men
2 w = 4 (A; — m)2 4- 2 (A — m) 4- (Z —jf,
^ = 8w4-l = [4(A;-m)4-l]2 4-4(/-i)2,
4(/c — m)4-l = A, 2{l — j) = B,
Hierin is AeeeI (mod 4), en B even.
Men kan nu met behulp van A en B gemakkelijk h^ j, k, l, m uit-
drukken en verkrijgt zoodoende
8/i = 4w — 3A — 5,
8j :=4w4- A — 2B— 1,
8A; =4w + A — 1,
8Z =4w4- A4-2B — 1,
8m=4w— A4-1.
BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 163
Tôt hiertoe onderstelden wij alleen, dat de norm ju den vorm
8n-f-l had; voor de verdere bepaling van A en B is het evenwel
nu noodig, de gevallen I en II van art. 4 afzonderlijk te behandelen.
11. Zij dan vooreerst
M = — g = — (4 r -f 3).
In dit geval is
^ = W^ = q^
en dus
Ç2:=A2+B2;
q een priemgetal van den vorm 4 r -f- 3 zijnde, weet men dat q^ op
geen andere wijze als som van twee quadraten voorgesteld kan
worden , dan door voor de basis van het eene (oneven) quadraat
dzq, voor die van het andere quadraat 0 te nemen; inderdaad was
geen der getallen A en B gelijk 0 oi door q deelbaar, dan zou men
een van 0 verschillend getal x kunnen bepalen , zoodat
A rr EEE B (mod q).
Nu volgt uit g2 ^ A^ -h B2
A2:ee — B2 (mod g)
en daar men heeft
A2rc2:-B2 (mod g),
zou er volgen
x^EiE — 1 (mod q).
Deze laatste congruentie nu is onmogelijk, omdat — 1 quadratische
niet-rest van q is.
Uit g2=:A2 4-B2 volgt dus noodzakelijk
A = ±g, B = 0
en daar A if 1 (mod 4), zoo wordt hierdoor nog het teeken van A vol-
komen bepaald en is
A = — q = M..
Nadat op deze wijze A en B gevonden zijn, heeft men nu
8h =34w — 3M — 6,
8j =in-i- M — 1,
8*=4w-f M-1,
8/ =4n-f- M — 1,
8?w = 4n— M + 1,
waarin 8n-\-l = W.
164 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN.
Door deze formules wordt dus de afhankelijkheid der getallen
van het schéma S van het priemgetal M op de eenvoudigste wijze
uitgedrukt, voor het geval dat M tôt de eerste klasse van art. 4
behoort.
12. Is in de tweede plaats M = a -|- ^ ^ waarin a— 1 = 6 = 0 (mod 4),
en de norm ^ = a^ -j- ^^ ^^^ reëel priemgetal , dan is dus
// = a2 4- 62 = A2 + B2.
Nu kan een priemgetal van den vorm 4 A; -f- 1 slechts op één
wijze voorgesteld worden door de som van twee quadraten , en daar
a en A beide eee 1 (mod 4) zijn , zoo volgt A==a, B = ± 6.
Het teeken van B wordt door de volgende beschouwing bepaald ,
waarbij het noodig is deze hulpstelling vooraf te bewijzen:
„Doorloopt z een volledig restsysteem (mod M) met uitzondering
van den door M deelbaren term , dan is
S 0^ — 1 of ^0 (mod M),
al naardat t door /z — 1 deelbaar is of niet."
Het eerste gedeelte is duidelijk, want is t door fn — 1 deelbaar,
dan is z^^l, dus S<s'eee^ — 1 = — 1 (mod M).
Om ook het tweede gedeelte aan te toonen, zij g een primitieve
wortel voor het priemgetal M, zoodat de waarden, die z doorloopt,
congruent zijn met
9\ 9\ 9\ g', .... p"-'.
Hieruit volgt dus
of
(1— p0 2 2« = 1— ^^''-iXeeO (mod M).
Is nu t niet door ju — 1 deelbaar, dan is 1 — g* niet door M deel-
baar en dus I, z^ ^^0, w. t. b. w
Deze hulpstelling geldt blijkbaar voor een willekeurig priemgetal M.
Volgens de binominaalontwikkeling is nu
ft-i f> — 1
{z^-{-l) 4 =Z 2 +...-f 1
BIJDK AGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VTERDE-MACHTSRESTEN. 1 65
en hieruit volgt dus, wanneer het teeken 2 op dezelfde waarden
van z betrekking heeft aïs zooeven ,
>'- 1
2 (02 4-1) 4 5£5 — 1 (modM).
Maar aan den anderen kant vormen de getallen z^ in hun geheel
blijkbaar aile getallen van de groepen A en C te zamen , elk dezer
getallen tweemaal genomen Van de getallen
behooren er dus
2 (,0.0) + 2 (2.0) tôt A ,
2(0.1)4-2(2.1) tôt B,
2(0.2)4-2(2.2) tôt C,
2 (0.3) 4- 2 (2.3) tôt D ,
en daar de y- y- ] machten der getallen van A, B, C, D respectievelijk
congruent zijn met 1, i, —1, —i, zoo volgt dus
S {z' 4- 1)^ - 2 [(0.0) + (2.0) - (0.2) - (2.2)] 4-
4- 2i [(0.1) 4- (2.1) -(0.3) -(2.3)]
of de waarden van art. 10 invoerende , daar A^=a is ,
n — 1
l.{z^^\) * = — a - 1 — B i.
Uit de vergelijking met het eerste resultaat
2(224-1) 4 =_1
volgt nu
a 4- B i iH^ 0 (mod M = a + 6 1) ,
dus
B = h.
Hierdoor gaan dan ten slotte de waarden van h, j, k, l, m van
art. 10 over in
Sh =4n — 8a — 5,
8j =^n-\-a — 2b — l,
Sk=in + a—l,
SI =4w4-a + 26 -1,
8m = 4w — a -f- 1,
waarin dus 8 n 4- 1 =:a2 4- 62 de norm is van het priemgetal M.
166 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN.
13. Nadat hiermede de beide gevallen , waarin ^ = 8w-{-l is, af-
gehandeld zijn, moet nu het geval iu = 8n -{- b beschouwd worden.
Daar dan — j — oneven is , zoo behoort — 1 tôt de groep C , en
zooals gemakkelijk te zien is, behooren de getallen
p — a, p~a\ p — a",...
aile tôt C, en de getallen
aile tôt D.
Met behulp van deze opmerkingen volgt nu zonder moeite, dat
het teeken voorstelt het aantal oplossingen van
(0.0)
a^y -fl=0
(0.1)
a-{-ô +1^0
(0.2)
a-fa'-f-lEEO
(0.3)
a + ^+1^0
(1.0)
^-\-y +IEEO
(1.1)
^ + à +1EEE0
(1.2)
^ + a +1-0
(1.3)
y9 + ^' 4-1^0
(2.0)
r + / + i-o
(2.1)
ri-à +1eeO
(2.2)
y + a +1 = 0
(2.3)
7 + ^+1ee0
(3.0)
ô + y +1eeO
(3.1)
ô-\-ô'-\-l = 0
(3.2)
ô-^a +1 = 0
(3.3)
5 + /S+1^0,
(mod M),
waaruit dan zes betrekkingen voortvloeien
(0.0) = (2.2), (0.1) = (3.2), (0.3) = (1.2),
(1.0) = (2.3), (1.1) = (3.3),
(2.1) = (3.0).
Daar evenals vroeger aa' e:^^ ô^y y' ~~l, zoo heeft men
7'(« + 7 + l)^->'" + l -\-7',
^(a-\.ô-\-l)EE:^' +1 +^,
^«4-/3 + 1)-^' +1 +<5,
M/5 + 7 + l)EEl +^' + ^
/(/« + 7 + l)~^ +1 +/,
BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 167
waaruit men besluit tôt
(0.0) = (2.0) , (0.1) = 1.3), (0.3) = (3.1) ,
(1.0) = (1.1) = (2.1).
Ten gevolge van deze elf betrekkingen neemt het schéma S dezen
vorm aan
h j k l
m m l j
h m h m
ml j m.
Daar —1 in de groep C, dus 0 in C voorkomt, zoo volgt geheel
op dezelfde wijze als in art. 8
2m4-i4-;= 2w-f 1,
h-^-m^ n.
De beschouwing van het aantal oplossingen der congruentie
a + ^ + y + l_=--0
levert eindelijk nog eene vergelijking tusschen /î, j, A, /, m op. Neemt
men eerst voor a aile waarden, die tôt A behooren, dan gebeurt het
respectievelijk h^ j, k, l malen, dat a -f 3 tôt de groepen A, B, C, D
behoort. En verder vindt men op dezelfde wijze als in art. 9, dat
voor elk dezer gevallen de congruentie respectievelijk m, l, j, m op-
lossingen heeft , waaruit dus voor het totale aantal oplossingen volgt
hm-\-jl-^kj-{-lm.
Neemt men daarentegen eerst voor /S aile waarden van B, dan
gebeurt het respectievelijk m, m, IJ malen, dat ^-|- 1 tôt de groepen
A,B,C,D behoort En verder vindt men, dat voor elk dezer ge-
vallen de congruentie respectievelijk h, m, h, m oplossingen heeft,
zoodat het totale aantal oplossingen ook bedraagt
mh-{- m7n-\- lh-\-jm.
14. De gelijkstelling van de beide uitdrukkingen voor het aantal
oplossingen der congruentie
a-}-^ + y-f-l = 0 (modM)
168 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN.
geeft
0 = 1^1^ -\- lh-\-jm — jl — kj — Im,
o{ daar k = 2m — h is, zooals uit de linéaire betrekkingen tusschen
h, j, ky l, m in art. 13 dadelijk volgt,
0 = m2-f- lh-\-hj—jl—jm — Im.
Drukt men nu met behulp van j -^1^1 -\-2h, j en l beide uit
door hun verschil
2j=l-\-2h-^ij-l),
dan gaat de voorgaande vergelijking door invoering van deze waar-
den over in
0=4m2-4m — 14-4/î2_8/im4- {j—lf,
of daar
im = 2ih-^m) — 2{h — 7n) = 2n — 2{h — m),
komt er
0=z^{}i — mf — 2n-\-2{h — m) — l-{- {j — lf
en eindelijk
f,:=:.Sn-^b = [i{h-m)^lf-\-^{j-lf,
dus voor
A = A{h — m)-\-l, B = 2i— 2^,
heeft men
/.= A2 4-B2.
Met behulp van A en B kan men nu gemakkelijk h, j, k, l, m
uitdrukken , als volgt
Sh =4w+ A — 1,
8i =4w-f-A + 2B — 3,
8A;=4w — 3A + 3,
8Z =4« + A — 2B + 3,
8yw = 4w — A-fl.
Er blijft nog over A en B te bepalen. Nu is fx als reëel priem-
getal van den vorm 4w-|- 1 slechts op één wijze voor te stellen door
een som van twee tweedemachten , en daar
M = a-f~ ^^
is, heeft men
waarm
aEH — 1, 6 = 2 (mod 4).
BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 169
Hieruit volgt dus
A = — a en B = ±6.
Om het teeken van B te bepalen dient eene beschouwing analoog
aan die in art. 12.
Men vindt gemakkelijk
S(^3_|_i)4 =_i^2{li — k)-\-2i{j — l) (modM).
Nu is
2{h-k) = A — l, 2(j-0 = B,
dus heeft men
— 1 = A — 1 + Bi,
0 = A + Bi (modM = a4-6i).
Daar nu reeds gevonden werd A = — a , zoo volgt B = — b en ten
slotte is dus
8h =in — a — 1,
8; =4w — a — 26 + 3,
Sk =4n + 3a + 3,
81 =4w — a + 26-f3,
8m = 4:W + « 4" 1*
15. De verkregen resultaten samenstellende , is dus voor /* = 8 n -f 1
het schéma S van den vorm
h j k l
j l m m
k m k m
l m m j
waarin :
8h =4w — 3M — 5,
voor M = — g 8; = 8A; = 8; =4n-f-M — 1,
8w = 4n — M+1.
8;i =4n — Sa — 5,
8;- =4n4-a -26 — 1,
voor M=:a-}-6i 8* =4n-f-a — 1,
SI =4n4-a-|-26 — 1,
8m = 4M — a + 1.
170 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN.
Voor ju = 8n-{-b, M = a-}-&î is het schéma S van den vorm
h j k l
m m l j
h m h m
m l j m
waarin
8/î =4w — a — 1,
8j =4w — a — 2 6 + 3,
8Â; =4w + 3a + 8,
U =4w — a + 26 + 3,
Zooals uit deze formules blijkt, correspondeert de verandering
van 6 in — b met eene vervvisseling van j en /, zoowel in het ge val
/i = 8n4-l. als wanneer ix^=8n-\-b is
Volgens de congruenties van art. 5 is nu voor /i = 8w + l het
karakter van 1 -J- i naar den mod 4 congruent met
(3 . 1) + 2 (3 . 2) + 3 (3 . 3) = 3 m + 3 j = ~ m — j
en dat van 1 — i congruent met
(1 . 1) 4- 2 (1 . 2) -f 3 (1 . 3) = ; 4- 5 m = i + m
en dus vindt men voor M = — q
g2_l
Karakter (l-j-i) — — w =
8
Karakter (1 — 2)eee w=: ^-5
o
Nu zijn ^~ en ^-r — geheele , op elkaar volgende getallen , dus
is hun product even , en ^-^^ — door 4 deelbaar, zoodat men
heeft
g^-l_,g^-l (g + l)(g-3)^g4-l
8 ~ 8 8 4
Hieruit volgt
en daar — 1 biquadratische rest is ,
BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 171
terwijl uit 2 = (1 — i) (1 + 0 nog volgt
Voor M = a -|- & î daarentegen , is
— m— j = — w-f-i6,
i -|- m = n + 1 6
en
n=-^^
xT • ur-iu ft--la + 3 , (a — l)(a-f-3), .,
Nu is blijkbaar - -— , — ^ even, dus g ' — -'door4deel-
baar, waaruit volgt
«2 — 1 — a + 1 , ,,,
—g— = ^ (mod 4),
en b door 4 deelbaar zijnde, is dus één der getallen door 6, 6±4
door 8 deelbaar, derhalve g — door 4 deelbaar en
zoodat
en ten slotte
-g- = -g- g -±io,
n = ii—a-\-l±2b) (mod 4)
0-1-6
0+1-6
(m)=((=^'))-'
Is eindelijk ^ = 8w + 5, M = a-|-6î, dan vindt men
Karakter (1 + z) -; (1 . 1) + 2 (1 . 2) + 3 (1 . 3) = w + 2/ + 3j (mod 4) ,
Karakter (1 — i) = (3 . 1) -f 2(3 . 2) + 3 (8 . 3) = i + 2; + 8w (mod 4).
Hierin is, aile congruenties betrekking hebbende op den modulus 4,
I 72 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN.
m-\-2l-\-Sj=Sn-^i{—2a — b + 8),
i + 2j-|-3w = 3n + i(— 6 + 6)=:-~w-t-i(— 6 + 6),
n=-^ — ;
^—^^ Q^+ ^ •• j • (a — 3)(a + l)
4
. — even zijnde, is „ door 4 deelbaar, evenzoo
(6 — 2)(6H-2) , , .
ook g , dus heeft men
a2_^52_5 (a_3)(a + l) 62-4_
w:- g ——g ^g— - 4(a+ 1),
zoodat er ten slotte komt
wî-f2/ + 3JEEi(a — 6 + ll) = (a — 6 — 5),
/ + 2j + 3 w HE i(~- a — 6 -f- 5)
en hiermede
a4-6i7/
g — 6 — 5 //-■ ^. >^,^ —a — 6 + 5
-{-bi// ' Wa-f &i'
Het karakter van — 1 gelijk twee zijnde, vindt men verder
en
a4-bi}l~
+
Hiermede is het quadratisch karakter van l-\-i, als ook dat van
1 — i, — i — ^, — 1 + z ten opzichte van een primair priemgetal in
elk geval bepaald. De uitkomsten stemmen geheel overeen met die
door Gauss in art. 63 en 64 van de Theoria residuorum biquadrati-
corum commentatio secunda gegeven , en daar in art. 68 — 76 op ge-
heel verschillende wijze bewezen.
16. Met betrekking tôt de analogie van een groot gedeelte der
voorafgaande beschouwingen met die van Gauss in art. 8 e. v. van
zijne eerste verhandeling over de théorie der vierde machtsresten ,
valt het volgende op te merken.
Gauss beschouwt reëele getallen, en de priemmodulus p is van den
vorm 4w -j- 1 , terwijl de beide gevallen p = 8n-\-l, p = 8n-\-b onder
BIJDR AGE TOT DE THEORIE DER DERUE- EN VIERDE-MACIITSRESTEN. 1 73
scheiden moeten worden ; p heeft dus dezelfde beteekenis als de
norm ju in de gevallen II en III van art. 4.
De getallen 1, 2, 3, ..., p — 1 worden nu bij Gauss in 4 klassen
A, B. C, D verdeeld. De getallen dezer klassen door a, /î, y, <3 aan-
duidende, is deze klassificatie gegrond op de congruenties
a * =1
fi * ~r
^-1 (mod//=p),
Y * =-1
ft-i
ô * =-f
waarin f^ — — 1 (mod p) , en voor ju = a^-\-b^
a=zl (mod 4), a + bfz^O (modp).
Voor p = ju = Hn-\- 1 hebben a en 6 dezelfde beteekenis als in het
bovenstaande , voor p = Sn-{-b verschillen a en 6 bij Gauss alleen
in teeken met de waarden, die zij in het voorgaande hebben, waar
M. = a-\-bi een primair complex priemgetal is
Laat men nu echter ook complexe getallen toe, dan is het dui-
delijk, dat de bovenstaande congruenties , die betrekking hebben op
den modulus p = /i, blijven gelden voor den modulus a -j- 6i, zoodat
ook a + 6/1^0 (moda-f-6i) is, waaruitblijkt/'Eni (mod a -[- 6 i) , en dus
it-i /«-i fi-i f-t
a * =l,/î* ~i, y ^ ^— 1,(5* ^ — i (mod a + 60-
De klassificatie van Gauss valt derhalve samen met die volgens
het biquadratisch karakter 0, 1, 2, 3 met betrekking tôt den modulus
a -\- bi.
Inderdaad , de reëele getallen 1, 2, 3, ...,;)— 1 vormen voor den
modulus a-^bi een volledig systeem incongruente , niet door den
modulus deelbare resten.
Vervangt men dan ook in de beide laatste voorbeelden van art. 5
de complexe resten door de congruente reëele getallen, wat met be-
hulp van i = 27 (mod — 3 — 8 1) en i = IJ (mod — 5 + 6 i) zonder moeite
kan geschieden, dan verkrijgt men
174 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN.
(mod — 3 — Si), /i=73,
A 1, 2, 8, 9, 16, 18, 32, 36, 37, 41, 55, 57, 64, 65, 69, 71, 72.
B 5, 7, 10, 14, 17, 20, 28, 33, 34, 39, 40, 45, 53, 56, 59, 63, 66, 68.
C 3,6, 12, 19, 23, 24, 25, 27, 35, 38, 46, 48, 49, 50, 54, 61, 67, 70.
D 11, 13, 15, 21, 22, 26, 29, 30, 31, 42, 43, 44, 47, 51, 52, 58, 60, 62.
(mod — 5 + 62;), ^ = 61,
A 1, 9, 12, 13, 15, U, 20, 22, 25, 34, 42, 47, 56, 57, 58.
B 2, 7, 18, 23, 24, 26, 30, 32, 33, 40, 44, 50, 51, 53, 55.
C 3, 4, 5, 14, 19, 27, 36, 39, 41, 45, 46, 48, 49, 52, 60.
D 6, 8, 10, 11, 17, 21, 28, 29, 31, 35, 37, 38, 43, 54, 59.
volmaakt overeenkomende met de voorbeelden door Gauss gegeven
in art. 11 der eerste verhandeling.
Alleen voor het geval I van art. 4 , bestaat in de reëele théorie van
Gauss niets analoogs, wat daarmede samenhangt, dat men in dit geval
uit reëele getallen geen volledig restsysteem kan vormen
De opmerking, dat de verdeeling in klassen A, B, C, D van Gauss
in zijne eerste verhandeling identiek is met die volgens het biquadra-
tisch karakter ten opzichte van den modulus a + bi, levert 00k terstond
het middel op, cm al die theorema's te bewijzen , die door Gauss in
zijne tweede verhandeling, art. 28, opgesteld zijn, en welke door
inductie ontdekt werden , maar die tôt nog toe , voor zoover ik zie ,
niet werden bewezen.
Deze theorema's hebben betrekking op het voorkomen van een
reëel priemgetal m in de vier klassen A, B, C, D, of na het voorgaande ,
op het biquadratisch karakter van m ten opzichte van a-\-bi als
modulus.
17. Ik laat nu hier de door Gauss in art. 28 opgestelde opmer-
kingen volgen. De priemmodulus p = lu zij van den vorm 4n-|- 1,
volgens de opmerking van het vorige artikel is het nu te doen om
de bepaling van de waarde van het symbool
\\a4-bill
-f-
waarin m een reëel priemgetal is ; de omstandigheid, dat voor /^ == 8 w -f- 5
a en 6 bij Gauss in teeken verschillen van de waarden in art. 14 heeft
BIJDRAGE TOT DK THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 1 75
op de uitspraak der theorema's geen invloed Het priemgetal m zal
met zulk een teeken genomen worden , dat het steeds ~ 1 (mod 4) is,
dus negatief wanneer het positief genomen , van den vorm 4A; -j" 3 = Q
is, terwiji een positief priemgetal van den vorm 4 A;-}- 1 door P zal
aangeduid worden. De opmerkingen van Gauss kunnen nu aldus
uitgedrukt worden
I. Is aEEO (modw) dan is ( (^^ôi) ) = ± 1- 1 ^^ wel -|- 1 wan-
neer m van den vorm 8r ± 1 , daarentegen — 1 wanneer m van den
vorm 8r ± 3 is.
II. Is a niet door m deelbaar, dan hangt de waarde van het
symbool af alléén van het volkomen bepaalde getal x, dat voldoet aan
de congruentie
6 = arr (mod m).
Voor w = P kan x hier de volgende waarden aannemen
0, 1, 2, 3, ..., P— 1,
met uitzondering van de beide waarden /"en P — /", die voldoen aan
yy^^—\ (modP). Deze kunnen blijkbaar niet voorkomen, want uit
b^^ay zou volgen
62 = — a2 o{ a^-\-b'^ = p = 0 (modP),
d. w. z. p zou door P deelbaar zijn.
Voor m = — Q daarentegen kan x aile waarden
0, 1, 2, 3, ..., Q-1
aannemen.
Deze waarden van x kunnen nu in 4 klassen a, fi, y, à verdeeld
worden, zoodanig dat voor
b = aa (mod m) de waarde van het symbool = 1 ,
b^=safi „ „ „ „ „ n n = *»
b^Cty „ n n n n n n ^^^ "'■ »
b^=aô „ „ „ „ „ » » = *
is, of wat ophetzelfde neerkomt, dat in deze gevallen m respec-
tievelijk tôt de klassen A, B, C, D behoort.
Omirent het aantal der getallen a, /5, y, (5 geldt nu deze regel, dat
drie dezer aantallen gelijk zijn, terwiji dan het vierde aantal één kleiner
176 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN.
is; en wel is dif vierde aantal dat der as, wanneer voor ar=^0 m tôt
A behoort, en dat der y s, wanneer voor a~£EO m tôt C behoort.
De verdere opmerkingen van Gauss in art. 28 kiinnen voor het
oogenblik daargelaten worden , daar hun bewijs geen bezwaar onder-
vindt, zoodra eenmaal het bovenstaande aangetoond is , waartoe ik
nu overga.
18. Zij dan vooreerst m = — Q , volgens de reciprociteitswet is dan
(L-^))=(("-^))
en voor a = 0 (mod Q)
(L^))=((?))=((i))((i))=""-
want [['q)] = 1 ; immers men heeft
n»_i
b
^-))-6 * (modQ)
Q2 J^ 0 4-1
en daar Q van den vorm ir-\-3, en dus ^ =(Q — 1) ~-f^- een
veelvoud van Q — 1 is, zoo volgt uit het theorema van Fermât
m=
Voor Q=:8w4-3 volgt nu
(L-^.))=--
voor Q = 8 M + 7
fâ)) = + '-
Voor m = P = (A + B i) (A — Bi) daarentegen , waarin A -\-Bi en
A — Bi de primaire factoren van P zijn , volgt uit de reciprociteitswet
P \\_(( a + bi\\(( a-{-bi
\a-\-bill \\k-{-Bi}}\\K — Bi
en voor a = 0 (modP)
BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE- MACHTSRESTEN. 177
Nu is, zooals bekend, in 't algemeen
dus
((^))=((xïV.))=(-^)-.
-{-bill \\A4-
of voor P = 8 n -j- 1
en voor P — 8 n + 5
((i^)]=--
+
Hiermede is dus het in het voorgaande art. onder I gezegde ge-
heel bewezen.
19. Onderstellen wij dan nu, dat a niet door m deelbaar is, en
beschouwen wij eerst het eenvoudigste geval
m = — q,
dan is dus
((^i.))=((H-))
Q)
-\-bill \\ Q
en voor bzi^ax (mod Q)
daar (l-^|| = l is, zooals reeds in het voorgaand artikel bewezen
Q
werd. Uit de verkregen uitkomst
(U-!T))=((n^))
■i-bill W Q
blijkt nu reeds, dat de waarde van het symbool links, alleen van
het getal x afhangt, welk getal de Q waarden
0, 1, 2, 3, ..., Q-1
kan aannemen.
Wij hebben dus nu nog slechts deze vraag te beantwoorden :
12
178 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN.
wanneer de modulus Q een priemgetal van den vorm 4 w + 3 is ,
hoeveel der getallen
1, l + ^, l^-2^, l-fS*. ..., l-f-(Q — l)i
behooren er dan respectievelijk tôt de klassen A, B, C, D?
Ik merk hiertoe vooreerst op, dat als een volledig systeem niet
door Q deelbare resten de getallen
a + ^i
genomen kunnen worden , waarin a en /9 de waarden 0, 1, 2, 3, ..., Q-1
doorloopen, met uitzondering der combinatie a = 0, /5 = 0; en ten
tweede, dat de getallen
1, 2, 3, . . . , ç - 1
aile tôt A behooren, zoodat wanneer
tôt eene zekere klasse behoort, ook
2(a'4-/3'i), 3(a' + /5'i), ..., (g - 1) (a' + ^' i)
tôt diezelfde klasse behooren , aile welke getallen door het weglaten
van veelvouden van q weder tôt den vorm a-\-^i, waarin a en ^
kleiner dan q zijn, teruggebracht kunnen worden. Nu zijn de resten
van
a', 2 a', 3 a', . .., (g — 1) a',
zoolang a niet gelijk nul is , volgens den modulus q in zekere volg-
orde met de getallen
1, 2, 3, ..., g-1
congruent.
In de groep der q — 1 getallen
a'-j-^'i. 2{a'-\-^'i), ..., (q - 1) {a' -\- ^' i) ,
die aile tôt dezelfde klasse behooren, komt er dus één voor, con-
gruent met een der getallen
l-j-ici {x = 0, 1, 2, ..., q—1).
Nu is het aantal getallen van elke klasse
een veelvoud van q — 1 , en de q — 1 getallen zonder reôel gedeelte
i, 2i, Si, ..., {q-l)i
behooren voor q = Sn-\-7 tôt A , voor ç = 8 w -f 8 tôt C.
BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 179
Daar men nu aile getallen van elke klasse , waarvan het reôel ge-
deelte niet gelijk nul is, op bovenstaande wijze in groepen van g — 1
getallen kan vereenigen, zoodanig dat er in elke groep één getal
met het reëele gedeelte 1 voorkomt, zoo volgt, dat voor Q = 8w-|- 7
er in de klassen A, B, C, D respectievelijk
g-3 5+1 g+1 g+1
4 ' 4 ' 4 '
4
getallen l-{-xi voorkomen.
Voor Q ^ S w + 3 zijn deze aantallen
î + 1 î + 1 q-S
Q + l
4 ' 4 ' 4 '
4 '
terwijl volgens art. 18 in het geval a = 0 (modQ) voor Q = 8w4-7
ofQ = 8w + 3, Q respectievelijk tôt de klassen A en C behoorde.
Ailes wat op het geval m^ — Q betrekking had, is dus hiermede
afgehandeld.
20. Voor m = P = ( A -j- B i) (A — B i) vonden vvij reeds
[[cTfbill ^ (IâTbi)/ \\ A^^^^Bll)
en dus wanneer
bEF^ax (mod P) ,
heeft men
1(m^))"^((â:+bï)) ((x^^^)) (lA + Bi)) \\Â-Bri))
of daar, volgens een reeds in art. 18 gemaakte opmerking, het pro-
duct der beide laatste factoren rechts gelijk 1 is,
via + 6ljj ^ llAr-f Bï/j IvÂr^^^Bl/J '
waaruit reeds blijkt, dat de vvaarde van het symbool links alleen van
het getal x afhangt, zoodat nog slechts de volgende vraag te beant-
woorden blijft: voor hoeveel waarden van 1-j- ti neemt
um ii^m
respectievelijk de waarden 1, i, — 1, —i aan? Voor x heeft men
hier de waarden
0, 1, 2, 3, ..., P-1
te nemen, uitgezonderd de beide wortels van y^z^—l (mod P).
180 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN.
Om deze vraag te beantwoorden beschouw ik een volledig systeem
incongruente niet door den modulus A -f- B * deelbare resten , en
breng deze volgens hun biquadratisch karakter tôt 4 groepen A,B,
C, D. Hierbij denk ik mij elke rest zoo gekozen , dat het reëele deel
gelijk 1, en de factor van i kleiner dan P is.
Men kan dit aldus voorstellen :
(mod A 4- B i) , A2 -f B2 =: P.
Klasse A a^=l-{-ai
B ^=i-\-bi
C 7 = 1 -f ci
D ô = l-\-di.
De getallen a, b, c, d in hun geheel stemmen overeen met
0, 1, 2, 3, ..., (P-l),
behalve dat de waarde f, die congruent i is ontbreekt, want 1 -{- fi^jzO
(mod A + B i).
Evenzoo met A — B^ handelende, ziet men gemakkelijk, dat de
klassificatie deze zal zijn:
(mod A — B i) ,
A2 4- B2 == P.
Klasse A
B
C
D
l+(P-a)i
l + (P-d)i
l-\-{F-c)i
l + (P-6)i
want gelijktijdig heeft men
p-i
(1 -\-xi) 4 —iP =
= (A + Bi)(C +
(i — xi) ' — i^P:
= (A-Bi)(C -
Di).
Heeft dus l-{-xi volgens den modulus A + B t het karakter q ,
dan heeft l—xi-^l-^{? — x)i volgens den modulus A— Bi het
karakter 3^-
21. Zal nu
iiïm ((1^))
BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 181
gelijk 1 worden dan moet, wanneer
een der waarden 1, i, — 1, — i heeft, tegelijkertijd
een der waarden 1, —i, —1, i aannemen, of op de beide verdee-
lingen in klassen lettende: wanneer x respectievelijk tôt a, b, c, d
behoort, dan moet tegelijkertijd ook p — x tôt de getallen a, b, c, d
behooren. Men kan dus zeggen, dat het aantal der waarden van x
waarvoor
m^ ((^È^.))=^
wordt, gelijk is aan de som van de aantallen oplossingen der con-
gruenties
6+6' = 0,
c +c' = 0,
d + d' = 0,
ten opzichte van den modulus P, of wat op hetzelfde neerkomt, ten
opzichte van den modulus A-\-Bi.
Men bedenke hierbij , dat wel de voor x uitgesloten waarde p — f
onder a, b, c, d voorkomt, maar dat deze waarde toch in geen der
bovenstaande congruenties kan optreden, omdat dit zoude vereischen,
dat ook f voorkwam onder de getallen a,b,c,d, wat niet het geval is.
Nu is a = l-\- ai, zoodat de voorgaande congruenties na verme-
nigvuldiging met i, overgaan in
a -\- a' 1^2
^-^^'rl (modA + Bi).
ô + ô' ^: 2.
Behoort ^-^ tôt de klasse A, dan gaan de voorgaande congru-
___ 1
enties door vermenigvuldiging met —g— over in
182 BIJDRAGE TOT DP: THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN.
a-fa' + lEEEO
ÎÎ/ÎÎÏÏO (-dA + Bi),
zoodat de som van het aantal oplossingen dezer congruenties gelijk
is aan het aantal waarden van x, die
m-m ((^è^.))
+
gelijk 1 maken.
Maar zooals men zich onmiddellijk overtuigt, blijft dit resultaat
p 1
hetzelfde, ook wanneer ^—^ — tôt de klassen B, C, D behoort. Be-
hoort bijv. — ^—^ tôt B, dan volgt uit a-f-a'^^2 door vermenigvul-
diging met^^-^-
en uit (i-^^'~y-^y'EEEÔ-\-ô'i^2 respectievelijk
r + ;^'4-l=0, ^ + ^'+1=0, a + a' + l = 0.
Noemt men de aantallen der waarden van x, die respectievelijk
\\A-]-Vij) ((âT^i)) ^^^y^^' *' —1' —^ maken, t,u,v,w, dan is
dus t de som van de aantallen oplossingen der congruenties
a + a' +1 = 0
(5+ (5' + 1 = 0.
Geheel op dezelfde wijze vindt men, dat u de som is van de aantallen
oplossingen der congruenties
a + 5+l = 0,
7 + )S4-l=0,
BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 183
terwijl men voor v en m? de congruenties
a + /+l = 0, «4-^4-1=0,
^ + ô-\-l~.0, ^^ ^^-^ + 1^0,
^4.^4.1^0, a4-a4-i=o,
te beschouwen heeft.
Is dus P = 8 n 4" 1 » dan heeft men volgens art. 7 en 8
^ =(0.0) 4- (1.1) 4- (2.2) 4- (3.3) = /î 4- ^ -\-k+j =2n-l,
u = (0.3) 4- (1.0) 4- (2.1) + (3.2) = / 4-i +m-{-m = 2n,
V = (0.2) 4- (1.3) + (2.0) 4- (3.1) = k-{-m-\-k -{-m = 2n,
m;= (0.1) 4- (1.2) + (2.3) 4- (3.0) =j ^m-\-m-^l =2n,
en voor P = 8 w 4- 5 volgens art. 13
^ =(0.2) 4- (1.3) + (2.0) 4- (3.1) = A; 4- j 4-^+^ =2n4-l,
u = (0.1) + (1.2) 4- (2.3) 4- (3.0) =j +1 4-w4-wî=2m4-1,
V = (0.0) 4- (1.1) 4- (2.2) 4- (3.3) = yî 4- m 4- /i -\-m = 2n,
w? = (0.3) 4- (1.0) 4- (2.1) 4- (3.2) = i +m4-m4-; =2w + l.
22. Al het voorgaande samenstellende, hebben dus de kenmerken
om te onderscheiden of een reëel priemgetal tôt de klassen A, B, C,
behoort , wanneer de modulus p van den vorm in-\-l en a-\-bi een
primaire complexe priemfactor van p is, de volgende gedaante:
Het priemgetal P = 8 w 4- 1 behoort tôt
A voor aEEEO, b~aa Aantal der a's = 2 n — 1 ,
Bvoor6=a^ (mod P). « „ ^'8 = 2w,
C voor b^ay „ „ y's = 2 w ,
D voor b^aô „ „ <5's = 2 n.
Het priemgetal P = 8 w 4- 5 behoort tôt
A voor 6 EEE a a Aantal der a's = 2 w 4" 1 »
BvoorÔEEEa^ (mod P). » » ^'s = 2w4-l.
C voor ÔEEEtt}', a = 0 „ „ >''s = 2w,
D voor b = aô „ „ (5's = 2 n 4- 1.
Het priemgetal — Q = — (8 n 4- 3) behoort tôt
A voor b^aa Aantal der a's = 2w4-l,
Bvoor6 = a/5 (mod Q). » » /^'s = 2n4-l,
C voor b^ay, a^O „ „ y'8 = 2n,
J) voor b~aô „ „ ^'s = 2n4-l.
184 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN.
Het priemgetal — Q = — (8 w + 7) behoort tôt
A voor 6 EiE a a , a = 0 Aantal der a's = 2 w -|- 1 .
B voor 6EEEa^ (mod Q). " » ^'s^2n4-2,
C voor b^^ay » » r's = 2 w + 2 ,
D voor 6 EEE a ^ „ „ 5's =:• 2 w + 2.
Ik voeg hierbij nog de volgende opmerkingen van Gauss (art. 28),
waarvan het bewijs na al het voorgaande niet het minste bezwaar
oplevert.
1. Het getal 0 behoort altijd tôt de as, en de getallen — a, — /5,
— y, — ô behooren (mod w) respectievelijk tôt de a's, ô's, y's en ft's.
2. Voor P=:8n4-1, Q = 8)i -{- 7 behooren de waarden van
— , ~a', — , V- (mod 7w) respectievelijk tôt de a's, ô's, y's, (i's; en voor
P = 8w + 5, Q=:8n4-3 behooren deze waarden respectievelijk tôt
de j-'s, /?'s, a's, ô's.
DERDE-MACHTSRESTEN.
23. Nu tôt de derde-machtsresten overgaande , is het noodig het
een en ander omtrent de théorie der geheele getallen van den vorm
a-^ b Q in herinnering te brengen ; q is hierin een complexe derde-
machtswortel der eenheid, dus 1 -\- q -\- q^ = 0.
Zooals dan bekend is, gelden ook in deze théorie omtrent de deel-
baarheid der getallen, hunne ontbinding in priemfactoren, het be-
staan van primitieve wortels der priemgetallen enz. geheel analoge
theorema's als die in de gewone théorie der reëele getallen , en
verreweg het grootste gedeelte der onderzoekingen in de vier eerste
sectiën der Disquisitiones arithmeticae kunnen bijna onveranderd
ook voor de théorie der geheele getallen a-^-bg doorgevoerd worden.
Het product van twee geconjugeerde getallen a -{- b g en a-{-bQ\
(a -f 6 e) (a -f 6 q^-) = a^ — ab-{- ô^
heet de norm van het getal a-\-bQ en zal steeds door ju aangeduid
worden.
Het getal 3 is in deze théorie geen priemgetal, want
BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 185
Als priemgetallen behalve 1 — ^, in deze théorie, doen zich voor:
ten eerste de reëele priemgetallen van den vorm 3 n — 1 , de norm
is dan gelijk (3 w — l)^;
ten tweede de complexe priemfactoren van de reëele priemgetallen
van den vorm 3 n -f 1. Dit reëele priemgetal is dan te gelijk de
norm van den complexen priemfactor.
Bijv. is
7 = (2 + 3 ^) (2 + 3 ^2) ^ (2 + 3 ^) (— 1 — 3 o).
De priemgetallen 2 + 3^, —1 — 3^ hebben beide 7 tôt norm.
In beide gevallen is dus de norm van den vorm 3 A; -f- 1-
Verder is het voldoende alleen primaire priemgetallen te beschou-
wen , waarbij ik mij van dit woord in den zin van Eisenstein (Crelle's
Journal, 27, p. 301) zal bedienen , zoodat a-^bg primair heet, wan-
neer a -f- 1 en b beide door 3 deelbaar zijn. De reëele priemgetallen
van den vorm 3 w — 1 moeten dus positief genomen worden om pri-
mair te zijn.
Zij dan M een primair priemgetal, /u de norm van den vorm Sn-\-l.
Een volledig stelsel incongruente , niet door den modulus M deelbare
resten bevat dan /u — 1 = 3 w getallen. Deze getallen kunnen tôt
3 klassen, elk ju getallen bevattende, gebracht worden al naar dat
/il l\«le
hunne I -ô" ) macht (mod M) congruent is met 1 , g oï q^. Deze ver-
deeling kan aldus voorgesteld worden:
A a, a', a", ...
B fi, ^', r, ...
C y, /, y", ...
waarin dus
fi '^ —.Q, y ^ ~r (mod M).
Het cubisch karakter der getallen a, a', a", ... is 0, dat der ge-
tallen /î, fi', ... is 1, dat der getallen ;', ^', . . . is 2.
Het zal intusschen ook gemakkelijk zijn, van het symbool van
Eisenstein gebruik te maken, en dus te schrijven
186 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN.
Het doel van de eerstvolgende beschouwingen is nu de bepaling
van het cubisch karakter van 1 — q, of wel de bepaling van de
waarde van het symbool ^ •
24. Door bij aile getallen van A, B, C de eenheid op te tellen,
ontstaan de 3 groepen van getallen A', B', C
A' a + 1, a' + l, a" + l. ...
B' ^+1, /5' + i, r + 1, ...
C y+1, r' + l, /'+1, ...
en ik noem nu (0.0), (0.1), (0.2) de aantallen getallen van A', die res-
pectievelijk congruent zijn met getallen van A, B, C; (1.0), (1.1), (1.2)
de aantallen getallen van B', die respectievelijk congruent zijn met
getallen van A, B, C; eindelijk (2.0), (2,1), (2.2) de aantallen getallen
C, die respectievelijk congruent zijn met getallen van A, B, C.
Al deze getallen kunnen in het schéma S vereenigd worden
(0.0) (0.1) (0.2)
(1.0) (1.1) (1.2)
(2.0) (2.1) (2.2)
en met de bepaling van deze getallen is ook onmiddellijk het cubisch
karakter van 1 — q gevonden. Want uit de blijkbaar identieke con-
gruenties
(X — a)ix — a'){x — a")...^EEX ^ — 1
{x — ^){x—^'){x—^")...~x 3 —Q (modM)
{X — y)ix — /') ix — y") . . . = o; ^ ~ q^
volgt voor x = — 1, daar — ^ — even is (behalve voor M = 2, welk
geval uit te zonderen is) ,
waaruit onmiddellijk volgt
M
i 4- 2 (2.2)
M=^-
BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 187
25. Het getal — 1 behoort, als volkomen derde-macht tôt de
klasse A, en de getallen a en —a, /S en — /?, y ç,n —y komen tege-
lijkertijd in de klassen A, B, C voor.
Met behulp van deze opmerking overtuigt men zich nu dadelijk, dat
het teeken voorstelt het aantal oplossingen van
(0.0) a + a' + lHEO
(0.1) a + ^+1-0
(0.2) a 4.^^4-1-0
(1.0) ^ + a+l:.-0
(1.1) ^_|_^'_|_i,-:,0 (modM),
(1.2) ^4.^+l_-:,0
(2.0) y-\-a 4-1e£e0
(2.1) ^4-^4-1^0
(2.2) y^y'J^l^^^O
zoodat men heeft
(0.1) = (1.0), (0.2) = (2.0), (12) = (2.1).
Is xyvzl (modM) en behoort :r tôt A, dan behoort blijkbaar ook
y tôt A, behoort echter x tôt B of C, dan behoort y respectievelijk
tôt C of B, wat men kan uitdrukken door te schrijven
aa' = l, ^y-^1 (modM).
Uit
^(a + ^ + l)_^^'-|-l+^,
besluit men nu tôt deze betrekkingen
(0.1) = (2.2), (0.2) = (1.1),
zoodat het schéma S dezen vorm heeft
h j k
j k l
k l j,
Daar —1 tôt A, dus 0 tôt A' behoort, maar behalve dit getal 0
van A' overigens aile getallen van A', B', C elk met één getal van
A, B of C congruent zijn , zoo volgt verder
/i4-i+A: = w-l,
j^k^l=n.
188 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN.
De beschouwing van het aantal oplossingen der congruentie
a + ^ + y+l-^O (modM),
waarin a, ^, y respectievelijk uit de klassen A, B, C te kiezen zijn ,
levert eindelijk nog eene betrekking tusschen h, j, k, l. Neemt men
namelijk eerst voor a de getallen van A, dan verkrijgt men voor
dit aantal
hl-\-jj-\-kk.
Neemt men daarentegen achtereenvolgens voor /? aile getallen
van B, dan vindt men voor ditzelfde aantal
jk-{-kl-\-lj
dus is
0 = hl-]-jj-\-kk-jk-kl-lj.
26. Elimineert men uit deze laatste vergelijking h met behulp van
h = l — 1 , dan is
0 = 1(1- l)-\-jj-{-kk—jk-kl~lj,
welke vergelijking met 4 vermenigvuldigd , wegens
{j^kr + SU-kf = 4:{jj + kk-jk)
den vorm aanneemt
o=ii'^-ii+ui-kf-{-s(j-kr^-ii{k-{-j).
Daar l = n — {j-\- k) is , heeft men door met 9 te vermenigvuldigen
Se7i = S6l^-{-9{j-\-kf-^27{j-kf-S6l{j-j-k)-\-36{Ji-k);
tegelijk is
24 w == 24 ( j + Â; + 0 ,
dus vindt men door aftrekking
12 w = 36 /2 -f 9 (j + kf + 27 (j — kf — 36 / (j + A;) + 12 (j -\-k) — 2^ /,
of wel
12 w + 4 = 4 /i = (6 i — 3 j— 3 A; — 2)2 -f 27 [j — kf.
Stellen wij nu
A = 6; — 3j — 3Â; — 2,
B=:3j — 3A;,
dan is dus
4 /i = A2 + 3 B2
BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 189
en men kan verder h, .?, k, l met behulp van A en B gemakkelijk
aldus uitdrukken
9/i = 3w + A- 7,
18j =6n — A + 3B — 2,
18A; = 6« — A — SB — 2,
9i=3n4-A + 2.
Om nog A en B te bepalen zijn nu twee gevallen te onderscheiden.
27. Is vooreerst M reëel van den vorm 3 w — 1 , dus /^ = M'^ , dan
volgt uit
4 /i = 4 M'-^ = A2 4- 3 B2,
dat A = ±2M, B = 0 is. Want was B niet gelijk nul, dan zou men
een geheel getal x kunnen bepalen, z6ô dat
A = B a; (mod M) ,
waaruit volgt
A^EEE — 8B2EEEB2a;2 (mod M)
dus
a?~ — ^ (mod M),
wat onmogelijk is , daar men weet, dat — 3 niet-rest is van M.
Stellig is dus B = 0, A = ±2M. Maar ook het teeken van A volgt
onmiddellijk uit de opmerking, dat A^^l (mod 3) , en M als primair
priemgetal = — 1 (mod 3) is ; waaruit dus blijkt
A = 2M
en ten slotte
9;î = 3m4-2M-7,
9i = 9A; = 3w— M— 1,
9/=8wH-2M + 2.
28. Is in de tweede plaats M = a + ^ ^ ^^^ primaire complexe
priemfactor van een reëel priemgetal p van den vorm 3n-|- 1» <ian is
4 // = (2 a - 6)2 + 3 62 = A2 + 3 B2
en daar a-\-hQ primair is , a -f 1 -^ ^ ^^ 0 (mod 3).
Nu is ook B door 3 deelbaar en daar, zooals gemakkelijk te be-
wijzen valt, 4/^ slechts op één wijze voorgesteld kan worden als
de som van een quadraat en het 27-voud van een tweede quadraat,
zoo volgt
A = 2a — 6, B = ±b.
190 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN.
Het teeken van A wordt namelijk weder bepaald door A ^ 1 (mod 3).
Om nog het teeken van B te bepalen, dient de volgende be-
schouwing; doorloopt z aile getallen van A, B en C, dan vindt men,
op geheel dezelfde wijze als in art. 12,
M-l
2(s-' + l) 3 -^: — 2^2>(k-\-:iQ-\-ki) (mod M),
of
-2 = 3[(/i-/(;) + ^0-/c)]
en nu /i, ./, k door A en B uitdrukkende, en voor A de waarde
2a — h schrij vende, verkrijgt men na eene kleine herleiding
0=:2a — 6-fB + 2Be (mod M = a + 6 e) ,
waaruit blijkt, dat B=;6 is
Nadat op deze wijze A en B gevonden zijn, heeft men
9/< = 3w + 2a— 6 — 7,
9j=3w— a + 2 6 — 1,
9/t:=3w — a — h — 1,
9;=3w-f2a— 6-1-2.
29. Volgens art. 24 is nu het cubisch karakter van 1 — q volgens
den modulus 3 congruent met
(1.1)4-2(1.2)ee;A;-;,
dat van 1 — ^ congruent met
(2.1) 4- 2 (2.2) EE/-i,
dus wanneer M reëel van den vorm 3w — 1 is, heeft men volgens
art. 27
Karakter (1 — ^) -- — ^4^- ,
Karakter (1 — i)^^ ^^^
of wel
waaruit nog volgt
M \-^ • nrr^
M'='
BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 191
Is daarentegen M. = a -{-bg een primaire complexe factor van een
reëel priemgetal van den vorm 3 w -|- 1 . dan is volgens de waarden
in art. 28 gevonden
Karakter {{ — q) -~ "J— ,
o
Karaktei- {i—Q^)~ -~^^ ,
o + l rl 21 a — 6 + 1 ^ q -, _ b^
■ « 3
1-M -T \k-£]-.-=V^ [_1
of
a-hbQ\~^ ' ' [a-^bQ\~^ ' [a + bQ
Deze resultaten verschillen niet wezenlijk van die door Eisenstein
gegeven in het 28'^" deel van Crelle's Journal, p. 28 e. v.
30. Omirent het geval, dat het priemgetal M een factor is van
een reëel priemgetal p van den vorm 3 w + 1| nioge nog het volgende
opgemerkt worden
Daar in ¥ = a-\-bg, a en b geen gemeenen deeler hebben en der-
halve ook b en a — b relatief priem zijn , zoo kan men altijd twee
geheele getallen a en /5 vinden , zoodanig dat
ba-{-{a — b)^ = l
wordt, en dan is
{a + bQ){a-\-^Q) = aa — b^ + Q,
dus
QE^b^ — aa (mod M = a-{-bQ).
Hieruit volgt onmiddellijk, dal elk geheel getal c-^-dg volgens den
modulas a -\- b g congruent is met een reëel getal, welk reëel getal
kleiner dan de modulus fi=:p aangenomen kan worden, zoodat de
reëele getallen
0, 1, 2, 3, ..., /i-1
een volledig restsysteem vormen. Verdeelt men nu deze reëele ge-
tallen (met uitzondering van 0) volgens hun cubisch karakter in drie
klassen
A a, a', a'\ . . .
B /?, /»', ^", . . .
C y, /, /', ...
192 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN.
en noemen wij f het reëele getal , dat :=: q is (raod M) , dan is dus
a « — 1~^ '^ —f^y ^ —f^EEEO (modM=:a + /)^),
en daar
a « -1, yS 3 -A y ^ -r
reëele getallen zijn , zoo moeten zij niet alleen door a -}- ^ ^ maar
ook door den modulus
deelbaar zijn, of
a s =1
Hieruit blijkt dus , dat de klassifîcatie der getallen
1, 2, 3, ..., p-l
met behulp dezer drie laatste congruenties , samenvalt met die vol-
gens hun cubisch karakter ten opzichte van den modulus a -\- b q.
Het resultaat
kan nu aldus uitgesproken worden: het getal 3 behoort tôt de
klasse A, B of C, al naar dat — ^b van den vorm 3m, 3m +1 of
3m + 2 is
Ik laat hier eenige voorbeelden volgen.
p = 7, a = 2, b = 2, f=4:.
A 1, 6.
B 2, 5.
C 3, 4.
p = 13, a = — l, 6 = 3, f=9.
A 1, 5, 8, 12.
B 4, 6, 7, 9.
C 2, 3, 10, 11.
Schéma S.
hj k
0 1 0
j k l
1 0 1
h l j
0 1 1
0 2 1
2 1 1
1 1 2
BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 193
p = 19, a = 5, 6 = 3, f=U. Schéma S.
A 1, 7, 8, 11, 12, 18. 2 2 1
B 4, 6, 9, 10, 13, 15. 2 13
C 2, 3, 5, 14, 16, 17. 13 2
p = 31, a = 5, b = 6, f=25.
A 1, 2, 4, 8, 15, 16, 23, 27, 29, 30. 3 4 2
B 3, 6, 7, 12, 14, 17, 19, 24, 25, 28. 4 2 4
C 5, 9, 10, 11, 13, 18, 20, 21, 22, 26. 2 4 4
p = 37, a = — 4, 6 = 3, /"= 26.
A 1, 6, 8, 10, 11, 14, 23, 26, 27, 29, 31, 36. 2 5 4
B 2, 9, 12, 15, 16, 17, 20, 21, 22, 25, 28, 35. 5 4 3
C 3, 4, 5, 7, 13, 18, 19, 24, 30, 32, 33, 34. 4 3 5
p = 43, a = — 1, 6 = 6, /'=36.
A 1, 2, 4, 8, 11, 16, 21, 22, 27, 32, 35, 39, 41, 42. 3 6 4
B 3, 5, 6, 10, 12, 19, 20, 23, 24, 31, 33, 37, 38, 40. 6 4 4
C 7, 9, 13, 14, 15, 17, 18, 25, 26, 28, 29, 30. 34, 36. 4 4 6
p = 61, a = 5, 6 = 9, /•=13.
A 1, 3, 8, 9, 11, 20, 23, 24, 27, 28, 33, 34, 37, 6 8 5
38, 41, 50, 52, 53, 58, 60. 8 5 7
B 4, 10, 12, 14, 17, 19, 25, 26, 29, 30, 31, 32, 35, 5 7 8
36, 42, 44, 47, 49, 51, 57.
C 2, 5, 6, 7, 13, 15, 16, 18. 21, 22, 39, 40, 43,
45, 46, 48, 54, 55, 56, 59.
Terwijl over het voorkomen van het getal 3 in de groepen A, B, C
op bovenstaande wijze vooruit beslist is, kan men nu, met behulp
van de reciprociteitswet , in de théorie der cubische resten gemak-
kelijk de kenmerken opstellen, noodior om het voorkonien ook van
andere getallen in deze klassen te onderkennen. Het is hierbij
blijkbaar voldoende om alleen priemgetallen te beschouwen.
Wat het priemgetal 2 betreft, kan men deze criteria, zonder hulp
der reciprociteitswet, aldus afleiden.
31. Daar het getal p — 1 altijd tôt A behoort, zoo volgt onmid-
dellijk, dat 2 tôt de klasse A, B of C zal behooren al naar gelang
p — 1
— 2 ^^^ ^^ klasse A, C of B behoort.
13
194 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACIITSRESTEN,
De getallen h, k, j zijn nu respectievelijk de aantallen oplossingen
der congruenties
a -fa' + 1 = 0
/5 + ^'4-l~0 (moùp),
y+y' + l^O
en daar men a met a', ^ met ^', y met y' mag verwisselen, zijn deze
drie aantallen even, uitgezonderd het eerste, wanneer a=za' = ^--^
tôt A behoort, of uitgezonderd het tweede , wanneer p=z^' =i^~-—-
tot B behoort , of uitgezonderd het derde , wanneer y=zy'^'^
2
tôt C behoort.
Hieruit blijkt dus, dat 2 tôt de klasse A, B of C behoort, al naar dat
van de drie getallen h, j, k het eerste , tweede of derde oneven is.
Daar p — 3 w + 1 {n even) en volgens art. 28
9/i = 3w + 2a— & — 7,
9;=3w— a-\-2b — l,
2Jc = Sn— a— b — 1
is, zoo is h oneven, wanneer b even is, j oneven, wanneer a even is,
eindelijk k oneven, wanneer a en 6 beide oneven zijn. Daar a en 6
geen gemeenen deeler hebben , zoo zijn geen andere gevallen mo-
gelijk, dus 2 behoort tôt
A, wanneer & = 0
B, „ a EEE 0 (mod 2).
C, „ a = b = l
32. Wat het voorkomen van 5 betreft, volgens de cubische reci-
prociteitswet is
ïa-{-bQ]
[a-+- bg] [ 5
want 5 is ook in de théorie der geheele getallen a-\-bQ een priem-
getal.
Voor a = 0 (mod 5) is dus
derhalve behoort 5 tôt C.
BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACIITSRESTEN. 195
Is a niet door 5 deelbaar, dan kan men x bepalen uit
b^ax (mod 5) ,
en X kan de waarden 0, 1, 2, 3, 4 aannemen; men heeft alzoo
r 5 ]_\a{i + xg)]_\\ +^Q
La + 6oJ-
+ bQ\ [ 5
en men vindt voor
x = 0 |~n^|=l.
x = l
.a-{-bQ
5 _
x = 2 1—^1 = 1
a + bgl '
a + bg]
[a-\- bg\
Hieruit volgt, dat 5 behoort tôt
A, wanneer b ~0^ & eee 2 a
B, „ 6 = a, 6EEE4a (mod 5).
C, „ 6:^ 3 a, a = 0.
Om het voorkomen van 7 te beoordeelen, heeft men
2 + 3^1 12 + 3^
[a-\-bg\ \_a-\-bg\ [a-\-b g
en nu volgens de reciprociteitswet
r 7 \_\a-\-bg-\ [g + feg
[a-\-bg\-[2 + '6g\ 12 + 3^2
Voor a 5=E 0 (mod 7) volgt , daar in 't algemeen
o-f-^l \a_±lgl\_
a-\-bg\ [a-\-bg'\~
is,
[a-^bg\ [2+3^.1 [2 -\- 'S g^\ VZ -\- ^ g^
zoodat 7 tôt B behoort.
Is a niet door 7 deelbaar , maar
b^Eax (mod 7),
196 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN.
dan volgt
[ 7 ]_ri+^g1 [i + ^g]
[a-^bQ\~[2i-'SQ\ [2 + 3^2]'
en voor x kunnen de waarden
0, 1, 2, 4, 6
voorkomen, niet x = S en x:=b, daar deze waarden
p = a^ — ab + b^ = aHl — X -{- x^)
door 7 deelbaar zouden maken.
Men vindt nu voor
x = 0 — '--=1,
[a + be\
x = l
a + bg
x = 2 1-3^1=1
a-{- bg
7
a + b Q
7
a-\-bQ
x = ^ \-^^~TZ\=Q^'
zoodat 7 behoort tôt
A, wanneer 6 = 0 , 6 ^ 2 a
B, „ bEE^a, a = 0 (mod 7).
C, „ b^a, 6 = 6a
Op gelijke wijze, of door inductie, zal men vinden dat
11 behoort tôt
A voor 6 EE2 0 , 6 EEE 2 a ,
6 = 4a,
& = 5a
B „ b=E.Sa, 6 = 6a,
6 = 9a,
a = 0
(mod 11),
C „ 6 = a, b = 7a,
& E- 8 a ,
6=10a
13 behoort tôt
A voor 6 =E 0 , 6 ZiE 2 a ,
& = 3a,
6EE:-8a
B „ b^a, 6EEE6a,
6=lla,
6 = 12 a
(mod 13),
C „ ÔEEEÔa, b = 7a,
6E^9a,
a = 0
17 behoort tôt
(mod 17) ,
A voor 6 = 0, bEEEa ,
6~2a
, 6eee9(
»,
6 = 16a,
œeeO
B „ 6 = 3a, b=7a,
6 = 8a
, b=lî
ia,
6=13a,
b=Ua
C „ 6 = 4a, 6 = 5a,
&EfE6a
, 6=10a,
6=lla,
bEEElba
(mod 19) ,
EEE2a,
65^ 10a,
b^\8a, a = 0
in 13a,
6=-14a,
6- 16a, 6EZEl7a
-6a,
b .. 7 a ,
6^ 9a, 6:~15a
(mod 23),
b~6a,
6:- 7a, 6e
E8a, 6-- 11 a, ôi-15a
BIJDKAGE TOT DE THEORIE DER DEKDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 197
19 behoort tôt
A vGor /) =r 0 , 6 — a , b
B „ 6--5a, 6=lla, 6;
C „ 6 = 3a, 6E34a, 6
23 behoort tôt
A voor 6eeeO, 6i^2a, 6HE5a,
B „ 6;-a, 6--r9a, 6^:^130, 6=16», 6:- 17a, bE=A8a, 6-- 19a, b^22a
C „ 6=3a, 6EEE4a, ô^^lOa, 6HEl2a, ftEZEHa, 6=20a, 6^21a, a=0.
33. De beschouwing van deze bijzondere theorema's geeft aan-
leiding tôt de volgende opmerkingen.
Voor het gemak zal ik in het volgende de reëele priemgetallen van
den vorm Sn — 1, die ook in de complexe théorie priemgetallen
blijven door Q, de priemgetallen van den vorm Sn-\-l door P aan-
duiden.
1. Een priemgetal Q behoort, wanneer aEEzO (mod Q), tôt de klassen
Q _|_ 1
A, B, C al naar dat — ^ — van den vorm 3 m, 3 m + 1, Sm-\-2 is.
2. Een priemgetal P behoort , wanneer a ^ 0 (mod P), tôt de klassen
p 1
A, B, C al naar dat — ^ — van den vorm 3 w, Sm -{-1, S m-}- 2 is.
3. In de gevallen 6^0, b^^2a behoort het priemgetal P of Q
altijd tôt de klasse A.
4. Behoort het priemgetal tôt A voor a= 0, dan behoort het ook
tôt A voor b^ a en voor b sr — a. Komt het priemgetal echter in
de klasse B of C voor, wanneer a^O, dan komt het voor b^E^a en
voor b^i: — a in de klasse C of B voor.
5. In het algemeen zijn de criteria van den navolgenden vorm :
Is o^O, dan behoort het priemgetal tôt eene bepaalde klasse.
Is a niet eeO, dan is b^nax en voor elke waarde van x behoort
het priemgetal in eene bepaalde klasse , zoodat men de waarden van
x in 3 groepen a, /?, y kan onderscheiden , zoodanig dat voor
b^aa het priemgetal tôt A,
b = a^ ,j „ „ B,
behoort.
b = ay „ „ „ C
198 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN.
Hierbij komt dan nog het geval a:E::.0, dat ook met eene bepaalde
klasse correspondeert.
Het totale aantal der congruenties nu , die men op deze wijze voor
elkder drie klassen vindt, is even groot en gelijk aan — « — of aan — h —
6. Zijn X en y twee getallen , die voldoen aan de congruentie
x-\-y — xy = 0,
en behoort ^ tôt a, dan behoort ook y tôt a. Is echter x^ji oîx^=y,
dan behoort y respectievelijk tôt de y s of de /?'s.
Is xy^l en behoort 1 tôt de as, dan is
voor
X^a'
y = a",
voor
X = ^'
y = y\
voor
x = y'
y = ^'-
Is a;7/ = l en 1— /?, dan
is
voor
x = a
y = Y^
voor
x = (i'
y = r,
voor
x = y'
?/ — «'.
Is xy = l en l = y, dan
is
voor
X=^a
y = ^
voor
x = fi
y = a,
voor
x = y
y=-y'-
34. Wat het bewijs van de bovenstaande opmerkingen betreft,
alleen het onder 5 gezegde vereischt eenige nieuwe beschouwingen ;
al het overige levert na het voorafgaande geen moeielijkheden op.
Ik ga er dan nu toe over het onder 5 opgemerkte algemeen aan
te toonen. Hierbij zijn de gevallen, dat het priemgetal gelijk aan Q
of aan P is, afzonderlijk te behandelen, en wel zal eerst het eerste
geval (verreweg het eenvoudigste) beschouwd vvorden.
35. Is dan het priemgetal Q van den vorm 3w — 1, dus ook priem
in de théorie der complexe getallen van den vorm a-\-b q ^ dan is
volgens de wet van reciprociteit
a-\-hQ
BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 199
Is vooreerst asEO (modQ), dan heeft men verder
Nu is
^4^X(Q-2)
een veelvoud van 3 en
Q'^-1 (Q-|-1)(Q-2)_Q4-1
3 3 ~ 3 '
derhalve is voor a^nO (modQ)
Q + i
= Q ' ,
[a + bQ]
waarmede de juistheid van het in art. 33 onder 1 gezegde aange-
toond is.
Is a niet door Q deelbaar, dan is x volkomen bepaald door
b^ax (mod Q)
en men heeft
[aa±XQ]_\l_±XQ]
[a-\-bg\ L Q J L Q
waaruit reeds blijkt, dat de klasse, waartoe Q behoort, alleen van het
getal X afhangt, terwijl voor x blijkbaar de getallen
0, 1, 2, 3, ..., Q-1
kunnen voorkomen.
Wij hebben nu nog slechts deze vraag te beantwoorden : hoeveel
der Q grootheden
a-\-xQ]
{x = 0, 1, 2, 3, ..., Q-1) •
zijn gelijk aan 1, hoeveel gelijk aan q, hoeveel gelijk aan q^? Wij
beschouwen een volledig systeem niet door den modulus deelbare
getallen, voor hetwelk de getallen
(^=0, 1, 2, 3, ..., Q-l)
genomen kunnen worden , waarbij alleen de combinatie a = 0, /? = 0
200 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACIITSRESTEN.
weg te laten is. Brengen wij deze Q^ — 1 getallen naar hun cubisch
karakter tôt 3 groepen A, B, C,
A Oq -|- ^0 ^ > • • •
B a,-\-^,Q,...
C Og + ^2 e > • • •
dan bevat elk dezer groepen
getallen, welk aantal dus een veelvoud van Q — 1 is; en de reëele
getallen
1, 2, 3, ..., Q-1,
die met /?=:0 correspondeeren, behooren aile tôt A, waaruit voort-
vloeit , dat zoo a -}- (i g tôt zekere klasse behoort , ook de met
l{a-\-fiQ), 2{a-\-^Q), ..., (Q-l)(a + ^^)
congruente getallen tôt dezelfde klasse behooren Is nu a niet gelijk
nul, dan zijn
a, 2a, 3a, ..., (Q — l)a
volgens den modulus Q in zekere volgorde congruent met
1, 2, 3, ..., Q-1.
Men kan dus de getallen van een klasse, waarbij het reëele deel
niet gelijk nul is, in groepen van Q — 1 getallen verdeelen , zoodat
in elke groep één getal voorkomt van den vorm 1-{-xq.
Hieruit blijkt dus, dat de aantallen der getallen 1 -f-^^. die — ^^ —
gelijk aan 1, q of q'^ maken, zijn
Q-2 Q + 1 Q + 1 r^l ^
-^-, wanneer |^ =1,
3 ' 3 ' 3
+ 1 Q-2 Q + 1 ___ \Q
3 , 3 ' 3 ' wanneer 1^^! = ^,
Q + 1 Q + 1 Q-2 ___ \Q
3 , 3 , 3 , wanneer ^-^^ = q
is , en daar verder boven gevonden werd, dat voor
a EEE 0 (mod Q)
Q tôt de klassen A, B of Ç behoort al naar dat -^gelijk aan 1, ^ of^^
BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 201
is, ZOO is hiermede het in art 33 onder 5 gezegde geheel bewezen
voor het geval , dat het priemgetal van den vorm 3 w — 1 is.
36. îs het priemgetal , waarvan men het voorkomen in de klassen
A, B, C wil onderzoeken, van den vorm P=:3w-|-1, dan komt het
er dus op aan de waarde van
te bepalen; daar P geen priemgetal is in de complexe théorie, zoo
is het in de eerste plaats noodig, vôôrdat de wet van reciprociteit
toegepast kan worden , P in zijne primaire priemfactoren te ontbinden.
Stel
P = (A + B^)(A + B^2)^
dan is volgens de reciprociteitswet
\ _P]_\a±_bQ] \_a±b_Q_
[a + bQ\ [A + Bd U + Bq^.
Dus heeft men
voor a EEE 0 (mod P)
P 1 r ^ U g ^ '^^-'^
= &
[a + bQl LA + B d [A + B q^
voorax^E^b (modP)
[ P 1 _ fl+^g] [ 1-f ^g
[a + 6d~U+B(>J |a+ B^2j
Uit de eerste uitkomst voor «eeeO blijkt de juistheid van de tweede
bewering in art. 33.
Daar P van den vorm S n-\- l is , zoo heeft de congruentie
x^ E- 1 (mod P)
drie verschillende wortels, l, f, g, waarbij f^g^.
De beide waarden —f^ —g kunnen nu niet gelijk aan x zijn in
de congruentie
want uit 6 : — a/" zoude volgen
d^ — ab-\-b'^^d^{\ -f /"-f /'2)^o (modP),
zoodat het priemgetal
p = a^ — ab -}-b^
door P deelbaar zou zijn.
202 BIJDKAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACTITSRESTEN.
De waarden, die x dus kan aannemen, zijn
0, 1, 2, 3, ..., P — 1
met weglating der beide getallen P — /" en P — g. Hun aantal is
derhalve P — 2 , en nu is te onderzoeken, voor hoeveel dezer P — 2
waarden van x de uitdrukking
1+^'g] [ 1 + ^ g
A + Bd [a+B^'
de waarden 1, ^ en ^^ aanneemt.
Ik merk nog op, dat
F-l
= Q '
A + Be.
is en dat voor «eeeO (modP) geldt
P
2(P-1)
= Q
[a + bQl
Behoort dus q voor den modulus A + B^ tôt de klasse A, BofC,
dan behoort gelijktijdig P voor den modulus a-\-bQ (of wat hetzelfde
is, voor den reëelen modulus p) tôt de klasse A, C of B.
37. Men kan steeds , wanneer een willekeurig getal a-^- ^ g ge-
geven is, een daarmede volgens den modulus A + B^ congruent getal
vinden , waarvan het reëele deel gelijk aan 1 is.
De verdeeling van een volledig systeem niet door den modulus
deelbare getallen in drie klassen, volgens hun cubisch karakter,
kan dus aldus voorgesteld worden
(mod A + B e)
A a = 14- a g, a' = l-\-a'Q, a" =:l-\-a" Q, . . .
B ^ = 14-6^, ^' = 1 + 6'^, ^" = l-\-b"e, ...
C y = i-\-CQ, y' = i-^c'Q, y" = l-{.c"Q, ...
en daar uit
volgt
{l + aç) s _^^EEE(A + B^)(C4-De)
F-l
BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 203
kan tegelijkertijd de klassifîcatie voor den modulus A -j- B ^ aldus
voorgesteld worden
(mod A -f- B ^2)
A l-\-aQ% 1 + a' ^2, 1 _[. a" q\ . . .
C l + 6e^ ^ + h'Q\ l + 6>2^...
De getallen a, 6, c, a', 6', c', a", 6", c", . . . vormen in hun geheel
aile getallen van de groep
0, 1, 2, 3, ..., P-1,
met uitzondering van het enkele getal , dat -^ — ^2 (mod A -f B ^) is,
en dat (modP) congruent is met een der getallen — /; —g. De ge-
vallen nu , dat
[i + ^g] r i + xQ i_
Ia + b^J [K + hé\
is, zijn blijkbaar deze
i±|^]=le„tege.ijkertijd[^+^,] = .
Nu is L^T g =1 voor x~a, a', a", . . ., en zal nu te gelijker tijd
^-jp-g— 2 =1 zijn, dan moet dus l-\-aQ volgens den modulus A-j-B^^
congruent zijn met een der getallen i -|- a r. 1 + a'g^ . . . dus is te stellen
l + ag 1 + a' Q^ (mod A -f- B q^).
Omgekeerd , zoo aan deze congruentie voldaan is , heeft men
l+«g1_i [l+«_^l_i
A + BeJ-'' [A + Be'^J-^-
Het aantal malen, dat dit geval zich dus voordoet, is gelijk aan het
aantal oplossingen van bovenstaande congruentie. Op soortgelijke
wijze voor de beide overige gevallen
204 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERUE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN.
en
redeneerende , volgt dat het geheele aantal malen, dat de uitdrukking
U + AqI U + Bq^
gelijk 1 is, voorgesteld wordt door de som van het aantal oplos-
singen der drie congruenties
l -\- a Q EiE l -\- a' Q'^
1 4- 6 e = 1 + 6' ^2 (mod A -f B Q%
Evenzoo blijkt, dat het aantal malen, dat bovenstaande uitdrukking
gelijk aan q of aan g'^ wordt, uitgedrukt wordt, in het eerste geval
door de som van het aantal oplossingen der congruenties
l-{.CQE^l-\-bQ^ (modA + B^2)^
l-{-aQEE:l-\-CQ^
en in het tweede geval door de som van het aantal oplossingen der
congruenties
lî-aQ=l-{-bQ^ (modA + B^2),
1 + 6^^14-0^2
Om onmiddellijk de ontwikkelingen van art. 25—28 te kunnen
toepassen, is het iets gemakkelijker alleen congruenties voor den
modulus A -j- B e te beschouwen , zoodat wij , in de voorgaande for-
mules overal q door q^ vervangende , zullen schrijven , wanneer t, u, v
de aantallen malen zijn, dat
A-\-Bq\^\a-\-Bq^.
respectievelijk gelijk aan 1, q of q^ is:
t = som aantal oplossingen van
l4-a^2^1 + a'^
1 4- 6 ^2 ^ 1 4- 6' g (mod A 4- B ^),
BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSREftTEN. 205
u = som aantal oplossingen van
l-{-CQ^^l-\-bQ (modA + B^),
V = som aantal oplossingen van
l-\-aQ^EE.l-{-bQ (mod A -f B g).
38. Hierbij dient nog het volgende opgemerkt te worden. Onder
de getallen a, b, c, a', b', c\ ... komt één der getallen —f, —g niet voor.
Laten wij onderstellen, dat — f niet voorkomt, zoodat — g wel voor-
komt. Dan is het toch duidelijk, dat niettemin deze waarde — g
nergens in een der bovenstaande congruenties kan voorkomen, want
bijv. uit 1 -j- a ç2 ==r 1 _|_ a' g of ag^E^a'Q zou voor a=— g^volgen
a'~aQ=^ — Q^E:^—f, want /"= q^ engEEEQ (mod A + B ^) en de waarde
o' EEE — f komt niet voor. Daar nu onder de voor x te nemen waarden
zoowel — /" als — g niet voorkwamen , zoo is hierdoor klaar, dat wer-
kelijk de bovenstaande uitdrukkingen voor t, u en v juist zijn, wan-
neer de in de congruenties voorkomende getallen a, a', 6, b', c, c' op
aile mogelijke wijzen uit de groepen a, a', a", ...,b,b', b", . . . , c, c', c", . . .
gekozen worden.
Voeren wij nu in plaats van a, 6, enz. liever de getallen a = 1 -f a e,
^=l-\-bQ, enz in, dan gaat bijv. ag^^a'ç over in
Q{a — l) = a' — l,
of in
a' — Q a = l — Q
en, evenzoo met de overige congruenties handelende, vinden wij
het volgende:
t = som aantal oplossingen van
a' — Qa^l — Q
fi'^Qfi = l — Q (modA + Bg),
y' — QY^l — Q
206 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN.
u = som aantal oplossingen van
a —Q^^l — Q
^-gyEBl — Q
(mod A + B g)
Y — Qa = l — Q
V = som aantal oplossingen van
a — Qy^£l — g
^ — Qa = l — g
(mod A -f B ^)
y-Q^=l—Q
In het eerste lid dezer congruenties kan het teeken — overal door
-f- vervangen worden , daar twee getallen A en — X steeds tôt dezelfde
klasse behooren. Doen vvij dit, en vermenigvuldigen wij bovendien
met het geheele getal
P — 1 3w ,- „.
dan volgt:
t = som aantal oplossingen van
a' + ^a-f-l^O
)S' + ^i^ + l = 0 (modA + B^),
î< = som aantal oplossingen van
a + ^^+l-O
i^-fe^' + l^O (modA-f-B^),
7 + ^a + l = 0
V ■= som aantal oplossingen van
«4-^74-1 = 0
yS + ^a + lEEEO (mod A 4- B^),
7 + ^/34-1 = 0
en wel komt men tôt dit besluit in elk der drie onderstellingen, die
men kan maken, namelijk dat n{l — Q^) tôt de klasse A, B of C be-
hoort. Dit is blijkbaar daaraan toe te schrijven, dat de bovenstaande
groepen van 3 congruenties zoodanig zijn , dat zij bij eene cyclische
verwisseling van a, /5, y onveranderd blijven.
Er zijn nu drie gevallen te onderscheiden.
I. Q behoort tôt A, zoodat . . g l^^-^-
BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 207
In dit geval is Qa = a'\ q^ = /S", Qy = Y" en derhalve zijn m, v, w
de sommen der aantallen oplossingen van de volgende congruenties
a-f a'-f IeeeO,
y+j,' 4-1 = 0,
« + ^ + 1 = 0,
/S4-y + l-0,
yi-a + 1^0,
a + y4-l = 0,
2^4-^4-1 = 0,
en er komt volgens art. 25 , wanneer wij de daar voor het priemgetal
a-\-bQ gevonden resultaten overdragen op den modulus A 4- B ^ met
den norm 3 w 4- ^ >
u = h-\-k-\-j=:n — 1,
v=j -\-l -\-k = n,
w=^k-\-j -fi =w.
P
Volgens art. 36 is in dit geval voor a = 0.
a-\-hQ
= 1.
IL Q behoort tôt B, zoodat
Q
= Q.
Dan zijn m, v, w de sommen der aantallen oplossingen van de
volgende congruenties
u
«4-^4-1 = 0,
/5 4-y4-l-0,
r+a + i^o,
V
«4-^4-1 = 0,
^4-^4-1 = 0,
w
a + a' + l^O,
/î 4- /î' 4-1 = 0,
^4-/4-1 = 0,
er volgt
u = n
V =n
w =w — 1.
Volgens art 36 is in dit geval voor a= 0,
P
a-\-bQ
III. Q behoort tôt C, zoodat . ■ p =e^.
In dit geval zijn m, v, w de sommen der aantallen oplossingen van
a4- 2^4-1 = 0,
^4-a4-i-o,
y+/5-f 1-0,
10
a 4- a' -f 1 r- 0 ,
^4- ^'4-10,
y4-/-f-l i:0,
a4-yS4-lEE0,
ys 4-^4-1-0,
y + ^ + 1^0,
208 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN.
en men vindt
Volgens art. 36 is hier voor a = 0.
[a-{-bQ ^•
Hiermede is nu ailes bewezen, wat in art. 33 gezegd is omtrent
den algemeenen vorm der criteria, waaraan men het voorkomen
van een priemgetal in de drie klassen kan onderkennen.
39. Wat de overige opmerkingen in art. 33 betreft, bedenke
men, dat het onder 6 voorkomende onmiddellijk volgt uit de beide
formules
i+XQ
[A + B ^.
1+M
l —xy -{-{x-\- y — X y) q
A + B^
A+B^a
1 — X y + {x -\- y — xy) Q
Q
l — xy-{-{x-}-y — xy)Q
A+B^2
A + Be
Uit de opmerking, dat voor b^2a het priemgetal (2, 5, 7, 11, . . .)
steeds tôt de klasse A behoort , kan nog eene gevolgtrekking opge-
maakt worden , die het goed schijnt hier te plaatsen. Daar namelijk
wegens
4p = 4 (a2 — a 6 + 6'^) = (2 a — 6)2 + 3 62
3 niet tôt de priemfactoren van 2a — 6 behoort, zoo volgt, dat aile
priemfactoren van 2 a — b cubische resten van p zijn en derhalve is
2 a — b zelf cubische rest van p.
40. Tôt ditzelfde resultaat voert ook de volgende geheel verschil-
lende beschouwing
Zij p = Sn-\-l en laat z een volledig systeem congruente, niet
door den modulas a-\-bQ deelbare getallen doorloopen, dan volgt uit
de congruentie
2w{2w— l)...(w + l)
i:(s« + l)2*» = — 2
1. 2. 3.
(mod a-\-bQ).
BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 209
Maar aan den anderen kant vormen de getallen z^, . . . aile cubische
resten van a-^hg, elke rest 3 maal geschreven , en van de getallen
z^-\-l behooren er dus S h tôt de klasse A, 3i tôt B, SA; tôt C, der-
halve is ook
2 (^3 -[- l)2n -^ 3 /î + 3 A ^ 4- 3 i ^2 (mod a-\-hQ),
of volgens de waarden van art. 28
dus is
2w(2n — l)...(w + l) ^ , „ , , - , , ,
zoodat ook
, 2m(2w — l)...(w + l) , , o I ,x
2 a — h = ^ c ^ ^^ — ' — - (mod p = 3 n -4- 1)
1. 2. 3. ... n
is , welke merkwaardige congruentie het eerst door Jacobi in Crelle's
Journal, Bd. 2 gegeven werd, en waarvan het bewijs gewoonlijk uit
formules afgeleid wordt, die in de théorie der cirkelverdeeling voor-
komen.
Schrijft men deze congruentie aldus
(1. 2. 3. ... w)2(2a — i)) = — 1. 2. 3. ... (2w) (mod?)),
en bedenkt dat
2w + l — — n,
2w4-2ee; — (n — 1),
2w + 3-: — (w — 2),
3 n — 1 ,
terwijl n even en 1. 2. 3. . . . (3w) — 1 is, zoo volgt
(1. 2. 3. ... nf{2a — h)rl (modp),
waaruit onmiddellijk blijkt, dat 2a — b cubische rest van p is, zooals
reeds boven op gehecl andere wijze werd aangetoond. Uit dit eerste
bewijs bleek bovendien, dat aile deelers van 2 a — h cubische resten
zijn.
U
X.
(Haarlem, Arch. Néerl Sci. Soc. Holl. , i8, 1883, 358-436.)
(traduction autorisée par l'auteur)
Contribution à la théorie des résidus cubiques et biquadratiques.
Le théorème fondamental de la théorie des résidus quadratiques ,
la loi dite de réciprocité, est relatif au rapport réciproque de deux
nombres premiers impairs, et dans une théorie complète le caractère
du nombre 2, comme résidu ou non-résidu quadratique d'un autre
nombre premier impair, doit donc être déterminé séparément. Il
ressort de là que le nombre 2 occupe une place à part parmi tous
les nombres premiers.
Les théorèmes par lesquels est déterminé le caractère de 2 ont
été énoncés pour la première fois par Fermât '^) et démontrés par
Lagrange ^). Il convient de remarquer toutefois , que la démon-
stration de Lagrange s'appuie sur des considérations tout à fait
semblables à celles par lesquelles , antérieurement , Euler ^) avait
démontré les théorèmes , également énoncés par Fermât , qui fixent
le caractère de 3 comme résidu ou non-résidu quadratique. L'insuccès
d'Euler dans tous ses efforts pour démontrer les théorèmes concer-
nant le caractère de 2 (Voir Disq. Arithm., art. 120) est donc d'autant
plus surprenant.
Un phénomène entièrement analogue se présente dans la théorie
des résidus biquadratiques. Ici également, la loi générale de réci-
1) Op. Mathem., p. 168.
2) Nouv. Mém. de l'Ac. de Berlin, 1775. Oeuvres, t. III, p. 759.
3) Comment, nov. Petrop., t. VIII, p. 105.
LA THEORIE DES RÉSIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES. 211
procité a rapport à deux nombres premiers impairs , c'est-à dire ,
non divisibles par l + i, et le caractère de ce nombre premier par-
ticulier doit être déterminé séparément.
Dans le mémoire de Gauss: Theoria residuorum biquadraticorum
commentatio secunda, oii les nombres complexes entiers de la forme
a-\-bi furent introduits pour la première fois dans la théorie des
nombres, le caractère biquadratique del-\-i est déterminé complè-
tement. La démonstration y est de nature purement arithmétique
et s'appuie essentiellement sur le théorème de l'art. 71, théorème
analogue au lemme formant la base tant de la troisième que de la
cinquième démonstration de Gauss pour la loi de réciprocité dans
la théorie des résidus quadratiques (Theorematis arithmetici demon-
stratio nova. Werke, II, pi, et Theorematis fundamentalis in
doctrina de residuis quadraticis demonstrationes et ampliationes novae.
Werke, II, p. 47).
Comme on le sait, le troisième mémoire, dans lequel Gauss s'était
proposé de donner la démonstration de la loi générale de réciprocité,
déjà énoncée dans son second mémoire sur cette théorie , n'a jamais
paru.
Les deux premières démonstrations publiées de ce théorème
fondamental sont celles d'Eisenstein, dans le tome 28 du Journal
fur Mathematik de Crelle, p. 53 et 223. Dans le premier article:
Lois de réciprocité, il n'a pas traité du caractère de l-\-i, mais
bien dans le second article: Einfacher Beweis und Verallgemeinerung
des Fundamentaltheorems fur die biquadratischen Reste. Eisenstein
fait usage, dans l'établissement du caractère de 1 + *» de la loi
générale de réciprocité démontrée antérieurement , ce qui en tout
cas paraît peu élégant, vu que le passage du simple au composé
demande nécessairement que le caractère de 1 -f- ^ soit déduit d'une
façon entièrement indépendante du théorème fondamental.
La même remarque est plus ou moins applicable à toutes les autres
méthodes qui ont été employées postérieurement pour traiter la
théorie des résidus biquadratiques ; la marche suivie par Gauss pour
démontrer le caractère de l-\-i est, à mon avis, la seule qui puisse
être dite purement arithmétique et complètement indépendante de
212 LA THÉORIE DES RÉSIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES.
la loi générale de réciprocité, de sorte qu'elle satisfait, sous ce
rapport, aux conditions qui devront être imposées à tout dévelop-
pement méthodique de la théorie des résidus biquadratiques , prise
dans son ensemble.
Des remarques tout à fait analogues peuvent être faites au sujet
de la théorie des résidus cubiques. La première démonstration de
la loi de réciprocité dans cette théorie — loi énoncée par Jacobi —
est celle d'Eisenstein, publiée dans le tome 27 du Journal far
Mathematik de Crelle, p. 289. La détermination particulière du
caractère de 1 — q , où q est une racine cubique complexe de
l'unité, n'a été donnée par Eisenstein que plus tard , dans le tome
28 , p. 28 et suiv. du même journal. Pour cette détermination il
fait encore usage de la loi générale de réciprocité , et je ne sache
pas qu'on ait donné jusqu'ici un mode de déduction du caractère
cubique de 1 — p dont la même chose ne puisse être dite.
Comme il est à désirer toutefois , qu'on possède une démonstration
du caractère de 1 -f- * et de 1 — q entièrement indépendante de la
loi générale de réciprocité, il y aura peut-être quelque intérêt à
faire voir comment tous ces théorèmes relatifs aux nombres pre-
miers 2, l-f-i et 1 — Q, théorèmes nécessaires pour compléter les lois
de réciprocité, peuvent être démontrés suivant une méthode uniforme.
Le principe de cette méthode consiste à remplacer le nombre
premier, dont il s'agit de déterminer le caractère, par un produit
congruent de facteurs. On détermine alors le caractère de ces facteurs
par des considérations tout à fait analogues à celles dont Gauss s'est
servi dans les art 15 — 20 de son premier mémoire sur la théorie
des résidus biquadratiques (Werke , II , p. 78—87). Gauss n'y a
en vue que les nombres réels , et l'objet de son mémoire est la
détermination du caractère de 2 dans la théorie réelle. Mais j'ai
reconnu que tous les raisonnements de Gauss se laissent reproduire
aussi , presque sans changement , dans la théorie des nombres com-
plexes , et la détermination du caractère biquadratique de 1 -|- i
s'obtient alors immédiatement au moyen d'une considération très
simple, suivant laquelle 1 -\- i est congru à un produit dont on
connaît le caractère des facteurs.
LA THÉORIE DES RÉSIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES. 213
A l'aide de ces remarques extrêmement simples, et étant données
les recherches du premier mémoire de Gauss , la détermination du
caractère de 1 -|- ^ par rapport à un nombre premier de la forme
a-\-bi (où b n'est pas égal à zéro) n'offre plus aucune difficulté ;
une méthode entièrement analogue peut d'ailleurs être employée
dans le cas où le module est un nombre premier réel de la forme
4 n + 3. Bien que ce dernier cas permette une démonstration beaucoup
plus simple (Voir, par ex., Gauss. Werke, II, art. 68), j'ai cru devoir
le traiter de la même manière que les autres cas , pour faire ressortir
que la méthode en question suffit à établir l'ensemble des théorèmes.
Après avoir effectué la détermination du caractère biquadratique
de l-|-i,je démontre, à l'aide des développements antérieurs, tous
les théorèmes que Gauss a trouvés par induction et énoncés dans
l'art. 28 de la Theoria residuorum biquadraticorum commentatio
secunda. Si je ne me trompe, cette démonstration est donnée ici
pour la première fois ^). Elle est entièrement fondée sur la théorie
des nombres complexes, théorie qui joue donc ici un rôle purement
auxiliaire , les théorèmes eux-mêmes ayant seulement rapport à des
nombres réels. Outre la loi de réciprocité dans la théorie des résidus
biquadratiques , la démonstration complète exigeait encore les con-
sidérations des art. 19—21.
Je vais maintenant commencer par déduire le caractère de 2 dans
la théorie des
RÉSIDUS QUADRATIQUES.
1. Soit p un nombre premier impair , les nombres
1, 2, 3, ..., p — 1
seront alors divisés en deux groupes. Dans le premier groupe
A a, a', a", . . .
sont rapportés tous les résidus quadratiques , dans le second groupe
B ^, ^', r. . . .
tous les non-residus, pour le module p. Chacun des groupes A et
1) Une partie de ces théorèmes a été démontrée par M. Lebesgue. dans le Journal de
Liouville, t. 4, p. 51, 52, remarcjue 1%
214 LA THÉORIE DES RÉSIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES.
p — 1
B se compose de o'" nombres incongrus par rapport au module p,
et il est facile de voir que les deux congruences
p — 1
{x — a){x — n'){x — a") . . .^.x ^ — 1
p-i (moùp)
{x-p){x-[i'){x-p')...^x 2 +1
sont des congruences identiques ; car elles sont de degré moins élevé
que la loi et toutes les deux possèdent manifestement — ^ —
racines , à savoir , la première les racines x = a,x = a\x=^ a", . . . ,
la seconde les racines x = (i, x= ^', x = /?", . . .
En ajoutant l'unité aux nombres de A et de B, on obtient les grou-
pes de nombres suivants
A' a + 1, a' + l, a" + l, ...
B' /s + i, ^'+1, r + 1, ...
Le nombre des nombres du groupe A' qui font partie de A et de
B sera désigné respectivement par (0.0), (0.1), et le nombre des nom-
bres de B' qui entrent dans A et B respectivement par (1.0), (1.1).
Ces quatre nombres peuvent être réunis dans le tableau S suivant
(0.0) (0.1)
(1.0) (1.1).
Comme les nombres premiers des formes p = 4:n -\-l et p = 4:n-\-S
se comportent d'une manière différente, ces deux cas doivent être
traités séparément. Commençons par le premier.
2. Pour j? = 4 n -|- 1 le nombre — 1 est résidu quadratique , de
sorte que les nombres a et p — a entrent simultanément dans A. De
même, les nombres /5 et p — ^ entrent simultanément dans B.
Or (0.0) est évidemment égal au nombre de solutions de la con-
gruence
a-{-l = a' (mod p) ,
où a et a' doivent être choisis dans le groupe A; et comme on a
a' =.p — a", on peut dire aussi que (0.0) représente le nombre de
solutions de la congruence
a -f a" + 1 =^ 0 (mod p).
LA THÉORIE DES RÉSIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES. 215
En raisonnant de la même manière par rapport aux nombres
(0.1), (1.0), (1.1), on reconnaît que le
signe représente le nombre des solutions de
(0.0) a + a' + lEEO
(0.1) a + /^+1^0
(1.0) ^_j_a+lEEO
(1.1) ^ + ^'+1^0
Il en ressort immédiatement
(0.1) = (1.0),
une seconde relation entre les nombres du schéma S est fournie par
la considération suivante. A chaque nombre ^ du groupe B corres-
pond , dans ce même groupe , un nombre déterminé unique /S", tel
qu'on a
^/S" = l (modp),
et en outre, /5' /9" est alors congru à un nombre a du groupe A.
La multiplication de la congruence
^-f-^' + l^O
par ^" donne donc
l-)-a + r-0,
et en multipliant cette dernière congruence par fi on retrouve la
première. De là se déduit immédiatement (1.1) = (0.l), de sorte que
le schéma S a la forme
hj
j h
Or , dans le groupe A se trouve le nombre p — 1 , et par consé-
quent dans A' le nombre p, qui n'entre ni dans A ni dans B. Mais
tous les autres nombres de A' et de B' font partie soit de A, soit de B.
Il en résulte
2i = ^--^,
216 LA THÉORIE DES RÉSIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES.
donc
''=-4-' J--Ï--
La congruence identique
y-i
{x — fi){x — fi'){x — fi"),.. = x^ +1 (modp)
, . ^ • P — 1
donne maintenant pour x = — 1, puisque — ^ — est pair,
(/? + 1) (fi' + 1) (/5" + 1) . . . - 2 (mod p).
Le nombre des non-résidus parmi les nombres ^-^1, (i' -\-l, fi"-\-l,.
Si donc j est pair , ou
2 est résidu quadratique de p.
Si, au contraire j est impair, ou
p = Sn -\-b,
2 est non-résidu de p.
3. Pour p = 4:n-\-3 le nombre — 1 est non-résidu , et le groupe B
est identique au groupe des nombres p — a, p — a', p — a", . . .
Le signe (0.0) représente alors le nombre des solutions de la con-
gruence a-|-l^a' {modp) ou aussi, puisque a'=p — /5, le nombre
des solutions de a-\- ^ -\- IeeeO.
On voit ainsi que le
signe représente le nombre des solutions de
(0.0) a 4- ^ _|_ 1 _ 0
(0.1) a + a'-i-l-^O (modp),
(1.0) ^ + ^' + 1^0
(1.1) ^4.a+lEE0
de sorte que (0.0) = (1.1). Si, en outre, on a de nouveau ^^"e^I,
p' |8" = a , la congruence )5 -)- /5' -|- 1 = 0 , étant multipliée par /?", donne
1-fa-fr^O,
LA THP'ORIE DES RÉSIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES. 217
d'où résulte, d'une manière analogue à celle indiquée dans le cas
précédent, la relation (1.0)^(0.0). Le schéma S a donc pourp = 4n-|-3
la forme
hj
h h.
Comme le nombre p — 1 entre dans le groupe B, et par conséquent
p dans B', mais que d'ailleurs tous les autres nombres de A' et de
B' entrent soit dans A, soit dans B, on trouve
donc
Dans la congruence identique
p-i
{x — a){x — a'){x — a")...=x ^ — 1 (mod p)
il résulte pour x= — l, vu que » est impair,
(a -h 1) (a' + 1) (a" + 1) . . . L . 2 (mod p) ,
et le nombre des non-résidus, parmi les nombres a -{- 1, a' ■{-!, a"-\-ij...,
est (0.1) =J = P±^.
Si l'on a donc j pair , ou
2 est résidu quadratique de p.
Si, au contraire, j est impair, ou
p = 8n4-3,
2 est non-résidu de p.
Ayant ainsi déterminé le caractère de 2 comme résidu quadratique
ou non-résidu, par rapport à un nombre premier impair quelconque,
je vais établir le théorème correspondant dans la théorie des
218 LA THÉORIE DES RÉSIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES.
RÉSIDUS BIQUADRATIQUES.
4. Le nombre premier impair (c'est-à-dire non divisible par 1 -\- i)
m^=a-\-bi sera toujours supposé primaire, ce mot étant pris dans
l'acception qui lui est donnée par Gauss, de sorte qne a — 1 et 6,
suivant le module 4, soient ou bien tous les deux e^O, ou bien tous
les deux ^ 2.
On sait que, dans la théorie des nombres complexes entiers de
la forme a-\-bi, les nombres premiers se composent:
premièrement, des nombres premiers réels g de la forme 4r-}-3,
nombres qui doivent être pris négativement pour être primaires;
secondement, des facteurs premiers complexes des nombres pre-
miers réels de la forme 4 w -f 1. Ces nombres premiers complexes
sont de la forme a-\-bi, où b n'est pas égal à zéro, et deviennent
primaires lorsqu'on les multiplie par l'une des quatres unités 1, i,
— 1, — -i, convenablement choisie. Ils peuvent à leur tour être dis-
tingués en deux espèces , suivant que , lorsque a-\-bi est primaire ,
a — 1 et b sont tous les deux divisibles par 4 , ou tous les deux le
double d'un nombre impair.
D'après cela, je partage les nombres premiers primaires en ces
trois classes:
I Les nombres premiers réels q de la forme 4r-j-3, pris néga-
tivement.
IL Les nombres premiers complexes de la forme 4:r -\- 1 -{- 4:si
III. Les nombres premiers complexes de la forme 4r-|-3 + (4s4-2)i.
Le nombre premier (dans la théorie complexe) sera toujours dé-
signé ici par M, la norme de M par ju. En outre, p représentera
toujours un nombre premier réel (positif) de la forme ir -\-l, q un
nombre premier réel (positif) de la forme 4 r + 3. Pour les nombres
premiers de la première espèce, on a donc M = — g, /^ = g^ pour
ceux de la deuxième et de la troisième espèce /J' = p-
Je remarquerai encore que pour les deux espèces I et II la norme
ju est de la forme 8r-(-l, et pour III de la forme 8r-^-5. Cette
circonstance fait que les deux premières espèces de nombres pre-
miers peuvent, jusqu'à un certain point, être traitées conjointement.
LA THEORIE DES RÉSIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES. 219
Les considérations du numéro suivant 5, s'appliquent encore, à
titre égal, aux trois classes de nombres premiers.
5. Soient donc M le nombre premier, /jl la norme. Un système
complet de nombres incongrus et non divisibles par le module se
compose de yu — 1 nombres qui, suivant leur caractère biquadratique
par rapport à M, peuvent être distribués en quatre classes, com-
prenant chacune . nombres
A
a, a',
a
B
^, P\
^'
C
y. y\
y'
D
à, à\
(5'
Dans la première classe A sont rangés tous les nombres a, a', a"
à caractère biquadratique 0, dans les groupes B, C, D les nombres
à caractère biquadratique 1, 2, 3.
Disons encore, par surcroît, que le caractère biquadratique est
pris ici dans le sens adopté par Gauss, de sorte que les nombres
des quatre classes sont caractérisés par les congruences
M — 1 >« — 1 Mj-^ M- 1
a 4 eéeI, ^ * =t, y * r£E — 1, à * - — i (mod M).
Pour plus de commodité, je me servirai toutefois aussi du symbole
introduit par Jacobi, et pourrai donc écrire
((ï))=M(a='- ((!))=- M(a=-'-
Notons enfin, une fois pour toutes, que dans la suite toutes les
congruences auront rapport au module premier M, tant qu'un autre
module ne sera pas expressément indiqué.
Je donne ici un exemple de la distribution des résidus (mod M), à
l'exception du résidu 0, dans les quatre classes A, B, C, D, pour
chacune des trois espèces de nombre premiers qui ont été distin-
guées dans le n*^ 4.
M = — 7, yu = 49.
Al, -2, —3, —1, 2, 3,
3i, i, — 2i, — 3î, — i, 2».
LA THEORIE DES RESIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES.
B
D
l-2i, -
-l + 3i,
-2 — Si,
2+ î-,
-3- 2,
3 — 22,
-1+22,
1-32,
2 + 32,
— 2 - 2,
3+ 2,
— 3 + 22.
-3 + 3i, -
— 2~2i, -
-1+ i,
-S — Si,
2 — 22,
-1- 2,
3 — 3 2,
2 + 22,
1- 2,
3 + 32,
-2 + 22,
1+ 2.
3 + 2i,
1 + 21, -
l + 3z,
-2 + 3t,
-2+ 2,
-3+ 2,
— 3 — 2 2,
-1+22,
-1-32,
2-32,
2- 2,
3— 2.
M = -
■3 — 82,
/i = 73.
1,
3 + 2 z,
-1-4Z, -
-3î, -
l + 2î, -
-4,
-1 — 3 2,
-2,
-3 + 42,
— 1,
— 3 — 2 2,
1 + 42,
3 2,
-1-22,
4,
1 + 32,
2,
3-42.
1-2/,
-1- i, -
2 + Si,
5 + 22,
-3 + 32,
1-32,
1-42-
— 2 + 42,
2 + 22,
— 1 + 22,
1+ h
— 2 — 3 2,
— 5 — 2 2,
3-32,
-1 + 32,
-1 + 42,
2-42,
— 2 — 2 2.
4z,
-3+ U
2 2, -
4 + 32,
i,
-2 + 32,
4- 2,
3,
-2+ 2,
-42,
3- 2,
-22,
— 4 — 32,
— 2,
2-32,
-4+2.
-3,
2—2.
-3- i,
-4- i,
4 + 2î,
2 — 22,
2+ 2,
1- 2,
-3 + 22,
-2 + 52,
— 3 — 32,
3+ 2.
4+ 2,
-4-22,
-2 + 22,
-2- 2,
-1+ ^•,
3 — 2 2,
2 — 52,
3 + 32.
M =
-5 + 62,
;U = 61
.
1.
-4,
~l-4z,
-3,
1 +
2 +
i,
h
2+ 2,
3 + 22, -
2 2, -
1 + 32,
-3- 2,
-5,
-2 + 22,
3-22,
4+ 2.
1- i,
l-2i,
l + 2i,
2 —
2,
3-
3 2, —
1 + 32, -
5 2,
2 + 22,
-2 — 32,
1-42,
— h
4i,
-4+ 2,
3 2.
-2i,
- 1 - 3 i,
3+ i,
5,
2 —
-3 +
22, -
•22,
4- 2,
1,
4,
1 + 42,
3,
-1— 2,
-2-2,
2- 2,
- 3 - 2 2.
— 2 — 2 i,
2 + 3i,
-1 + ii,
4 —
4 2, -
h —
-32, -
1+2, -
1 + 22, -
-1-22,
-2 + 32,
-2,
-3+ 2,
1 — 3 2,
— 5 2.
LA THEORIE DES RESIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES.
221
De même qu'au n^ 1 , on se convainc immédiatement de l'identité
des congruences suivantes
{x — a){x — a') {x — a")
{x-^){x-ni^-n
{x —y){x — y') {x — y") '
{x — ô){x — ô'){x — ô").
n-i
X * — 1
X * —i
X ' -\-l
(mod M) ,
+ t
d'où il suit pour a; = — 1 , en distinguant les cas /^ = 8 n -|- 1 et
/^ = 8 n 4- 5
^ = 8w + l (^ + l)(^' + l);(r + l)
(y + 1)(/ + 1) (/' + !)
(5 + l)(^' + l)(^"4-l)
^ = 8n-f 5 (a + l)(a' + l)K' + l)
. . . = 1 - z
...ee2
...EEl + Z
...eee2
...EEEl+i
... - 1 - i
(mod M).
6. Considérons maintenant les nouveaux groupes de nombres
A', B', C et D' qui résultent de l'addition de l'unité aux nombres
de A, B, C et D
A' a + 1, a' + l, a" + l,
B' A+1, A' + l, r + 1,
C 7 + 1, 7'+l. /' + 1,
B' a + 1, (5' + l, <5" + l,
désignons le nombre des nombres de A' qui sont congrus à des
nombres de A, B, C, D respectivement par
(0.0), (0.1), (0.2), (0.3);
et le nombre des nombres de B' qui sont congrus à des nombres
de A, B, C, D respectivement par
(1.0), (1.1), (1.2), (1.3).
De même, les nombres
(2.0), (2.1), (2.2), (2.3)
auront rapport au groupe C, et
(3.0), (3.1), (3.2), (3.3)
au groupe D'.
= -
-7,
/* = 49.
M =
— 3-
5
2
2 2
5 6
2
2
4 4
6 2
2
4
2 4
4 5
2
4
4 2
2 5
222 LA THÉORIE DES RÉSIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES.
Ces 16 nombres (0.0), (0.1), etc peuvent être tous réunis dans le
tableau quadratique S suivant
(0.0) (0.1) (0.2) (0.3)
(I.O) (1.1) (1.2) (1.3)
(2.0) (2.1) (2.2) (2.3)
(3.0) (3.1) (3.2) (3.3)
et pour les exemples donnés au n^ 5, j'obtiens
8i, //=i=73. M= — 5 -f 6z, /i = 6l.
4 2 4 3 2 6
5 5 3 3 6 3
4 5 4 3 4 3
5 6 3 6 3 3
D'après les congruences du numéro précédent, on a
pour iu = Sn-{- l
et pour iu = 8n-\-6
(ys+i)(;5' + i)(r + i)...-i + i
Or , le nombres des nombres de
(5 4- 1 , r5' + 1 , 5" + 1, . . .
qui appartiennent respectivement aux classes A, B, C, D, étant (3.0),
(3.1), (3.2), (3.3), il s'ensuit immédiatement que pour /i = 8 « -f 1 ^^
caractère biquadratique de 1 + *, suivant le module 4, sera congru à
(3.1) + 2 (3.2) + 3 (3.3)
et de même , dans le cas de ju = 8n -\- 6, congru à
(1.1)4-2(1.2)4-3(1.3).
Dès que les nombres (0.0), (0.1), ... seront déterminés, le carac-
tère biquadratique de 1 4" ^ sera donc aussi immédiatement connu.
Il s'agit donc, étant donné le nombre premier primaire M. = a-}-bi,
d'en déduire directement les nombres du tableau S. Les considéra-
tions nécessaires à cet effet sont essentiellement les mêmes que celles
développées par Gauss dans les art. 16 — 20 de la Theoria residu-
orum biquadraticorum commentatio prima.
LA THÉORIE DES RÉSIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES. 223
Gauss traite , dans ce mémoire , de la théorie des nombres réels,
mais il est facile de voir que ce qu'il y donne est dans un étroit
rapport avec la question dont nous nous occupons en ce moment.
Pour avoir sous les yeux le développement complet, il sera né-
cessaire de reproduire ici l'argumentation de Gauss , avec les légères
modifications réclamées par la différence des sujets.
Il faut remarquer, à cet égard, que pour un nombre premier
M ^ — q appartenant à la première classe du n^ 4, il n'existe, dans la
théorie réelle de Gauss, rien d'analogue à ce qui sera exposé ici
dans la théorie des nombres complexes entiers.
Pour ce qui va suivre, il est nécessaire de traiter séparément le
cas où la norme fx est de la forme Sn-\- \ et celui où elle est de
la forme 8 w -|- 5. Je commence par le premier dans lequel le nombre
premier M appartient donc à l'une des deux premières classes du
nO 4.
7. Pour /i =: 8 w + 1 , on a (— 1) * = 4" 1 > «^^ sorte que — 1 est
résidu biquadratique de M et fait partie de la classe A, ou à pro-
prement parler, est congru suivant le module M à un nombre
de A. Mais , dans ce genre de considérations , il est permis , attendu
que les nombres congrus entre eux peuvent se remplacer , de les
regarder comme égaux , et pour la commodité je ferai usage de cette
observation, dont il ne pourra résulter aucune obscurité.
Le caractère biquadratique de — 1 étant donc égal à zéro , il s'en-
suit que lorsque a, ^, /, 6 appartiennent respectivement aux classes
A, B, C, D, les nombres — a, — ^, — 7, —à entrent aussi dans ces
mêmes classes, — a dans A, — ^ dans B, — 7 dans C et — <5 dans D.
Or, le nombre (0.0) est évidemment égal au nombre des solutions
de la congruence
a -f- 1 = a' (mod M) ,
où a et a' sont à prendre arbitrairement dans le groupe A; mais,
comme à chaque nombre a' correspond un nombre a" = p — a', ce
nombre de solutions est le même que celui de la congruence
a -fa" + 1 = 0 (mod M),
où a et a" doivent également être pris dans A.
224 LA THÉORIE DES RÉSIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES.
En raisonnant exactement de la même manière au sujet des nom-
bres (0.1), (0.2), etc. , on trouve que le
signe représente le nombre des solutions de
(0.0) a -f a' -f 1 EE 0
(0.1) a + ;5+l = 0
(0.2) a-\-y 4- 1 =E 0
(0.3) a^ô + 1 EE 0
(1.0) ^4.a+lEE0
(1.1) ^ + ^'_|.1 = 0
(1.2) ^ + ^+l==0
(1.3) ^ + ^4-1^0
(2.0) , + a4-l:E:0 ^"'"^ ^^'
(2.1) ^ + ^+1 = 0
(2.2) j.4-/ + l^o
(2.3) 7 + 5 +1eeO
(3.0) d-l-a +1eeO
(3.1) a + ^+l~0
(3.2) ô-\-y +1ee:0
(3.3) ôi-ô' -\-1eeO
Il en résulte donc immédiatement ces six relations
(0.1) = (1.0), (0.2) = (2.0), (0.3) = (3.0).
(1.2) = (2.1), (1.3) = (3.1),
(2.3) = (3.2).
Cinq autres relations entre les nombres (0.0), (0.1), etc. s'obtiennent
par la considération suivante. Si a, ^, y sont des nombres de A, B,
C, et qu'on détermine x, y, z de telle sorte qu'on ait
ax^l, ^y^l, y z^l (mod M) ,
X appartient évidemment à la classe A,yàD,^àC,de sorte qu'on
peut écrire
aa'E^l, /?(5ee1, yy'^^1.
Si Ton multiplie maintenant, en considérant une solution déter-
minée de a-)-/S-}-l =0, cette congruence par ô, on obtient ô' -}-l-\-ô^O,
où ô'~ad appartient à D. Réciproquement ô' -}- 1 -{- ô zz^ 0 , multipliée
par /8, donne de nouveau a-\- (i -\-1^0. Il ressort de là que les deux
congruences
a + ^+lEEOet(5-f(5'-flEEO
ont le même nombre de solutions, ou (0.1) = (3.3).
LA THÉORIE DES RÉSIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES. 225
Exactement de la même manière, on a
/(/5 + 7 + l)^^'5 +1 +y',
d'où l'on conclut pareillement
(0.2) == (2.2), (0.3) = (1.1), (1.2) ==(1.3) = (2.3).
En tout, il existe donc onze relations entre les seize nombres du
schéma S, et ces nombres sont ainsi ramenés à cinq, différents entre
eux, qui seront désignés par h, j, k, l, m. Le schéma S prend alors
cette forme
h j k l
j l 7n m
k m k m
l m m j
8. Le nombre — 1 entre dans A, et correspond donc au nombre
0 de A'. Ce nombre 0 de A' ne se trouve dans aucune des classes
A, B, C, D, mais tout autre nombre de A' entre évidemment dans
l'un des groupes A , B , C ou D. Comme ^ = 8 w -f 1 > a '=2n, on
a donc
(0.0) + (0.1) + (0.2) -f (0.3) = 2 w — 1.
Tous les nombres de B', C, D' font partie d'une des classes A, B,
C, D, de sorte qu'on a
(1.0) + (1.1) + (1.2) + (1.8) = 2 7î,
(2.0) + (2. 1) + (2.2) + (2.3) = 2 w ,
(3.0) + (3.1) + (3.2) + (3.3) = 2n.
Ces quatre équations se réduisent aux trois relations suivantes
entre h, j, k, l et m
h-\-j-]-k-\-l = 2n — l,
j-{-l-{-2m = 2n,
A; + m = w.
9. Enfin, une nouvelle relation, non linéaire, entre h, j, k, l, m
15
226 LA THÉORIE DES RÉSIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES.
s'obtient encore par la considération du nombre des solutions de la
congruence
a-\-^-{-y-{-l = 0 (mod M) ,
où a, /?, y doivent être choisis de toutes les manières possibles dans
les classes A, B, C.
Si l'on prend d'abord pour a successivement tous les nombres de
A, il arrive respectivement h, j, k, l fois que a-f-l appartienne à
A, B, C, D, et le cas unique de a-f-1^0 peut être négligé, vu que
la congruence ^-\-y^:^Q n'admet aucune solution.
Pour chacune des h valeurs qui rendent a4-l^^«o« ^ ^^ ï doivent
alors être choisis de façon qu'on ait
Le nombre des solutions de cette congruence (pour une valeur
donnée de a^) est égal à w, comme on le reconnaît immédiatement en
la multipliant par a^ , ce qui la transforme , à cause de a^a^E^l (mod M),
en
Comme ce raisonnement est applicable à chacune des h valeurs
qui font que a -j- 1 appartient de nouveau à A , on obtient de cette
manière h m solutions de la congruence
l-fa + ^ + j^-O.
Il arrive ensuite j fois que a -\-l appartienne à B , et pour chaque
valeur déterminée a-}-l = ^^^ la congruence
^ + ^ + 7^0
a le même nombre de solutions que celle-ci
ce nombre est donc égal à j. Cela ressort immédiatement de
«5o(i5o + /S-f 7) = l + « + iS',
lorsque ^qÔq^I.
Ces valeurs de a, qui font appartenir a-\-l à B, donnent donc en
tout jj solutions de la congruence considérée.
Pour a-f l^^û» ^^ Q"^ arrive k fois, la congruence
LA THÉORIE DES RÉSIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES. 227
a l solutions, car
Les valeurs de a qui font appartenir a -f 1 à C fournissent donc
en tout kl solutions.
A-t-on enfin a-{-l = ÔQ, ce qui arrive l fois, alors la congruence
ào + ^ + Y^O
a , en raison de
m solutions, et ces valeurs de a donnent donc Im solutions.
Le nombre total des solutions de la congruence
« + /^ + / + 1^0 (mod M)
est donc
h m -{-jj -\- kl-\-lm.
Mais ce nombre peut encore être calculé d'une autre manière.
Si l'on prend pour fi successivement tous les nombres de B, il arrive
jj l, m^ m fois que /5+1 appartienne aux groupes A, B, C, D. Or,
pour chacun de ces quatre nombres, on trouve qu'il y a respecti-
vement k, wz, k, m solutions de la congruence donnée, de sorte que
le nombre total des solutions est
jk-}-lm-\-'mk-\-nim.
10. En égalant entre elles ces deux expressions du nombre des
solutions de a-f'/S + Z+l'^O» o" ^
0=:hm-\-jj-{-kl — j k — km — mm,
ou , si l'on élimine h à l'aide de la valeur h = 2m-^k — 1, qui
se déduit facilement des équations obtenues dans le n° 8 entre h, j^
A, l, w,
0 = {k — mf+jj-}'kl—jk — kk — m.
D'après les relations du n^ 8, on a
et cette valeur étant substituée dans jj -\-kl — jk — kk, cette exprès
sion devient égale à \{l — jf, de sorte que l'équation précédente,
après multiplication par 4, se transforme en
0 = 4 (A; — mf -f {l —jf — 4 ??i ;
228 LA THÉORIE DES RÉSIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES.
mais on a
4m = 2{k-\-m) — 2{k — m) = 2n — 2{k — m),
par conséquent
2n = iik — mf-\-2{k — m)-\-{l —jf,
ou bien
^ = 8w + l=[4(A;-?w) + l]2-[-4(^-j)2,
et, en posant
4 (A; — m) + 1 = A, 2{l —j) = B,
il vient donc
fx = A?-\- B2.
Dans cette équation on a A ^e 1 (mod 4) , et B pair.
Il est maintenant facile d'exprimer h, j, k, l, m en A et B, ce qui
donne
8h =4w — 3A — 5,
8j =4w + A — 2B — 1,
8A;=4w + A — 1,
81 =4w + A + 2B — 1,
8m = in — A + 1.
Jusqu'ici nous avons seulement supposé que la norme fi avait la
forme 8w-f-l; mais, pour la détermination ultérieure de A et B, il
faut maintenant traiter séparément les cas I et II du n*^ 4.
11. Soit donc, en premier lieu
M — — g = — (4 r + 3).
Dans ce cas, on a
lu = W- = q^
et par conséquent
g2^A2 + B2.
Le nombre q étant un nombre premier de la forme 4r-|-3, on
sait que q'^ ne peut être représenté que d une seule manière comme
la somme de deux carrés, savoir, en prenant + q pour la base du
carré impair, et pour la base de l'autre carré 0; effectivement, si
aucun des deux nombres A et B n'était égal à zéro ou divisible par
q, on pourrait déterminer un nombre a;, différent de zéro, dételle
sorte que
A a; = B (mod q).
Mais de q^ = A^-{-B^, il suit
A^EEE — B2 (modç)
LA THÉORIE DES RÉSIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES. 229
et aussi
A2.'c2:3B2 (modq),
par conséquent on aurait
o;'-^ = — 1 (mod q).
Or , cette dernière congruence est impossible , parce que — 1 est
non -résidu quadratique de q.
De q^ == A^ + B'^ il suit donc nécessairement
A = ±q, B = 0,
et comme Âr^l (mod 4), le signe de A se trouve complètement dé-
terminé et on a
A = — g = M.
A et B étant ainsi trouvés, on a finalement
8h r:=4w — 3M — 5,
8; =4w+ M — 1,
8ifc=:4w+ M — 1,
81 =4»+ M— 1,
8w = 4w— M-fl,
où 8W + 1=:M2.
Par ces formules, la dépendance entre les nombres du tableau
S et le nombre premier M est donc exprimée de la manière la plus
simple, dans le cas où M appartient à la première classe du n^ 4.
12. Si, en second lieu, on supposeM=:a-J-^^ où a— 1e^6 = 0 (mod 4)
et où la norme ^ = a- -j- 6'^ est un nombre premier réel , on a donc
^ = a2 + 62 = A2 + B2.
Or , un nombre premier de la forme 4 A; + 1 ne peut être repré-
senté que d'une seule manière par la somme de deux carrés, et
comme a et A sont tous les deux =£ 1 (mod 4), il s'ensuit A = a, B=:±6.
Le signe de B est déterminé par les considérations suivantes , qui
demandent la démonstration préalable de cette proposition auxiliaire:
Lorsque z parcourt un système complet de résidus (mod M), à l'ex-
ception du terme divisible par M, on a
^z^^ — l ou =0 (mod M),
suivant que t est divisible ou non par /x — l.
230 LA THÉORIE DES RÉSIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES.
La première partie de cette proposition est évidente , car si t est
divisible par ,w — 1 , on a s' ee 1 , donc ^z^iee^ fjt — Iee^ — 1 (mod M).
Pour démontrer aussi la seconde partie, soit g une racine primi-
tive pour le nombre premier M, de sorte que les valeurs parcourues
par z soient congrues à
Il en résulte
S;3« =1 +p< +^2< _j_ . . , _|_^(M-2)< (inod M),
ou
(1 — pO^^'ee:! — ^(''-D'eeO (mod M).
Or , si t n'est pas divisible par }i — 1 , 1 — g^ n'est pas divisible
par M, et on a par conséquent 'Lz^^Çi c. q. f. d.
Cette proposition auxiliaire est évidemment valable pour un nombre
premier M quelconque.
D'après le développement binomial, on a maintenant
(^^+1) ' =z 2 +.-- + 1,
d'où il suit , lorsque le signe S se rapporte aux mêmes valeurs de
z que tout à l'heure,
^{z'^l) 4 =_1 (modM).
Mais, d'un autre côté, les nombres s-, dans leur ensemble, for-
ment évidemment tous les nombres des groupes A et C, chacun de
ces nombres étant pris deux fois. Des nombres
^2 + 1
il y en a donc
2 (0.0) + 2 (2.0) qui appartiennent à A ,
2(0.1)4-2(2.1) „ „ „ B,
2(0.2)4-2(2.2) „ „ „ C,
2(0.3)4-2(2.3) „ „ „ D,
et comme les puissances — j— des nombres de A, B, C, D sont
respectivement congrues à 1, z, — 1, — i, on a donc
^{z^-\-l)~^EEE 2 [(0.0) 4- (2.0) -(0.2) -(2.2)] +
4-2n(0.1)4-(2.1)-(0.3)-(2.3)]
= 2 {h-k)^2i{j-l),
LA THÉORIE DKS RÉSIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES. * 231
OU, en introduisant les valeurs du n^ 10 et remarquant que A = a,
g-l
De la comparaison avec le premier résultat ,
il suit
a -|- B î EEE 0 (mod M. = a-\-bi)^
donc
B = b.
Par là, les valeurs de h, j, k, l, m du n^ 10 se transforment fina-
lement en
Sh =4w~3a — 5,
Sj =4:n-\-a — 2b — l,
Sk =4:n-\-a — l,
81 =4n + a + 26 — 1,
8m^4w — a -{-If
où 8 w -(- 1 = a^ -j- 6'^ est donc la norme du nombre premier M.
13. Après avoir traité les deux cas dans lesquels /^ = 8 w -f- 1 1 il
faut maintenant considérer le cas /x = 8n-\-6.
Puisque ^—^ — est alors impair, —1 appartient au groupe C, et,
comme il est facile de le voir, les nombres
p — a,p — a', p — a",...
appartiennent tous à C, tandis que
appartiennent tous à D.
Moyennant ces remarques, on reconnaît sans peine que le
signe représente le nombre des solutions de
(0.0) a-^y +1-0
(0.1) a + ^ + 1 - 0
(0.2) a + a' + lEEEO
(0.3) «4-/^+1^0
(1.0) ^î + y+i^O ^ ^'
(1.1) ^ + a+i = o
(1.2) ^ + a+n:0
(1.3) ^ + ^'+1^0
232 * LA THÉORIE DES RÉSIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES.
(2.0)
y-\-y'-{-l=0
(2.1)
y^S +1eeO
(2.2)
y^a +1=0
(2.3)
7 + ^ +1=0
(3.0)
ô-^y +1eeO
(3.1)
^ + ^'+1=0
(3.2)
ô-\-a +1-0
(3.3)
^ + ^ +1 = 0,
d'où découlent les six relations
(modM),
(0.0) = (2.2), (0.1) == (3.2), (0.3) = (1.2),
(1.0) = (2.3), (1.1) = (3.3),
(2.1) = (3.0).
Comme, de même que précédemment, aa'~^ô^yy'^l, on a
/(a + 7 + l)F£/' + l +7',
(i (a + a + l)EE/?' +1 +^,
ôia-\-^i.l)EEÔ' +1 +0,
à{^ + yi-l)EEl +^' + a,
/(^+/ + 1)^^ +1 +/,
d'oi^i l'on conclut
(0.0) = (2.0), (0.1) = 1.3), (0.3) = (3.1),
(1.0) = (1.1) = (2.1).
Par suite de ces onze relations, le schéma S prend cette forme
h j k l
m m l j
h m h m
m l j m.
Comme — 1 entre dans le groupe C, donc 0 dans C, on trouve
exactement de la même manière qu'au n^ 8
2m + Z+j= 2w + l,
/î + m = n.
Enfin , la considération du nombre des solutions de la congruence
«4-/^ + 7 + 1-0
fournit encore une relation entre h, j, k, l, m. Si l'on prend d'abord
pour a toutes les valeurs qui appartiennent à A, il arrive respecti-
LA THÉORIE DES RÉSIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES. 233
vemeiit /î, i, k, l fois que a -f" 1 appartient aux groupes A, B, C, D.
On trouve en outre, de la même manière qu'au n^ 9, que pour
chacun de ces cas la congruence a respectivement m, l, j, m solu-
tions, de sorte que le nombre total des solutions est
hm -\-jl-{-kj -\-lm.
Prend-on, au contraire, d'abord pour /5 toutes les valeurs B, alors
il arrive respectivement m, m, l, j fois que /? + 1 appartient aux
groupes A, B, C, D. Pour chacun de ces cas, on trouve alors que
la congruence a respectivement h, m, h, m solutions, ce qui donne
pour le nombre total des solutions
mh-}-mm -{-lh-{-jm.
14. Egalons maintenant entre elles les deux expressions trouvées
pour le nombre des solutions de la congruence
« + /^ + >' + l-=0 (modM);
il vient
0=zm^ -{-lh-\-jm—jl — kj — lm,'
ou, à cause de la valeur k = 2m — h, qui résulte immédiatement
des relations linéaires établies entre h,j, k, l, m au n° 13,
0 = m^ -{- Ih -\- hj — jl — jm — Im.
A l'aide dej-\-l=:l-\-2h, on peut exprimer j et l en fonction de
leur différence, ce qui donne
2j=l-{.2h^(j-l),
2l = l-\-2h-(j-l),
et par l'introduction de ces valeurs dans l'équation précédente, celle-ci
se transforme en
0 = 4m2 — 4m — 1 + 4/i" — 8/zm + (; — /)%
ou , à cause de
im = 2{h i- m) — 2{h — m) = 2n — 2{h — m) ,
en
0 = i{h — mf — 2n -\- 2{h — m) — 1 -\- U — If
et finalement en '
^ = 8w + 5 = [4(/i- m) + 1]2 + 40'- 0^;
234 LA THÉORIE DES RÉSIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES.
pour
A = i{h — m) + l, B = 2j—2l,
on a donc
^ = A2 + B2.
Au moyen de A et B il est maintenant facile d'exprimer h, j, k,
ly m, de la manière suivante
8h =4w + A — 1,
8j =éw-i-A + 2B — 3,
8k =4w — 3A4-3,
81 =:4w + A — 2B4-3,
8m = 4w — A + 1.
Reste encore à déterminer A et B. Or ju, nombre premier réel
de la forme in-\- 1, ne peut être représenté que d'une seule manière
par la somme de deux carrés, et comme
¥. = a-\-bi
on a
f^ = a^ + b^
où
a = — l, 6 = 2 (mod 4).
De là résulte donc
A = — a et B = ±b.
Le signe de B s'obtient par une considération analogue à celle
du n^ 12.
On trouve aisément
2(^2 _|_ 1)4 =_i = 2(h — k)-{-2iU — l) rmodM).
Or
2{h-k) = A — l, 2(j — 0 = B,
donc
— 1 = A — 1 + Bi,
OeeeA + Bz (mod m = a 4- 60-
Puisqu'on a déjà trouvé A=: — a, il s'ensuit B = — b, de sorte
qu'on a finalement
8 h =4: 71 — a — 1,
8j =4w — a — 26 + 3,
8A; =:4w + 3a + 3,
81 =4w — a + 26 + 3,
8m = 4w4-a + l-
LA THÉORIE DES RÉSIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATTQUES. 235
15. En rapprochant les résultats obtenus, on voit que pour
^ = 8 M -j- 1 le schéma S est de la forme
h
j
k
l
;
i
m
m
h
m
k
m
i
m
m
J
Ainsi on trouve
8/1 =4w — 3M — 5,
pour M.=: — q Sj = 8k = Sl =4n + M — 1,
8w = 4w — M + 1;
8h =in — Sa — 6,
8j =4w-f a -26 — 1,
pour M = a-\-bi 8/i;^4w-J-a — 1,
81 =:4w + a + 26 — 1,
8m = 4w — a-j- 1.
Pour iu = 8n-\-b, M. = a-\-bi, le schéma S a la forme
de sorte qu'on a
h j
k l
m m
l J
h m
h m
m l
j m
8h
= in —
a-1,
8j
= in —
a — 26 + 3,
8A;
= 4w + 3a + 3,
81
= 4n —
a-l-26 + 3,
8m
= in +
a + 1.
Ainsi qu'il ressort de ces formules, le changement de 6 en — b
correspond à une permutation de j et /, tant dans le cas de ^=:8w-|-l,
que lorsque /u = 8n-\-b.
D'après les congruences du n^ 5 , on a , dans le cas /* = 8 m -f- 1 ,
pour le caractère de 1 -f i suivant le module 4
(3.1) + 2 (3.2) + 3 (3.3) = 3m + 3jee — m —j,
et pour celui de 1 — i
(1.1) + 2 (1.2) + 3 (1.3) = l-\-bm = l-\-m,
236 LA THÉORIE DES RÉSIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES.
donc, pour M = — q, il suit
Caractère (i + i) = — w = - i^ ,
o
Caractère (1_2)=e n— ^^~^ .
8
Qj.^ — V — et — - — sont des nombres entiers consécutifs; leur pro-
duit est donc pair et q est divisible par 4, de sorte
qu'on a
8 "~ 8 8 4 '
par conséquent
(m)-'-- (M=
et, vu que — 1 est résidu biquadratique ,
= »: 4
M ;/ ' \V M
tandis que, de 2 = (l —i) {l -{-i), il suit encore
2\\ //— 2
l))=((^))--
Pour 'M. = a-\- bi, au contraire, on a
— m— j= — W + I&,
^-f-m= M + iô
et
«2 1 ^2 _ 1
Mais évidemment — j — • — j— est pair, et par conséquent
(a— l)(a + 8) ,. . ... . 1. s -,
^— — ^ — - est divisible par 4, d ou il suit
— 5 — ^ r-' — (mod 4);
LA THÉORIE DES RÉSIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES. 237
en outre, b étant divisible par 4, l'un des nombres 6, 6 ±4 est di-
visible par 8; -^-^ — ^ est donc divisible par 4 et on a
de sorte que
et finalement
6'2_62 6(6 + 4)_ ,
'¥^~8 8 -±^^'
n = {{—a + l±2b) (mod4)
a+l-b
(m)=((=^))-<
(W)=((=^*))='=^
Lorsque, enfin, /^ = 8w + 5, M. = a-\-bi, on a
Caractère (1 + 2)-(l • 1) + 2(1 . 2) + 3(1 . 3) = w + 2^ + 3i (mod4),
Caractère (1 - i) eee (3 . 1) + 2 (3 . 2) + 3 (3 . 3) = ^ + 2; -f 3 m (mod 4).
où , toutes les congruences ayant rapport au module 4 , on a
m + 2i + 3j = 3wH-i(— 2a — 6 + 8),
l^2j-\-Sm = Sn-\-i{—bi-6)^ — n + ii—b-\-6),
a2 + 62_5
n= g ;
le produit "^ . ^ étant pair, («^=^±1^ est divisible par 4 ,
j (6 — 2)(6 + 2) ,
et il en est de môme de ^ ; donc
a2^^2_5 (a-3)(a + l)_6^^_,^,^l)
de sorte qu'on obtient finalement
w-f2/ + 3izEi(a — 6+ll)=i(a — 6 — 5),
/ + 2.; + 8 m Ez: i (— a — 6 4- 5) ,
par suite
a — b — 5 II 1 .• \\ -0-6 + 5
^mif^-^- {{\-m-
288 LA THÉORIE DES RÉSIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES.
et, le caractère de — 1 étant égal à deux, on trouve
a + bill~ ' Ua + 6»
L^A\ ^ r^ (i^i+iw ^ ,-"^-'
Par là se trouve déterminé, dans chaque cas, le caractère bi-
quadratique de 1 -|- i> ainsi que celui de 1 — i, — 1 — i, — 1 -f- i, par
rapport à un nombre premier primaire. Les résultats concordent
entièrement avec ceux donnés par Gauss dans les art. 63, 64 de la
Theoria residuorum biquadraticorum commentatio secunda et démon-
trés par lui , d'une manière tout à fait différente , dans les art. 68—76.
16. Relativement à l'analogie qui existe entre une grande partie
des considérations précédentes et celles que Gauss a développées
dans les art. 8 et suiv. de son premier mémoire sur la théorie des
résidus biquadratiques , il y a à faire les remarques suivantes :
Gauss considère des nombres réels; le module premier p est de
la forme 4 w -j- 1 , et il faut distinguer les deux cas p = 8 w + 1 ,
p = 8n-{- d; p a donc la même signification que la norme fj, dans
les cas II et III de notre n^ 4.
Les nombres 1,2, 3, ...,p— 1 sont partagés par Gauss en 4 clas-
ses A, B, C, D. Les nombres de ces classes étant représentés par
a, /5, y, ô, cette classification est fondée sur les congruences
a * =1
M-l
,.-1 {moôfi=p),
y ^ =-\
ô ^ =-f
OÙ p^£—l (mod p) , et pour /u = a^ -\-b^
aEEEl (mod 4), a-\-bf^EE^O (tnodp).
Pour p = ju = 8n-\-l,aetb ont la même signification que ci-dessus;
pour p = 8n-{-b, a et b, chez Gauss, ne diffèrent que par le signe
LA THEORIE DES RESIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES. 239
des valeurs qu'ils ont dans ce qui précède, où M. = a -{-bi est un
nombre premier complexe primaire.
Lorsque, toutefois, on admet aussi des nombres complexes, il
est clair que les congruences ci-dessus , qui sont relatives au mo-
dule p = ju, restent valables pour le module a-\-bi, de sorte qu'on
a aussi a-{-b f ^ 0 (raod a-\-bi), d'où résulte f^^i (tnod a-\-bi), et par
conséquent
A*-! ;x-l /i-1 f* — 1
La classification de Gauss est donc identique à celle établie sui-
vant le caractère biquadratique 0, 1, 2, 3 par rapport au module
a-\-bi.
Effectivement , les nombres réels 1, 2, 3, ..., 'p — 1 forment pour
le module a-\-bi un système complet de résidus incongrus entre eux,
non divisibles par le module.
Aussi, en remplaçant dans les deux derniers exemples du n" 5
les résidus complexes par les nombres réels congrus , ce qui se fait
sans peine à l'aide de zee:27 (mod--3 — 8î) et x=\\ (mod — 5 + 6 i) ,
on obtient
(mod — 3 — 8z), ^ = 73,
A 1, 2, 4, 8, 9, 16, 18, 32, 36, 37, 41, 55, 57, 64, 65, 69, 71, 72.
B 5, 7, 10, 14, 17, 20, 28, 33. 34, 39, 40, 45, 53, 56, 59, 63, 66, 68.
C 3, 6, 12, 19, 23, 24, 25, 27, 35, 38, 46, 48, 49, 50, 54, 61, 67, 70.
D 11, 13, 15, 21, 22, 26, 29, 30, 31, 42, 43, 44, 47, 51, 52, 58, 60, 62.
m
(mod — 5 + 6z), /i=:61,
A 1, 9, 12, ]3, 15, 16, 20, 22, 25, 34, 42, 47, 56, 57, 58.
B 2, 7, 18, 23, 24, 26, 30, 32, 33, 40, 44, 50, 51, 53, 55.
C 3, 4, 5, 14, 19, 27, 36, 39, 41, 45, 46, 48, 49, 52, 60.
D 6, 8, 10, 11, 17, 21, 28, 29, 31, 35, 37, 38, 43, 54, 59,
en accord parfait avec les exemples donnés par Gauss dans l'art 11
de son premier mémoire.
Le cas I de notre n^ 4 est le seul pour lequel il n'existe rien
d'analogue dans la théorie réelle de Gauss, ce qui tient à ce que
dans ce cas on ne peut pas former, avec des nombres réels, un
système complet de résidus.
240 LA THÉORIE DES RÉSIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES. '
L'observation que la division en quatre classes A, B, C, D, effec-
tuée par Gauss dans son premier mémoire, est identique à celle
faite d'après le caractère biquadratique par rapport au module a-j-bi,
fournit aussi le moyen de déduire immédiatement tous les théorèmes
que Gauss a trouvés par induction dans son second mémoire , art. 28,
mais dont, à ma connaissance, aucune démonstration n'a encore été
donnée jusqu'ici.
Ces théorèmes sont relatifs à la présence d'un nombre premier
réel m dans les quatre classes A, B, C, D, ou, d'après ce qui pré-
cède, au caractère biquadratique de m par rapport au module a-\-bi.
17. Je vais reproduire maintenant les remarques formulées par
Gauss dans l'art. 28. Le module premier p = fi étant supposé de
la forme 4 n + 1 , il s'agit maintenant , d'après ce qui a été dit au
n^ précédent, de déterminer la valeur du symbole
\\a-\-bil)'
où m est un nombre premier réel ; la circonstance que, pour jii=8n-{-5,
a et b ont chez Gauss un signe différent de celui des valeurs du
no 14, n'a aucune influence sur l'énoncé des théorèmes. Le nombre
premier m recevra un signe tel qu'il soit toujours ^1 (mod4), donc
le signe moins lorsque, pris positivement, il est de la forme
4A;-|-3 = Q; quant à un nombre premier positif de la forme 4A;-|- 1,
il sera représenté par P. Les remarques de Gauss peuvent alors
être exprimées de cette manière:
L Lorsque a =3 0 (modm), la valeur de II ■ r-M est -|- 1 ou — 1;
elle est égale à -}- 1 si w a la forme 8 r ± 1 , égale à — 1 si m a
la forme 8 r ± 3.
II. Lorsque a n'est pas divisible par m, la valeur du symbole
dépend uniquement du nombre complètement déterminé a;, qui sa-
tisfait à
b ^ax (mod m).
Pour w =: P, a; peut prendre ici les valeurs suivantes
0 12 3 P 1
LA THÉORIE DES RÉSIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES. 241
à l'exception des deux valeurs /" et P — /"qui satisfont à yy^^—1
(mod P). Ces deux valeurs ne peuvent évidemment pas se présenter,
car de b^i2ay il résulterait
52 ^ _ ^2 ou a^-\'b^=p = 0 (mod P),
c'est-à-dire que p devrait être divisible par P.
Pour iw = — Q, au contraire, x peut prendre toutes les valeurs
0, 1, 2, 3, .... Q-1.
Ces valeurs de x peuvent être réparties en 4 classes a, /S, y, <5, de
telle sorte que, pour
b^aa (mod m) la valeur du symbole soit = 1 ,
b^^a^ „ „ „ „ „ „ =î,
0 EH a y „ „ „ „ „ » = ^ 1
b = aô „ „ „ „ „ „ = — t,
ou, ce qui revient au même, que dans ces cas m appartienne res-
pectivement aux classes A, B, C, D.
Or, en ce qui concerne la quotité des nombres a, /5, y, ô, existe
cette règle : que 3 de ces quotités sont égales , tandis que la quatrième
est plus petite d'une unité; d'ailleurs, cette quatrième quotité est celle
des a lorsque, pour a:^0, m appartient à A, et celle des y lorsque
pour a^O, m appartient à C.
18. Soit donc , en premier lieu , m = — Q ; d'après la loi de réci-
procité, on a alors
et pour a 5E 0 (mod Q)
^ (t?y={(ï))=((a((a=^"^-
vu que ( ( Q II = 1 ; en effet , on a
((^))^6""*" (modQ)
et comme Q est de la forme 4r-|-3, donc — r — = (Q — 1)- ^
un multiple de Q — 1, il suit du théorème de Fermât
m)=-
16
242 LA THÉORIE DES RÉSIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES.
Pour Q = 8 w -|- 3 on trouve maintenant :
pour Q = 8w-|-7
(C-^))=+>-
Lorsque , au contraire , on a m = P = (A -f- B i) (A — B z) ou A -f- B i
et A — Bi sont les facteurs primaires de P , il suit de la loi de ré-
ciprocité
[[â^fFill "^ llx+'BÎ/J V\A — bJ)
et pour a = 0 (mod P)
\\aî^ill~\\A-\-Bi)l \\A — Bill ~\\A-\- Bill \\Â^^7/ UA + Bîj/*
Or, en général, comme l'on sait,
donc
p-i
((^.-))=((x?V.))=<-^)--
+ 6i"//~\\A +
ou , pour P=:8w-f-l
et pour P = 8 n -f- 5
Ainsi se trouve complètement démontrée la proposition énoncée
au n^ précédent, sous I.
19. Supposons maintenant que a ne soit pas divisible par m, et
considérons d'abord le cas le plus simple
m = — q,.
on a donc alors
{{^)M'V^])
LA THÉORIE DES RÉSIDUS CUBIQUES ET ' BIQUADRATIQUES. 243
et pour b^ax (mod Q)
a cause de l'égalité (( q )) = 1 , déjà démontrée au n» précédent.
Du résultat obtenu
((^))=((H-))
il ressort déjà que la valeur du symbole à gauche dépend unique-
ment du nombre x, lequel peut prendre les Q valeurs
0, 1, 2, 3, ..., Q-].
Nous n'avons donc plus qu'à résoudre cette question: lorsque le
module Q est un nombre premier de la forme 4w-|-3, combien,
parmi les nombres
1, l + ^, 1-f 2i, l+3i l4.(Q_i)t,
y en a-t il qui appartiennent respectivement aux classes A, B, C, D?
A cet effet, je remarquerai, en premier lieu, qu'on peut prendre
comme système complet de résidus non divisibles par Q, les nombres
où a et )S parcourent les valeurs 0, 1, 2, 3, ..., Q — 1, à l'exception de
la combinaison 0 = 0, ^ = 0; et, en s'^cond lieu, que les nombres
1, 2, 3, ..., Q-1
appartiennent tous à A , de sorte que , lorsque le nombre
fait partie d'une certaine classe, celle-ci renferme également les
nombres
2(a'+^'i), 3(a'-f-/^'i), ..., (Q _ 1) («' -f- ^5' i)
qui, par l'omission de multiples de Q, peuvent tous être ramenés
à la forme a-\- ^i o\x a et (i sont plus petits que Q. Or, les résidus de
a\ 2a', 3a', ..., (Q — l)a',
sont, tant que a' n'est pas zéro , congrus dans un certain ordre,
suivant le module Q , aux nombres
1, 2, 3 Q-1.
244 LA THÉORIE DES RÉSIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES.
Dans le groupe des Q — 1 nombres
a' + ^'i, 2{a' + ^'i), ..., (Q-l)(a' + ^'i),
appartenant tous à la même classe , il y en a donc un qui est con-
gru à un des nombres
l-{.xi (rr = 0, 1, 2, .... Q — 1).
Or, la quotité des nombres de chaque classe,
4 ^- '- 4
est un multiple de Q — 1 , et les Q — 1 nombres sans partie réelle
*, 2i, Si, ..., (Q — l)t
appartiennent pour Q = 8n-{-7 à A, pour Q = 8w4-3 à C.
Puisque tous les nombres de chaque classe dont la partie réelle
n'est pas zéro peuvent être réunis , comme ci-dessus , en groupes de
Q — 1 nombres, de telle sorte que dans chaque groupe il y ait un
nombre à partie réelle égale à 1 , il en résulte que , pour Q = 8 w + 7 ,
il y a dans les classes A, B, C, D respectivement
Q-3 Q+1 Q+1 Q+1
4 ' 4 ' 4 ' 4
nombres l-\-xi.
Pour Q = 8 w -|- 3 , ces nombres sont
Q+1 Q+1 Q— 3 Q+1
4 ' 4 ' '4 ' 4 '
tandis que , d'après le n^ 18 , dans le cas a = 0 (mod Q) , pour Q = 8 w + 7,
et 8w + 3, Q appartenait respectivement aux classes A et C.
Tout ce qui se rapportait au cas m = — Q est donc maintenant
connu.
20. Pour m =: P = (A + B i) (A — B z) nous avons déjà trouvé
U^^+6l/) "^ \\A + Bi/) \\A-BiJI
et par conséquent, lorsque
b^^ax (mod P)
a-{.biJJ~\\k-\-Bil) il A — B il) \\A +
^_\\-((l±_^A\\ ((1±1±\\ ((^-^.)) ((x^^J
LA THEORIE DES RESIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES. 245
OU, puisque d'après une remarque déjà faite au n° 18 le produit des
deux derniers facteurs à droite est égal à 1,
\\â+ViJ) "^ l\A + B l)j IVA^ Bljj '
de là résulte que la valeur du symbole à gauche dépend uniquement
du nombre x, de sorte qu'il n'y a plus qu'à résoudre la question
suivante : pour combien de valeurs de 1 -\- xi l'expression
acquiert-elle respectivement les valeurs 1, i, — 1, —i? On doit
donner ici à x les valeurs
0, 1, 2, 3, ..., P-1
à l'exception des deux racines de y2 = — i (mod P).
Pour résoudre la question qui vient d'être posée , je considère un
système complet de résidus incongrus non divisibles par le module
A -j- B i , et je les rapporte , d'après leur caractère biquadratique ,
à 4 groupes A, B, C, D. Chacun de ces résidus est supposé choisi
de telle sorte que la partie réelle soit égale à 1, et que le facteur
de i soit plus petit que P.
Ces suppositions peuvent être représentées ainsi
(mod A + Bi), A2 + B2=P.
Classe A a=i-\-ai
B ^=i-\-bi
C y = l-\- ci
D ô = lî-di
Les nombres a, b, c, d, dans leur ensemble, concordent avec
0, 1, 2, 3, ..., (P-1),
sauf que la valeur/", qui est^ /, manque, vu que l-\-fi^^O{modA-^Bi).
En opérant de la même manière avec A — Bi, on voit aisément
que la classification sera
(mod A — B t) ,
A2 + B2 = p.
Classe A
l + (p-«)i
B
l-^{F-d)i
C
l + (P-c)i
D
l + (P-6)i
246 LA THÉORIE DKS RÉSIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES.
car on a simultanément
p-i
{\-\-xi) 4 — iP = (A4-Bi)(C4-D«),
p-i
(i — xi) 4 —i'sp=:{X — Bi){C-Di).
Ainsi, lorsque 1 -{-xi a, suivant le module A-\-Bi, le caractère^.
1 — rci=l-}-(P — oc)i a, suivant le module A — Bt, le caractère 3^.
21. Pour que
devienne égal à 1 , il faut , lorsque
(U + Bij)
+
a l'une des valeurs 1, i, — 1, — î, que
i^i-ï.))
prenne une des valeurs l, i, — 1, — i; ou, en ayant égard aux
deux divisions en classes: lorsque x appartient respectivement à
a, b, c, d, il faut que, simultanément, F — x appartienne aux nombres
a, b, c, d.
On peut donc dire que le nombre des valeurs de x pour lesquelles
on a
ii^m (i^^:i)=
+
est égal à la somme des nombres de solutions des congruences
a-{-a' = 0,
b-\-b' = 0,
c -\-c' = 0,
d + d' = 0,
par rapport au module F, ou , ce qui revient au même , par rapport
au module A -j- B i.
On remarquera que la valeur F — /", exclue pour a;, entre bien
dans a, b, c, d, mais ne peut néanmoins apparaître dans aucune des
congruences ci dessus , parce que cela exigerait que f se trouvât
également parmi les nombres a, b, c, d, ce qui n'est pas le cas.
LA THÉORIE DES RÉSIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES. 247
On a a=:l -{-ai, de sorte que les congruences en question, après
multiplication par i, deviennent
p l
Lorsque — a — appartient à la classe A, les congruences précé-
dentés, multipliées par — g—, se transforment en
a-t-a' -1-1=0
de sorte que la somme des nombres de solutions de ces congruences.
est égale au nombre des valeurs de x qui rendent
égal à l.
Mais on peut se convaincre immédiatement que ce résultat reste
P — 1 .
le même lorsque — ^ appartient aux classes B, C, D. Si, par exem-
P i . , p 1
pie , — g— appartient à B , il suit de a -|- a' eie 2 , en multipliant par —^ —
^ + ^' + 1=0,
et de ^ -{- fi' ^zs-- >' + 7' - ^ + ^' ^' 2, respectivement
j,-|_j,'^ 1_,,0, ^ + ô'+lz^O, a -[- a' + 1 EEE 0.
Si Ton désigne par <, m, v, ?<?, les nombres des valeurs de x qui rendent
((rq^)) ((l^l)) respectivement égal à 1, i, -1, -i, / est
donc la somme des nombres de solutions des congruences
a -[- a' 4- 1 ~ 0
a 4- (5' 4- 1:^0.
248 LA THÉORIE DES RÉSIDUS CUBIQUES P:T BIQUADRATIQUES.
Exactement de la même manière on trouve que u est la somme
des nombres de solutions des congruences
a-f ^+1 = 0,
y + /5+lEEE0,
tandis que, pour v et i^, on a à considérer les congruences
^4-^+1 = 0, ^^ ^ + ^4-1 = 0,
^ + /5 + li=£0, (5 + a+ IeeeO,
Dans le cas de P = 8w-f- 1 on a donc, d'après les n*^ 7, 8
^ =(0.0)H-(l.l)4-(2.2) + (3.3) = /i + / +k+j =2n-l,
u = (0.3) 4- (1.0) 4- (2.1) 4- (3.2) = 1 -\-j 4- m 4- m = 2 w,
V = (0.2) 4- (1.3) 4- (2.0) 4- (3.1) = k + m-\-k -\-m = 2n,
w={0.1) 4- (1.2) 4- (2.3) + (3.0) = j 4- m 4- m + / =2n,
et dans le cas de P = 8w + 5, d'après le n^ 13
t = (0.2) 4- (1.3) 4- (2.0) + (3.1) = k-{-j +h +1 =2w4-l,
u = (0.1) 4- (1.2) 4- (2.3) 4- (3.0) =j -^l +w4-m=2w4-l,
V = (0.0) -1- (1.1) 4- (2.2) 4- (3.3) = h-\-m-\-h -\-m=2n,
wj = (0.3) 4- (1.0) 4- (2.1) + (3.2) = Z -î-m + m-i-i =2^ + 1.
22. En récapitulant tout ce qui précède, on voit donc que les
caractères servant à reconnaître si un nombre premier réel appartient
aux classes A, B, C, D, lorsque le module P est de la forme 4 w 4" ^
et que a-]-bi est un facteur complexe primaire de P, se laissent ex-
primer de la manière suivante.
Le nombre premier P = 8 w 4" 1 appartient à
A pour aE^O, h^aa Nombre des a = 2 n — 1,
B 7, b=ap (modP). » » ^ = 2w,
C „ h^ay „ „ y = 2n,
D ^ b^Eiaô „ „ ô = 2n.
Le nombre premier P = 8 w 4" 5 appartient à
A pour bEE^aa Nombre des a = 2 w 4" 1 >
B „ b = a^ (modP). » » ^ = 2n4-l,
C „ b = ay, a = 0 „ „ y = 2n,
D „ b~aô „ „ ô = 2n + l.
LA THEORIE DES RÉSIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES. 249
Le nombre premier — Q = — (8 w -j- 3) appartient à
A pour b = aa Nombre des a = 2 w + 1 ,
B „ b^a^ (modQ). » » ^ = 2w-fl,
C „ b = ay, a~0 „ „ y = 2n,
D „ b = ad „ „ ô = 2n-^h
Le nombre premier — Q = — (8w-|-7) appartient à
A pour ô EZE a a , a e= 0 Nombre des a=:2n-\- i,
B r bEEEa^ (modQ). » » ^=2n-j-2,
C „ 6 = ay „ „ y = 2n-\-2,
D „ b^.ad „ „ ^=:2w + 2.
Je citerai encore les remarques suivantes de Gauss (art. 28) , dont
la démonstration , après tout ce qui précède , n'offre pas la moindre
difficulté.
1. Le nombre 0 appartient toujours aux a, et les nombres — a,
— /?, — ;', — ^, appartiennent (modm) respectivement aux a, d, y et /?.
2. Pour P=:8n+1, Q = 8w4-7, les valeurs de —, ^, —, -^
(modm) appartiennent respectivement aux a, «5, y^ P; et pour
P = 8w + 5, Q = 8w-f-3, ces valeurs appartiennent respectivement
aux y , fi , a , ô.
RÉSIDUS CUBIQUES.
23. En passant aux résidus cubiques , il est nécessaire de rappeler
quelques points de la théorie des nombres entiers de la forme a-\-bQ;
Q est ici une racine cubique complexe de l'unité, de sorte qu'on a
Dans cette théorie, comme on le sait, il existe au sujet de la
divisibilité des nombres, de leur décomposition en facteurs premiers,
de l'existence de racines primitives des nombres premiers , etc., des
théorèmes tout à fait analogues à ceux que présente la théorie
ordinaire des nombres réels; la grande majorité des recherches
contenues dans les quatre premières sections des Disquisitiones arith-
meticae peuvent être étendues, presque sans changement, à la théorie
des nombres entiers a-\-bQ.
250 LA THÉORIE DES RÉSIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES.
Le produit de deux nombres conjugués a-\-bQ, a-{-bQ^^
{a-\-bQ){a + bQ^) = a^ — ab + b^
s'appelle la norme du nombre a -{-bg et sera toujours indiqué par ju.
Le nombre 3 n'est pas un nombre premier dans cette théorie , car
Comme nombres premiers , outre 1 — q, se présentent dans cette
théorie :
premièrement les nombres premiers réels de la forme 3 n — 1 ; la
norme est alors =(Sn — If;
secondement les facteurs premiers complexes des nombres premiers
réels de la forme 3 w -j- !• Ce nombre premier réel est alors en
même temps la norme du facteur premier complexe. On a, par
exemple
7 = i2-^3Q){2-\-3Q^) = {2 + SQ){-l-'6Q).
Les nombres premiers 2-\-Sq, — 1 — 3^ ont tous les deux le
nombre 7 pour norme.
Dans chacun de ces deux cas la norme est donc de la forme 3A;-f- !•
Ensuite, il suffit de considérer des nombres premiers primaires,
ce mot étant pris ici dans la signification que lui donne Eisenstein
(Journal de Crelle, 27, p. 301). de sorte que a-{-bQ sera dit primaire
lorsque a -f 1 et 6 sont tous les deux divisibles par 3. Les nombres
premiers réels de la forme 3 w — 1 doivent donc être pris positifs
pour être primaires
Soit donc M un nombre premier primaire , fi la norme de la forme
3n-j-l- Un système complet de résidus incongrus, non divisibles
par le module M, se compose alors de ,u — 1 = 3 w nombres Ces nom-
bres peuvent être rapportés à 3 classes , comprenant chacune n nom-
bres, suivant que leur puissance — ô — est congrue, d'après le
module M, à 1, g ou q'^. Cette distribution peut être représentée
ainsi
A
«,
a',
a", . . .
B
^,
/S',
/5", . . .
C
7i
7',
y", . . .
LA THÉORIE DES RESIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES. 251
OÙ l'on a donc
M-l A»— 1 M — 1
Le caractère cubique des nombres a, a', a", ... est 0, celui des
nombres /5, /?', ... est 1, celui des nombres y, y', ... est 2.
Il sera d'ailleurs facile aussi de faire usage du symbole d'Eisenstein
et d'écrire par conséquent
«i_i r/j_„ [H_„2
m:J=^' [irJ"=^' m\='
Il s'agit maintenant, en premier lieu, de déterminer le caractère
cubique de 1 —p, ou la valeur du symbole \^ir
24. L'addition de l'unité à tous les nombres de A, B, C donne
naissance aux 3 groupes de nombres A', B', C
A' a + 1, a'-f 1, a" + l, ...
B' ^+1, ^' + 1, r + 1, ...
C y + 1, y' + l, y" + 1, ...
et je représente par (0.0), (0.1), (0.2) les quotités des nombres de A'
qui sont respectivement congrus à des nombres de A, B, C; par
(1.0), (l.l), (1.2) les quotités des nombres de B' qui sont respective-
ment congrus à des nombres de A, B, C; enfin par (2.0), (2.1), (2.2) les
quotités des nombres de C qui sont respectivement congrus à des
nombres de A, B, C.
Tous ces nombres peuvent être réunis dans le schéma S
(0,0) (0.1) (0.2)
(1.0) (1.1) (1.2)
(2.0) (2.1) (2.2)
et avec la détermination de ces nombres est aussi trouvé immédia-
tement le caractère cubique de 1 — q. Car les congruences mani-
festement identiques
M — 1
{X — a){x — a') {X — a") .. .^ex ^ — 1
ix — ^){x—^'){x—^")...~x 3 —Q (modM)
iX—Y){X—Y')iX — Y")..'=X 3 _ç2
262 LA THÉORIE DES RÉSIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES.
donnent pour x = —l, vu que — 0 — est pair (sauf pour M = 2, cas
qui doit être excepté)
(i5+l)(/5' + l)(r + l)...^l-? r^oHM.
(y + l)(/+l)(/'+l)...H.l-,^ ^™°^^^'
d'où il suit immédiatement
~ "^ _„ (1.1) +2 (1.2)
,(2.1) + 2(2.2)_
1 —
M J
25. Le nombre — 1 appartient, comme cube parfait, à la classe
A, et les nombres a et — a, ^ et — /?, y et — y entrent à la fois dans
les classes A, B, C.
A l'aide de cette remarque, il est facile de voir que
le signe représente le nombre des solutions de
(0.0) a 4- a' + 1=0
(0.1) a + zS+l-O
(0.2) a-\-y 4-1 = 0
(1.0) ^ + a+lEEEO
(1.1) ^_|-^'_|_i^o (modM),
(1.2) ^4.;,_f-i_=o
(2.0) ;;4.a+lEEE0
(2.1) y_f-^-fi^o.
(2.2) y+y' + l=0
de sorte qu'on a
(0.1) = (1.0), (0.2) = (2.0), (12) = (2.1).
Si xy=l (moci M) et que x appartienne à A, il est évident que y
appartient également à A; mais lorsque x appartient à B ou à C, ^
appartient respectivement à C ou à B, ce qu'on peut exprimer en
écrivant
aa' = l, ^y = l (modM).
De
y{a + ^-\-l)z^y' + l-{-y,
^(a4.y + l)^^' + l + ;5,
LA THÉORIE DES RÉSIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES. 253
on conclut aux relations
(0.1) = (2.2), (0 2) = (1.1),
de sorte que le schéma S a cette forme
h j k
j k l
k l j
Comme — 1 appartient à A, et par conséquent 0 à A', mais que,
sauf ce nombre 0 de A', tous les nombres de A', B', C sont congrus
à un nombre de A, B ou C, on a
h+j -\-k = n-l,
j +k + l =w.
Enfin , la considération du nombre des solutions de la congruence
a + ^ + Y + ^^0 (modM),
où a, ^, y doivent être choisis respectivement dans les classes A, B, C,
fournit encore une relation entre h, j, k, L En effet, si l'on prend
d'abord pour a les nombres de A, on obtient pour le nombre en
question
hl-^-jj + kk.
En prenant, au contraire, pour ^ successivement tous les nombres
de B, on trouve pour ce même nombre
jk + kl-\-lj
donc
0 = hl-^jj-\-kk-jk-kl — lj.
26. En éliminant h de cette dernière équation, à l'aide de h=l—l.
on a
0 = l{l—l)^jj-^kk—jk — kl — lj,
équation qui, multipliée par 4, prend, à cause de
{j-\.kf-\-s{j-kf = éUj + kk-jk),
la forme
o=ii^-ii-{.{j-\.kr-\-s(j-kf-ii{k+j),
ou bien, en ayant égard à l = n — {j-{-k) et en multipliant par 9
mn = S6l^-\-9{j-\-kf-{-27{j — kY-S6lU + k)-^S6{j-\-k);
en même temps on a
24n = 24(i + A:-f 0
254 LA THÉORIE DES RÉSIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES.
donc , par soustraction ,
12w = 36^2_^90'4-Â:)2-|-27 0' — A:)'^ — 36/(i-|-A;)+120'-|-A;) — 24^
ou
12 w -f 4 = 4 // = (6 i — 3i— 3 A; — 2)2 -I- 27 {j — kf.
Si Ton pose
A=:6; — 3i — 3/c — 2,
B = 3i — 3A;,
on a donc
4/i = A2 + 3B2,
et h, j, k, l, se laissent alors facilement exprimer au moyen de A et
B, de la manière suivante
9/j = 3w + A — 7,
18j =:6w — A + 3B — 2,
18A;=:6w — A — 3B — 2,
9; =3w-f A-l-2.
Il reste encore à déterminer A et B, et pour cela deux cas doivent
être distingués.
27. Si , en premier lieu , M est réel et de la forme 3 w — 1 , donc
fA, = M^ il suit de
4 /i r= 4 M2 = A2 + 3 B2,
que A est =±2M, B==:0. Car, si B n'était pas zéro, on pourrait
déterminer un nombre entier x de telle sorte que
AeeeBo; (modM),
d'où résulterait
A^EEE — 3B2 = B2rc2 (modM)
donc
x^-=^ — S (modM),
ce qui est impossible , puisqu'on sait que — 3 est non-résidu de M.
On a donc indubitablement B — 0, A ==±2 M. Quant au signe
de A, il se déduit immédiatement de la remarque que A est = 1 (mod 3),
et M, comme nombre premier primaire, ^ — 1 (mod 3); on a donc
A = 2M
et finalement
9 /î = 3 w 4- 2 M — 7 ,
9j = 9k = Sn— M— 1,
9/=3w + 2M + 2.
LA THEORIE DES RESIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES. 255
28. Soit , en second lieu , M. = a-{-bQ un facteur complexe pri-
maire d'un nombre premier réel p de la forme 3 w -|- 1 ; on a alors
4 /i = (2 a — 6)2 + 3 &2 = A2 + 3 B2
et , puisque a-\-h q est primaire , a-\- lE^b^^O (mod 3).
B aussi est maintenant divisible par 3, et comme il est facile de
démontrer que 4/^ ne peut être représenté que d'une seule manière
par la somme d'un carré et du multiple par 27 d'un second carré,
il s'ensuit
A = 2a — 6, B = ±b.
. Le signe de A, en effet est de nouveau déterminé par A = 1 (mod 3).
Quant au signe de B, il s'obtient par la considération suivante:
si z parcourt tous les nombres de A, B et C, on trouve, exactement
de la même manière qu'au n^ 12
£(s3-|-l) 3 =^_2^S{h+JQ-\-kQ^) (mod M),
ou
-2^S[ih~k) + Q{j-k)]
puis, en exprimant h, j, k par A et B, et écrivant pour A la valeur
2 a — b, après quelques réductions
0^2a — 6 + B + 2B^ (mod M = a + 6 ^) ,
d'oii résulte B = b.
A et B étant ainsi trouvés, on a
9/» = 3w + 2a— 6 — 7,
9 J = 3 w — a -}- 2 6 — 1,
9A; = 3w— a~ 6—1,
91 =Sn-{-2a— 6 + 2.
29. D'après le n^ 24, le caractère cubique de 1 — ^ suivant le
module 3 est
(1.1) + 2(1.2) = A-/,
et celui de 1 — q"^
(2.1) + 2(2.2)==i-i,
lorsque M est réel de la forme 3 w — 1 , on a donc , d'après le n^ 27
Caractère {l — q)= ^^— ,
Caractère ( 1 — ^2) -^ ^ ?t+^ ^
256 LA THÉORIE DES RESIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES.
OU bien
i_gi -«±1 n-e^, +«±1
d'où il suit encore
Quand, au contraire, M = a-f-ft? est un facteur complexe d'un
nombre premier réel de la forme 3 w + 1 , on a , d'après les valeurs
trouvées au no 28
Caractère {l — q) ^ î— ,
Caractère (1 — q^)~ ^^^ ,
ou
[ i--gi_ -"t- fi_:-L?'l_ ^"^ [ 3 ]_ -I
Ces résultats ne diffèrent pas, au fond, de ceux donnés par
Eisenstein dans le tome 28 du Journal de Crelle, p. 28 et suiv.
30. A l'égard du cas où le nombre premier M est un facteur d'un
nombre premier réel p de la forme 3 w -f- l , je présenterai encore
les remarques suivantes.
Comme, dans M.^=a-{- b g, a et b n'ont pas de diviseur commun ,
et que par conséquent b et a — 6 sont aussi premiers entre eux, on
peut toujours trouver deux nombres entiers a et fi satisfaisant à la
relation
6a4-(a — 6)/S = l
et on a alors
{a + bQ)ia-\-^Q) = aa — b^ + Q,
donc
Q^b^ — aa (mod M = a + ^ ?)•
De la résulte immédiatement que tout nombre entier c-\-dQ est
congru suivant le module a-^bg h. un nombre entier réel, lequel
nombre réel peut être pris plus petit que le module juz=p, de sorte
que les nombres réels
0, 1, 2, 3, ..., fi—1
LA THÉORIE DES RÉSIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES. 257
forment un système complet de résidus. En divisant ces nombres
réels (à l'exception de 0) , suivant leur caractère cubique , en trois
classes
A a, a', a'', . . .
B A /S', /S", . . .
C Y, /, /', . . .
et en désignant par f le nombre réel qui est ^q (modM), on a donc
^-1 M-i fi-i
a s — 1=/8 a —f^y 3 __/-2^o (modM = a + 6p),
et comme
n — i /« — 1 f — l
a ^ -l, ^ ^ -r,y ^ -P
sont des nombres réels, ils doivent être divisibles non seulement
par a-j-bg, mais aussi par le module
p = fi = {a-{-bQ){a + bQ^)
de sorte qu'on a
a 3 =1
M — 1
On voit donc que la classification des nombres
1, 2, 3, ...,p-l
à l'aide de ces trois dernières congruences , coïncide avec celle qui
a pour base leur caractère cubique par rapport au module a-\-bq.
Le résultat
\_a-\-bQ\
peut être énoncé ainsi : le nombre 3 appartient à la classe A , B ou
C, suivant que — \b est de la forme 3w, 3w-f-l ou 3 w -f- 2.
Voici quelques exemples.
p = 7, a = 2, 6 = 3, /'=4. Schéma S.
A 1, 6. /î ; A; 0 1 0
B 2, 5. j kl \ ^\
C 3, 4. kl j ^ l \
17
258 LA THÉORIE DES RESIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES.
p = lZ^ a=: — l, b = S, f = 9.
A 1, 5, 8, 12. 0 2 1
B 4, 6, 7, 9. 2 11
C 2, 3, 10, 11. 112
p = 19, a = 5, b = S, f=ll.
A 1, 7, 8, 11, 12, 18. 2 2 1
B 4, 6, 9, 10, 13, 15. 2 13
C 2, 3, 5, 14, 16, 17. 13 2
p = Sl, Cl = 5, 6 = 6, f=25.
A 1, 2, 4, 8, 15, 16, 23, 27, 29, 30. 3 4 2
B 3, 6, 7, 12, 14, 17, 19, 24, 25, 28. 4 2 4
C 5, 9, 10, 11, 13, 18, 20, 21, 22, 26. 2 4 4
p = S7, a = — 4, 6 = 3, f=26.
A 1, 6, 8, 10, 11, 14, 23, 26, 27, 29, 31, 36. 2 5 4
B 2, 9, 12, 15, 16, 17, 20, 21, 22, 25, 28, 35. 5 4 3
C 3, 4, 5, 7, 13, 18, 19, 24, 30, 32, 33, 34. 4 3 5
p = 4S, a = — l, 6 = 6, /•=36.
A 1, 2, 4, 8, 11, 16, 21, 22, 27, 32, 35, 39, 41, 42. 3 6 4
B 3, 5, 6, 10, 12, 19, 20, 23, 24, 31, 33, 37, 38, 40. 6 4 4
C 7, 9, 13, 14, 15, 17, 18, 25, 26, 28, 29, 30, 34, 36. 4 4 6
p = Ql, a = b, 6 = 9, f=m
A 1, 3, 8, 9, 11, 20, 23, 24, 27, 28, 33, 34, 37, 6 8 5
38, 41, 50, 52, 63, 58, 60. 8 5 7
B 4, 10, 12, 14, 17, 19, 25, 26, 29, 30, 31, 32, 35, 5 7 8
36, 42, 44, 47, 49, 51, 57.
C 2, 5, 6, 7, 13, 15, 16, 18, 21, 22, 39, 40, 43,
45, 46, 48, 54, 55, 66, 69.
La question de la présence du nombre 3 dans l'un des groupes
A, B, C étant tranchée d'avance comme il vient d'être dit, on peut
facilement , à l'aide de la loi de réciprocité dans la théorie des résidus
cubiques, établir les caractères nécessaires pour reconnaître aussi la
présence d'autres nombres dans ces classes. Il suffit évidemment
de considérer, à ce point de vue, les nombres premiers.
En ce qui concerne le nombre premier 2, ces caractères peuvent
aussi être déduits sans le secours de la loi de réciprocité , ainsi que
nous allons le faire voir.
LA THEORIE DES RESIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES. 259
31. Le nombre p — 1 appartenant toujours à A, il en résulte
immédiatement que 2 appartiendra à la classe A , B ou C suivant que
p — 1
— 2 — appartient à la classe A, C ou B.
Les nombres /i, k, j sont respectivement les nombres de solutions
des congruences
a -!-«' + 1 = 0
^ + /5' + l = 0 (modp),
et comme ou peut échanger entre eux a et a', /? et p', y et y\ ces
p— 1
trois nombres sont pairs, à l'exception du premier, lorsque a=:ia' = ~^
p — \
appartient à A, ou à l'exception du second, lorsque /î = ^'=-^-g—
p — \
appartient à B, ou à l'exeption du troisième, lorsque y=:y' =i^—^r-
appartient à C.
On voit donc que 2 appartient à la classe A, B ou C, suivant que,
des trois nombres /i, j, k, le premier, le second ou le troisième est
impair.
Comme on a p=:3w-j- 1 (w pair) et, d'après le n^ 28,
9;i = 3w + 2a— 6 — 7,
9;=3w— a + 26 — 1,
9Â: = 3w— a— h — \
h est impair lorsque b est pair, j est impair lorsque a est pair, enfin
k est impair lorsque a et 6 sont tous les deux impairs. Puisque a
et h n'ont pas de diviseur commun, aucun autre cas n'est possible,
et par conséquent 2 appartient à
A, lorsque 6^0
B, ,, a^O (mod 2).
C, „ « = 6 = 1
32. En ce qui regarde la présence de 5 dans l'une des trois classes,
on a , d'après la loi de réciprocité cubique ,
5 1_[a + 6g1
a4-bQ\~[ b V
260 LA THÉORIE DES RÉSIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES.
car 5 est aussi un nombre premier dans la théorie des nombres
entiers a-\-b q.
Pour a = 0 (mod5), on a donc
et par conséquent 5 appartient à C.
Lorsque a n'est pas divisible par 5, on peut déterminer x dans
b^ax (mod 5) ,
et X peut prendre les valeurs 0, 1, 2, 3, 4: on a
[ 5 1 ^ \a{l±XQ)] _ \l+XQ]
[a-i-bQ] [ 5
et l'on trouve ensuite
^ = 0 1—^1 = 1,
[a-\-bg\ '
^ = 4 |-^J = ^.
a-\-bQ
5
a-\-bQ
de sorte que 5 appartient à
A, lorsque 6esO, b^2a
B, „ b^Ea, b^E^ia (mod 5).
C, „ b = Sa, a = 0.
Pour juger de la classe de 7, on a
[a + ^ eJ la + ^ g-l [a-\-bQ
puis , d'après la loi de réciprocité ,
[ 7 ]_\a-\-bQ] ïa + bg
[a-{-be\~[2-Ç-BQ\ [2 + 3^2
Pour a = 0 (mod 7), attendu qu'on a, en général
a_±lQ\ ra+^l_
a-^bel [a + bQ'\~ '
LA THEORIE DES RÉSIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES. 261
il vient
[a+T^J"'[2T3^J L2+3e2j = [2 + 3ç2j = ^' = ^'
de sorte que 7 appartient à B.
Lorsque a n'est pas divisible par 7, mais qu'on a
b^ax (mod7),
il s'ensuit
r_^_i_ri_-j-^i \\±XQ]
[a + M~[2 + 3eJ [2-1- 3^2]'
et X peut présenter les valeurs
0, 1, 2, 4, 6,
mais non les valeurs a; = 3 et rc = 5, car celles ci rendraient
p = d^ — ah-[-b'^~a^{l — x-\-x^)
divisible par 7.
On trouve maintenant
x = 0 I— .-V-|=l
a-\-hQ
x = l
a-\-bQ
x = 2 1-^— 1 = 1
a-j-bg
^ = 4 |-rVj = ^
x = 6
a-]-bQ
a-{-bQ.
de sorte que 7 appartient à
A, lorsque 6 — 0, b~2a
B, „ 6 — 4a,a = 0 (mod 7).
C, „ 6 = a, 6 — 6a
De la même manière, ou par induction, on reconnaîtra que
11 appartient à
A pour 6eeeO, 6 = 2a, 6 = 4a, b = 6a
B „ b = da, b = 6a, b'^da, a = 0 (mod 11),
C „ 6 = a, 6 = 7a, bE^8a, 6= 10 a
262 LA THÉORIE DES RÉSIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES.
13 appartient à
A pour b=iO , 6:^2a, 6 = 3a, b^Sa
B „ ô^a, b^6a, 6=z: 11 a, 6ee 12a (modlS),
C „ 6^5a, b^-7a, b = 9a, a^O
17 appartient à (mod 17),
Apour6E=E0, b^^a, bEEz2a, b^9a, bE=£l6a, aE^O
B „ b^^Sa, 6=7a, b = Sa, b=l2a, 6 = 13 a, 6= 14 a
C „ &EEE4a, 6E^=5a, bE^6a, &E=5l0a, ÔE^lla, bE^lba
19 appartient à (mod 19) ,
A pour ft=rO, bEE^a y b^E^^a^ ÔE^lOa, 6^zl8a, aEsO
B „ 6EiE5a, ÔEEElla, ôi^l3a, ÔEZEUa, 6E^16a, 6EEEl7a
C „ &EE3a, 6EZE4a, 6 = 6a, b = la, b^^^a, b = lba
23 appartient à (mod 23),
A pour ÔF^O, 6_^2a, 6=5a, 6=6a, b^EEla, ÔEEESa, ftHElla, 6EEEl5a
B „ 6:£ia, 6-^9a, 6i=13a, &~16a, &=17a, 6eee 18a, &E^19a, 6=22a
C „ 6=3a, 6^4a, ÔEE^lOa, 6E:-12a, b^Ua, b=20a, b=2ia, a=0.
33. La considération de ces théorèmes particuliers donne lieu aux
remarques suivantes.
Pour la commodité, les nombres premiers réels de la forme 3w — 1,
qui restent aussi nombres premiers dans la théorie complexe, seront
désignés ici par Q, les nombres premiers de la forme 3w-|-l par P.
1. Un nombre premier Q appartient, lorsque a = 0 (modQ), aux
classes A , B , C suivant que — ^ — est de la forme 3m, Sm-^-l,
3 m + 2.
2. Un nombre premier P appartient , lorsque a ^ 0 (mod P) , aux
p 1
classes A , B , C suivant que — «— est de la forme Sm , 3 m -|- 1 ,
3m + 2.
3. Dans les cas 6^0, b^2a, le nombre premier P ou Q appar-
tient toujours à la classe A.
4. Quand le nombre premier appartient à A pour a^O, il appar-
tient aussi à A pour & e=e a et pour 6 ^e — a. Si , au contraire , le
nombre premier fait partie de la classe B ou C lorsque a^O, il fait
partie, pour ÔE^a et 6eee — a, de la classe C ou B.
LA THÉORIE DES RÉSIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES. 263
5. En général , les critères sont de la forme suivante :
Si a est eeO, le nombre premier appartient à une classe déterminée.
Si a n'est pas ^sO, on a h E^ax, et pour chaque valeur de x le
nombre premier appartient à une classe déterminée , de sorte qu'on
peut distribuer les valeurs de a; en 3 groupes, tels que
pour hiiaa, le nombre premier appartienne à A,
„ 0 = a y , „ „ „ „ „ L>.
Il faut encore ajouter le cas a^O, qui correspond aussi à une
classe déterminée.
Or , le nombre total des congruences qu'on trouve de cette manière
. 1 Q+1 P— 1
est le même pour chacune des trois classes et = — ^ — ou = — ^ —
6. Lorsque x et y sont deux nombres satisfaisant à la congruence
x-^y — xy = 0,
et que x appartient k a, y appartient également à a. Mais si a;^/5
ou =7, y appartient respectivement aux y ou aux /?.
Si xy^^l et que 1 appartienne aux a , on a
Si xy
pour x = a'
y = « ;
. x = ^'
2/ = 7',
« x = r'
y = ^'^
1 et 1= /S, on a
pour a; = a
y = y^
» ^=^'
y = ^'\
„ x = y'
y = a'.
1 et 1 = 7, on a
pour x = a
2/ = ^,
„ x = ^
y = a,
0 X = Y
y = Y'-
Si xy
34. Quant à la démonstration de ce qui vient d être dit, la re-
marque 5 est la seule qui demande quelques considérations nouvelles ;
tout le reste n'offre, après ce qui précède, aucune difficulté.
Je vais donc prouver d'une manière générale la vérité de cette
264 LA THÉORIE DES RÉSIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES.
remarque 5. Il faut pour cela distinguer les cas où le nombre pre-
mier est =Q ou =P; commençons par le premier de ces cas, qui
est de beaucoup le plus simple.
35. Lorsque le nombre premier Q est de la forme 3 w — l , et qu'il
reste par conséquent premier aussi dans la théorie des nombres
complexes de la forme a-\-bQ, on a d'après la loi de réciprocité
[a + bQ\~[ Q J'
Soit d'abord a = 0 (modQ); dans ce cas
[a + hQl [QJ [Q
Mais
^X(Q-2)
est un multiple de 3 et
Q-^-1 (Q4.1)(Q-2)_Q+1
3 3 ~" 3
on a par conséquent pour a~^0 (modQ),
Q + i
= Q ' ,
[a-\-bQ\
d'où ressort l'exactitude de ce qui a été dit au n^ 33 en 1.
Si a n'est pas divisible par Q, x est complètement déterminé par
bEEEux (raod Q)
et
I _ \a{l-^XQ] _ \1±XQ]
[a-{-bQ\ L Q
ce qui montre déjà que la classe à laquelle appartient Q dépend
uniquement de x; pour x on peut d'ailleurs avoir évidemment les
nombres
0, 1, 2, 3, ..., Q-1.
Il ne reste plus qu'à résoudre cette question : parmi les Q quantités
m
(a; = 0, 1, 2, 3, ..., Q-1)
LA THÉORIE DES RÉSIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES, 265
combien y en a-t-il d'égales à 1, combien d'égales à q, combien
d'égales à q^? Nous considérons un système complet de nombres
non divisibles par le module, système pour lequel on peut prendre
les nombres
(«=0, 1, 2,3, ..., Q-i)
la combinaison a = 0, fi = 0 devant seule être omise. Si nous rap-
portons ces Q2 — 1 nombres d'après leur caractère cubique à 3 groupes
A, B, C,
A Oq -f ^0 e j • • •
C Og + ^ae»---
chacun de ces groupes contient
nombres, quotité qui est donc un multiple de Q — 1: et les nombres
réels qui correspondent à /î = 0, savoir
1, 2, 3, ..., Q-1,
appartiennent tous à A, d'où il découle que lorsque a-\-(iQ fait
partie d'une certaine classe, les nombres congrus avec
l{a + ^Q), 2{a-{-^g), ..., (Q - 1) (a + ^ ^)
font aussi partie de cette classe. Si a n'est pas égal à zéro, les
nombres
a, 2a, 3a, ..., (Q — l)a
pris dans un certain ordre, sont congrus, suivant le module Q, à
1, 2, 3, ..., Q-1.
Les nombres d'une classe, chez qui la partie réelle n'est pas zéro,
peuvent donc être divisés en groupes de Q — 1 nombres, de telle
sorte que dans chaque groupe se trouve un nombre de la forme
266 LA THÉORIE DES KÉSIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES.
Il ressort de là que les quotités des nombres ] -\-xq qui rendent
—^ — égal à 1, ^ ou ^2^ sont
Q-2 Q + 1 Q + 1 , r^l ,
Q + 1 Q-2 Q + 1 , r^l
^, -3-, -^. lorsque [^J = ,,
^^\ ^\ V' ^-sque [^] = ,,
et comme, en outre, nous avons trouvé ci-dessus que, pour
a = 0 (modQ),
Q appartient aux classes A , B ou C suivant que ^ est égal à 1 , ^
ou Q^, l'énoncé 5 du n^ 33 se trouve entièrement démontré pour le
cas où le nombre premier est de la forme 3n — 1.
36. Lorsque le nombre premier dont on veut reconnaître la pré-
sence dans les classes A, B, C est de la forme P = 8w+ 1, il s'agit
de déterminer la valeur de
P
[a + bQV
P n'étant pas un nombre premier dans la théorie complexe, on doit,
avant de pouvoir appliquer la loi de réciprocité, décomposer P en
ses facteurs premiers primaires
P = (A + Be)(A + Be2X
et on a alors
a-\-bg] \ a-^ b g
[a + 6 eJ LA + B eJ [A + B ^2
Donc
pour œeeeO (mod P)
[a + 6^J ^ [a 'Hh'B^J [a +% Q^ ^ ^ ' ""^
pour axEE£b (raodP)
P 1 \1 -{-xg] ï 1 -\-XQ
a + bg\ LA + B eJ lA + B ^2
LA THÉORIE DES RÉSIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES. 267
Du premier résultat, pour a:zEO, ressort la justesse de la seconde
remarque du n^ 33.
Comme P est de la forme 3 w -f- 1 j la congruence
oc^ = l (mod P)
a trois racines différentes, 1, f, g (où fEi^g^).
Les deux valeurs — /", —g ne peuvent maintenant être égales à x
dans la congruence
car de bEEi — af il résulterait
«2 — fl 6 + 62 EEEa^l +/"4-H ^ 0 (mod P),
de sorte que le nombre premier
p = a^ — ab -\-l)"
serait divisible par P.
D'après cela, les valeurs que x peut prendre sont
0, 1, 2, 3, ..., P-1
sauf omission des nombres P — f et P — g. Leur nombre est donc
P — 2, et il s'agit de rechercher pour combien de ces P — 2 valeurs
de X l'expression
lA + Bq\ [a-\- Bq^
acquiert les valeurs 1 , ^ et q^.
Je fais remarquer encore que
1 1— "3-
A+Bd ^
et que, pour azE^O (modP) on avait
Ainsi, lorsque q, pour le module A-|-B^, appartient à la classe
A, B ou C, il arrive simultanément que P, pour le module a-\-bQ
(ou , ce qui est la même chose , pour le module réel p) , appartient
à la classe A, C ou B.
37. Un nombre arbitraire a-{- ^g étant donné , on peut toujours
trouver un autre nombre qui lui soit congru suivant le module
A-\-Bq et dont la partie réelle soit 1.
268 LA THÉORIE DES RÉSIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES
La division d'un système complet de nombres non divisibles par
le module, en trois classes, d'après leur caractère cubique, peut donc
être représentée de cette manière
(mod A + B ^)
A a = l-}-ap, a' = l-\-a'Q, a" = i -}- a" q, . . .
B ^ = l-\.bQ, ^' = l + 6>, ^" = l+b"Q, ...
C y = l-|-c^, y' = i-{-c'Q, y" = l-\.c"Q, ...
et comme, de
(l + «e)"^-e*-(A-f B^)(C4-De)
il suit
(1 + a ^2) -3- - ^2. ^ (A 4- B ^2) (c _}. D e'^),
la classification pour le module A -{- B ^^ peut simultanément être
représentée par
(mod A + B e^)
A l + ag^ 1 + a'e^ 1 -{- a" q\ ...
B 1 + ce^ 1+c'e^ 1-\-c"q\...
C 1 + 6^^ 1 + b'g^ l + 6>^...
Les nombres a, b, c, a', b', c', a", b", c",... forment, dans leur
ensemble, tous les nombres du groupe
0, 1, 2, 3, ..., P — 1,
à l'exception du seul nombre qui est ^ — q^ (mod A 4- B e) et qui est
congru suivant le module P à un des nombres — /", — g. Les cas
où l'on a
i -{- XQ
[A+B^
sont évidemment
ïJJ-XQ_]_
[a + B ^-^J -
, T p =1 et simultanément . , u 9= ^>
A + B Ê>J [A -f- B Q^
A I D I — Q et simultanément i^,^, d <
A + B ^J ^ [A + B ^
^^ et simultanément
A -f- B ^J ^ «wv..w^„. [A 4- B ^'
= Q.
LA THÉORIE DES RÉSIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES. 269
Or, \-rJ^ -p est égal à 1 pour x = a, a', a",. •» et pour qu'on ait en
même temps U-^ 2==^? '^ ^'^"^ donc que l-f-«e soit congru
suivant le module A-fB^^ à un des nombres l-f-«e^ 1 -\- a' q^, . . .,
c'est à dire
1 -f a ^ =EE 1 + a' ^2 (njo(j A + B e^);
réciproquement, s'il est satisfait à cette congruence, on a
l+«g]_, [l + «g1_,
A-l-BeJ-'' U + Be^J-i-
Le nombre des fois où ce cas se présente est donc égal au nombre
des solutions de la congruence ci-dessus. En raisonnant d'une ma-
nière analogue pour les deux autres cas
A + Bd""^' Ia + B?
et
A + BeJ~^' [A + B^2j-g
on trouve que le nombre des fois où
[A + A^J [a + B^2
devient égal à 1 , est représenté par la somme des nombres de
solutions des trois congruences
l-\-aQE^l-\-a'Q^
l+bQE^l+b'g'- (modA + Bp2).
On reconnaîtra , de même , que le nombre des fois où l'expression
précédente devient égal à ^ et à ^^ ^gt exprimé, dans le premier
cas, par la somme des nombres de solutions des congruences
1-f ft^E^l+ae^
1-i-c^ — 1-f 6g^ (modA-f-B^^^,
1 -f a e = l + c ^2
270 LA THÉORIE DES RÉSIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES.
et , dans le second cas , par la somme des nombres de solutions
des congruences
1 4- a e E^ 1 + 6 ^2 (jjjod A + B q^).
Pour pouvoir appliquer directement les développements des n°*^ 25 — 28,
il est un peu plus facile de considérer seulement des congruences
suivant le module A + B^, de sorte que, remplaçant partout dans
les formules précédentes g par q^ et désignant par t, u, v les nom-
bres de fois que
-\-Xq] \ l -{-XQ
A+Bd^lA-f Be'
est respectivement égal à 1, ^ ou ^2, nous écrirons:
t = somme des nombres de solutions de
l-\-bQ^E^[-\-b'Q (moclA + B^),
1 -|- c ^2 =^ 1 -|- c' p
u = somme des nombres de solutions de
l-f-c^2^1 + 6^ (modA + B^),
V = somme des nombres de solutions de
l-{-aQ^^-El-{-bQ (mod A -f B ^).
1 + 6^2^1 + ce
38. A ce sujet, il convient encore de remarquer ce qui suit.
Parmi les nombres a, b, c, a', b', c' ne se trouve pas l'un des deux
nombres — /, — g. Supposons que ce soit — f, de sorte que — g
s'y trouve. Il n'en est alors pas moins évident que cette valeur
— <7 ne peut se présenter nulle part dans l'une des congruences
ci dessus ; car , de 1 -\-aQ^^ 1 -\- a' o ou a q^=: a' q par exemple , il
suivrait , pour a = — g, a'^agEE — q^^ — f (puisque f= q^ et g^=Q
(mod A 4" B^)) ; or, la valeur a'^ — /"ne se présente pas. Comme,
parmi les valeurs à prendre pour x, ne se trouvaient ni —f ni — g,
LA THÉORIE DES RÉSIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES, 271
il en ressort avec évidence que les expressions ci-dessus données
pour t, u et V sont réellement exactes, lorsque les nombres a, a',
6, 6', c, c' qui entrent, dans les congruences, sont choisis de toutes
les manières possibles dans les groupes a, a\ a", . . . , 6, 6', h", . . . , c, c', c", . . .
En introduisant, au lieu de a, 6,... les nombres a = 1 -f- a ^ ,
^ = 1 -{-bg, on trouve , par exemple , que ao^^^a' g se transforme en
Q{a — l) = a' — l,
ou
a' — Q a = l — g,
et en agissant de même avec les autres congriiences , on obtient les
expressions suivantes
t = somme des nombres de solutions de
a' — g a^l — g
^' — g^~l — g (modA + Be),
y' — gy ^Eil — g
U = somme des nombres de solutions de
a —^^ = 1 — ^
^ — gy^E^l — g (modA-f-B^),
y — ga = l — g
V = somme des nombres de solutions de
a — g y^l — g
^ — ga^:=l — g (mod A -f B ^).
y —g^=l—g
Dans le premier membre de ces congruences le signe — peut
partout être remplacé par -|- . puisque deux nombres A et — X appar
tiennent toujours à la même classe. Ce remplacement étant effectué,
et toutes les congruences étant en outre multipliées par le nombre
entier
il vient:
t ^= somme des nombres de solutions de
a' -\- g a -{- 1 =^- 0
^'-{■Q^-\-^-^ (modA-fB^),
y'+QÏ + ^^O
272 LA THÉORIE DES RESIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES.
w = somme des nombres de solutions de
^-\-Qy^l^O (modA + B^),
7 + ^0 + 1 = 0
V = somme des nombres de solutions de
a-f-^j;-f IeeO
^4-ea + lEE^O (modA + B^).
7 + ^^ + 1 = 0
On arrive à ce résultat dans chacune des trois suppositions qui
peuvent être faites , à savoir , que w (1 — q^) fait partie de la classe
A, B ou C. Cela tient évidemment à ce que les groupes de 3 con-
gruences, qui viennent d'être trouvés, sont tels qu'ils n'éprouvent
aucun changement par une permutation cyclique de a, /?, y.
Il y a maintenant trois cas à distinguer*
Q 1
I. Q appartenant à A, ou
1.
[A-f BeJ
Dans ce cas, on a Qa = a", q^ = ^"^ Qy=y'\ et par conséquent
t, u, V sont les sommes des nombres de solutions des congruences
suivantes
a-f a'+l = 0,
7+/+1EEE0,
U
a + ^ + 1
/5-i-y + l
7 + « + l
0,
0,
0.
7 + ^ + 1=^0,
ou, d'après le n*^ 25, si les résultats trouvés à cet endroit pour le
nombre premier a-\-bQ sont transportés au module A-j-Bg avec la
norme 3w-f- 1,
u ^j -\-l -{-k = n,
v = k-\-j -}- 1 =n.
\ P
D'après le n^ 36, on a dans ce cas, pour a = 0,
a-\-bQ
= 1.
II. Q appartient a B, ou
Q
= Q.
[A + B^
t, u, V sont alors les sommes des nombres de solutions des con-
gruences suivantes
LA THEORIE DES RESIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES.
273
t
ou bien
a+y + 1
y + z^ + l
-0,
-0,
t =n,
u=n,
v = n —
1.
« + «' + 1-0,
D'après le n" 36, on a dans ce cas, pour a = 0,
a -\-bQ
= r.
III. Q appartient à C, ou
= Q'
t, u, V sont alors les sommes des nombres de solutions de
t
u
V
a+y-\-l=,0,
« + «'-1-1=0,
« + i5 + 1^0.
^ + « + 1=^0,
^ + ^' + 1 = 0,
iS + r + l = 0,
^'-h^+lEEO,
j^+/ + l-0,
r + « + i = o,
OU bien
M = W — 1,
D'après le n^ 36, on a dans ce cas, pour a^O, — ^ , == g-
Par là se trouve démontré tout ce qui a été dit au n^ 33 con-
cernant la forme générale des caractères qui permettent de recon-
naître à laquelle des trois classes appartient un nombre premier
donné.
39. Quant aux autres énoncés du n^ 33, il suffira de remarquer
que ce qui a été dit en 6 résulte immédiatement des formules
et
1+XQ
A + Be
'1±0CQ
Q
l-\-XQ
1+2/e
l — xy-\-{x-\-y — xy)Q
A + 6^2
1 + yg
X + Bq
1 + 2/g
A + 6^2
l — xy-\-{x + y — xy)Q
A + Bt>
Q
l — xy-\-{x-^y — xy)e
A + 8^2
18
274 LA THÉORIE DES RÉSIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES.
De la remarque , que pour b = 2 a le nombre premier (2, 5, 7, 11, . . .)
appartient toujours à la classe A, on peut encore déduire une con-
séquence qu'il paraît utile de noter ici. Puisque , à cause de
4 ^ = 4 (a2 — a 6 + 62) =r (2 a — &)2 + 3 62
3 ne fait pas partie des facteurs premiers de 2 a — 6, il s'ensuit que
tous les facteurs premiers de 2 a — 6 sont des résidus cubiques de_p,
est par conséquent 2 a — b lui-même est résidu cubique de p.
40. A ce même résultat conduit aussi la considératiofn suivante ,
de tout autre nature.
Soit p = 3 w -}- 1 et supposons que ^ parcoure un système complet
de nombres incongrus, non divisibles par le module a 4" ^ ^ I ^^
l'équation
il suit alors
^ / u I 1 \9« n 2n(2n — 1) . . . (w + 1) , , • , x
2 (s^ + i)2" EE — 2 \ ^ „ ^ ^ ' (mod a -f- bg).
^ ' 1. 2. 3. ... n I ^/
Mais , d'un autre côté , les nombres z^, ... forment tous des résidus
cubiques de a-^-bg, chaque résidu étant écrit 3 fois, et parmi les
nombres z^ -\- l il y en a donc 3 h qui appartiennent à la classe A ,
3i à B, S/c à C; par conséquent, on a aussi
j:{^-^lfn = sh-\-.SkQ-\-SJQ^ (moda + bQ),
ou, d'après les valeurs du n^ 28,
2 (^3 -}- l)2n = a _ ô _ 2 — 6 e.
Il en résulte
2n(2n — l)...(n-\-l) ^ ^ „ ^ , , , , ,
\ -^ ^ — ^—-^^a — b — bQ = 2a — b (mod a + 6^),
de sorte qu'on a aussi
^ 2w(2w — 1). ..(w + 1) , , „ ,1,
2a — 6 = \ ' — ~\^ (modp = 3w-4-l)
1. Cl. O. ... ili
congruence remarquable, doimée pour la première fois par Jacobi,
dans le Journal de Crelle, t. 2, et dont la démonstration est ordi-
nairement déduite de formules employées dans la théorie de la division
du cercle.
LA THÉORIE DES RÉSIDUS CUBIQUES ET BIQUADRATIQUES. 275
En écrivant cette congruence sous la forme
(1. 2. 3. ... w)2 (2 a — 6) EE — 1. 2. 3. ... (2 n) (mod p) ,
et en observant que
2w + l~ — w,
2w + 2ee — (n — 1).
2w4-3ee — (n — 2),
3WEE— 1,
que n est pair et 1. 2. 3. . . . (3n) = — 1, on obtient
(1. 2. 3. ... nf{2a — b)--~l (modp),
d'où il ressort immédiatement que 2a — b est résidu cubique de p,
ainsi que nous l'avions déjà trouvé ci-dessus , par une voie toute
différente. Cette première démonstration nous avait appris , en outre,
que tous les diviseurs de 2 a — b sont des résidus cubiques.
XI.
(Paris, C.-R. Acad, Sci. , 95, 1882, 901—903).
Sur un théorème de M. Tisserand.
(Extrait d'une lettre adressée à M. Hermite.)
Soit
alors
(1) . • .
Posons
T = [{x,-c,f + {x,
+ {oos-csr^ + {x,-c,f]-';
Ô2TÔ2TÔ2TÔ2T_
bxj
on aura
où
x^ = r cos M cos X, c^ = a cos u' cos x',
X2^=r cos usinx, C2 = a cos u' sin x',
XQ = r sin u cos y, Cg = a sin u' cos y\
'z;4=rrsin M sin 2/, C4 = a sin m' sin y';
T = {a^ — 2ar cos (p + r^)-^ ,
(2) . . cos g? ^ cos u cos u' cos {x — x') -j- sin u sin m' cos {y — y') ,
et par l'introduction des variables r, u, x, y, l'équation (1) se trans
forme ainsi
y- 1 r^ sin u cos m ^1 + ^ I r sin m cos m ^ I
En développant T suivant les puissances ascendantes de r , on a
(3) .
_ V^ y" sin (w 4- 1) y
sin 99
2L a"+2
SUR UN THÉORÈME DE M. TISSERAND. 277
et, substituant cette valeur dans (3), on obtient l'équation différentielle
suivante pour V("'= — . considérée comme fonction de m, x, y
^ sin 99 ' ' *
par la substitution (2)
V^"^ est une fonction entière du degré n de COS99, et l'on aura donc
\Y(-^ = Bi% + 2i:R?;oCoai{x-x')
i -{- 2 £Rj;*i cos k{y — y') + 422R/"i cos i {x — x') cos k{y — y').
Il est évident que l'on n'a qu'à considérer les Rj^l où n-\-i-\-k
est pair Les R/^]^ sont des fonctions entières de cos u cos u' et sin m sin m',
et l'on voit facilement que R/"^ doit contenir le facteur (cos u cos m')*
(sin u sin m')*.
Maintenant, à l'aide de (4), on obtient
(e) ^+-ot..^ + [„(« + ,-^-J,]K« = o.
En posant
R/") = cos» M sin* M S /"i,
^ = sin2M,
l'équation (6) devient
<(l-0^' + [î'-(a + i5+l)<]^-«^S5 =0,
où
i4-k — M
«= 2 — '
^~ 2
y = k+l.
C'est l'équation de la série hypergéométrique ; donc
© étant indépendant de u. On voit que Sj^^est une fonction entière
de sin^M, a étant un nombre entier négatif.
278 SUR UN THÉORÈME DE M. TISSERAND.
(7)
On en conclut facilement la valeur suivante de R^^i:
j Rg = c|'5j (cos M cos u'f (sin u sin m')* ^(a, ^, j/, sin^ m)
( X ^(a,/?, }',Sin2M'),
où c/";J est une constante numérique.
J'obtiens la valeur de c!"i en posant w = m', sin^ m = ^
Si l'on compare alors, dans l'équation (5), les termes avec i", on
parvient au développement
(cos y — cos xY = 2 2 e,('J cos ix cos k y,
qu'il est facile d'obtenir d'une manière directe en exprimant les ej^l
par des intégrales définies.
Si l'on pose m = m' = | J , x' = 0, y' = 0 dans les équations (5) et (7) ,
on retombe sur la formule spéciale obtenue pour la première fois
par M. Tisserand (Comptes rendus, t. 88 et 89).
XII.
(Paris, C-R. Acad. Sci., 95, 1882, 1043 — 1044)
Sur un théorème de M. Tisserand.
(Note présentée par M. Hermite.)
J'ai été conduit à la généralisation suivante de la formule donnée
dans ma communication précédente.
Posons
(1) (^ ^P^^)-^ u{n) r 2{2n+p-sf
. n{n — l){n—2){n — S)
^2.4.(2m+p — 3)(2w + i?— 5)
n étant un nombre entier, non négatif, p un nombre quelconque.
On a, en particulier,
2
P("U1, iC):= — COSWM, X:=COSU,
PW(2,a;) = K^Xn,
^ ' ' sinw
Je remarque que, en accord avec la définition (1), on doit prendre,
dans les formules suivantes
wP(") (1, flj) = 1 pour n = 0.
Ces polynômes ont été étudiés, sous le nom de fonctions sphériques
d'ordre p, par M. Heine , et l'on a
"M ^
(1 — 2arc + a2) 2 0
00
— log (1 — 2ax 4- a2) = ^ a" PW (1, x).
280 SUR UN THÉORÈME DE M. TISSERAND.
Faisons maintenant
(2) X = xcoaucoau' -\-yainu8inu';
alors je dis qu'on aura
?("> (p, X) = £ £ct,fc (cos M cos m')* (sin u sin m')*
xP..f-:i^\.)p.'.(V'^)
La sommation s'étend à toutes les valeurs entières non négatives
de i et de k, qui rendent n — i — k pair et non négatif
La valeur de la constante numérique Ci,k est la suivante
I " n('^=-->(. + ^-^>(.+--=->('^--^ + --:r3)
Pour p = 3, m = m', on retrouve la formule de M. Tisserand.
Si l'on pose u = u' = 0, tous les termes dans lesquels k n'est pas
égal à zéro disparaissent , et l'on obtient le développement de ?<"> (p, x)
suivant les polynômes P(»> r , x) •
XIII.
(Amsterdam, Nieuw Arch. Wisk. , 9, 1882, 196 — 197.)
Bewijs van de stelling, dat eene geheele rationale functie
altijd, voor zekere reëele of complexe waarden van
de veranderlijke, de waarde nul aanneemt.
Het volgende bewijs van dit fundamentaal-theorema der stelkunde ,
heeft , in zooverre de hulpmiddelen der integraalrekening te hulp
geroepen worden, eenige verwantschap met het derde bewijs van
Gauss (Werke, III, p. 59). De wijze echter, waarop de tegenspraak
afgeleid wordt uit de onderstelling , dat de stelling niet waar was,
is hier geheel anders.
Zij f{z) = z'^-\-az^-^-\-bz^-'^-\-... eene geheele rationale functie
van den w*^*" graad , en voor z = x-\-yi
f{z)=:U-}-Vi.
De functies m en v, die geheel rationaal in x en y zijn, hebben
dan de voor het volgende wezenlijke eigenschap, dat hoe groot een
getal A 00k gegeven is, men altijd een getal R zôô groot kan be-
païen, dat voor aile waarden van x en y^ die aan de voorwaarde
a;2-f2/2^R2
voldoen , m^ _j_ ^2 grooter dan A is.
Het is niet noodig bij het bewijs van deze bekende eigenschap
stil te staan ; en ik merk hier alleen op , dat zij ten slotte daarop
berust, dat de „norm" van het product van twee complexe getallen
gelijk is aan het product der normen van de facto ren , en dat dus
wanneer
{x-\-yi)''=p-\rqi
282 OVER HET NUL WORDEN EENER GEHEELE RATIONALE FUNCTIE.
is, tegelijkertijd identiek
is.
Bewezen moet worden, dat er (reëele) waarden van x en y zijn,
die gelijktijdig u = 0 en v = 0 maken
Inderdaad, bestonden er zulke waarden niet, dan zoude
W = log {Vr- -\-V^)
eene functie van x ^n y zijn, die de volgende eigenschappen had.
Ten eerste, w zou voor aile waarden van x ç^n y eindig en con-
tinu zijn , en gedeeltelijke afgeleiden naar x ^n y hebben van aile
orden, die evenzeer eindig en continu zijn voor aile waarden van
X en 2/.
Ten tweede , de functie w voldoet aan de vergelijking
Dit laatste is duidelijk, wanneer men bedenkt, dat ^ \og {v? -\- v^)
het reëele deel is van de functie log /"(is) van de complexe veranderlijke z.
Maar men kan het ook direct toelichten , wanneer men bedenkt, dat
dx }\y*^y dic
is. Men heeft namelijk
^w_ ô x^ dx _ }^y ^ 2/ _ 2 A Urcts JL]
dus
èw, ^ V dv du
u
ÔM, d V d V , èu
àw_ ôy ' ày _ }fx dx_ pi_/orrt? —
Maar voor de functien, die de eigenschappen hebben, waaraan
hier w voldoet , geldt een theorema dat , — wanneer men de veran-
derlijken x en y meetkundig voorstelt, door de punten in een vlak,
waarbij de veranderlijken x en y rechthoekige coôrdinaten zijn , —
daarin bestaat, dat de waarde van de functie in een willekeurig
OVER HET NUL WORDEN EENER GEHEELE RATIONALE FUNCTIE. 283
punt even groot is als het gemiddelde der waarden, die de functie
aanneemt op den omtrek van een cirkel , waarvan dat punt het
middelpunt is. Dus scherper in eene analytische formule uitgedrukt
1 f^'
w {xq, 2/o) = ir / î^ (^0 + ï^ C08 9P , 2/0 -f R sin 9?) d 9?.
•'2/o) = ^./f
(Zie bijv. Rieman's Inaug. Diss. Art. 10, Gesamm. Werke, p. 20.)
Maar dit voert hier blijkbaar lot eene ongerijmdheid, want men kan
R altijd zoo groot aannemen . dat
z<? (iCo + R cos 99 , 2/0 + R sin cp) = log (m^ -(- v'^)
voor aile waarden van 97, grooter is dan een geheel willekeurig aan
te nemen getal.
De onderstelling, dat er geene waarden van x en y zijn, die tege-
lijkertijd m = 0 en v = 0 maken, moet dus valsch zijn.
XIII.
(Amsterdam, Nieuw Arch. Wisk. , 9, 1882, 196 — 197.)
(traduction)
Preuve du théorème, d'après lequel une fonction entière et
rationnelle s'annule pour certaines valeurs réelles
ou complexes de la variable.
La preuve suivante de ce théorème fondamental de l'algèbre possède
quelque analogie avec la troisième démonstration de Gauss (Werke ,
III, p. 59); en effet, nous nous servons également du calcul intégral.
Mais la façon dont la contradiction est déduite de l'hypothèse que
le théorème est faux est tout autre dans cet article.
Soit f{z) =:z^-\- az"^-^ -\-hz^-'^-\- . . . une fonction entière et ration-
nelle du degré w, et supposons que pour z = x-{-yi on ait
f[z) =iu-\-vi.
Les fonctions m et v entières et rationnelles en a; et y possèdent
alors cette propriété qui nous sera nécessaire dans la suite que,
quelque grand que soit un nombre donné A , on peut toujours
déterminer un nombre R de grandeur telle que pour toutes les valeurs
de r» et de 2/ qui satisfont à la condition
:r2-f î/2^R2,
l'expression v?--\-v^ est supérieure à A.
Il n'est pas nécessaire de nous arrêter à la démonstration de cette
propriété bien connue ; je me contente de faire remarquer que la
démonstration repose en dernier lieu sur ce fait que la norme du
produit de deux nombres complexes est égal au produit des normes
des facteurs et que par conséquent lorsqu'on a
SUR LES ZÉROS D'UNE FONCTION ENTIÈRE ET RATIONNELLE. 285
on a en même temps identiquement
Nous devons démontrer qu'il existe des valeurs (réelles) de x et de y
qui annulent simultanément m et v.
En effet, si de telles valeurs n'existaient pas, l'expression
W = lOg (m2 -|- v2)
serait une fonction de x et de y possédant les propriétés suivantes.
En premier lieu , la fonction w serait finie et continue pour toutes
les valeurs de x et de y et posséderait des dérivées partielles de tous
les ordres par rapport k x et k y , lesquelles seraient également finies
et continues pour toutes les valeurs de x et de y.
En second lieu , la fonction w satisfait à l'équation
^^W , Ô2W?
Cela devient évident si l'on songe que la fonction ^ \og {u^ -\- v^) est
la partie réelle de la fonction \ogf{2) de la variable complexe z. Mais
on peut aussi le faire voir directement, car on sait que
ÔM dv^ ^ ^
èa? dy' dy ôrc
En effet, on a
ow „ ox ox dy dy ^ o
yH^^)'
dx~ m2^^2 — " w2^^2 — -^
ÔM . dv èv . ôw
^w _ dy^ ^y_ dx^ dx_ à V
^ -^-~U^^V^ - ^ ~M2 4.t;2 - ^ hxV^"^^^ U
On a donc
Mais les fonctions possédant les mêmes propriétés que la fonction w
satisfont à un théorème qui — si l'on représente les variables a; et y
géométriquement par les points d'un plan , dont x et y sont les
coordonnées rectangulaires, — consiste en ceci : la valeur d'une fonction
en un point quelconque est égale à la moyenne des valeurs que
286 SUR LES ZEROS D'UNE FONCTION ENTIÈRE ET RATIONNELLE.
prend cette fonction sur une circonférence de cercle dont le point
considéré est le centre. On peut exprimer ce théorème plus nette-
ment par la formule analytique suivante
^ (^0, 2/o) = 2^1^ wiXf^-^Rcoscp, Vo + n sin (p) dçp.
(Voir p. e. Riemann, Inaug. Diss. , § 10, Gesamm. Werke, p 20.)
Mais cette relation conduit ici à une absurdité manifeste, car on
peut toujours donner à R une grandeur telle que l'expression
w{Xq-\-'Rgob(P, 2/o + I^ sin <p) = log {u^ -{• v^)
est supérieure, pour toutes les valeurs de 9?, à un nombre absolument
arbitraire.
L'hypothèse qu'il n'existe pas de valeurs de a; et de 2/ annulant
simultanément les fonctions u et v doit donc être fausse.
XIV.
(Haarlem, Arch. Néerl. Sci Soc Holl , i8, 1883, 1—21.)
Quelques considérations sur la fonction rationnelle entière
d'une variable complexe.
1. Soit f{z) ^ ^" -f Al z"-^ -f- ^2 2;""^ + . . . + An une expression
rationnelle entière en s, du degré n.
La démonstration donnée par Cauchy pour le théorème fondamen-
tal de l'algèbre, démonstration qui à raison de sa simplicité est
entrée dans divers traités élémentaires (Schlômilch, Compendium
der hôheren Analysis ; v. d. Ven , Théorie en oplossing der hoogere
machtsvergelijkingen), revient alors à ce qui suit.
En supposant qu'il ne fût pas possible de choisir rc et 2/ de telle
sorte que, pour z^=x-\-yi^ X et Y devinssent nuls simultanément
dans
f{z) = X-{-Yi,
l'expression
X2-I-Y2
ne pourrait pas non plus s'annuler pour aucun système de valeurs
de rc et 2/.
Il en résulterait que cette expression devrait prendre, pour au
moins un système de valeurs x ç^t y , une valeur minima positive
différente de zéro. Or, cela est impossible, car on fait voir que,
quels que soient a et 6, à la seule condition que pour a; = a, 2/ = 6
l'expression X^-j-Y^ ne soit pas nulle, h et k peuvent toujours être
déterminés de façon que , pour x = a-\-h et y = b-^k, X^ -j- Y^ re-
çoive une valeur moindre que pour x^a, y = b.
288 CONSIDÉRATIONS SUR LA FONCTION RATIONNELLE ENTIÈRE.
De la manière dont on établit ce fait , il résulte clairement aussi
que X^ -f" Y^ ^^ peut pas non plus acquérir une valeur maxima ,
circonstance qui est d'ailleurs indifférente pour la démonstration de
Cauchy.
Mais VX^ -\- Y^ est le module de f{z) et, lorsque a^, ag, . . ., On sont
les racines de l'équation f{2) = 0, égal au produit des distances de
2 à Oi , a2 , . . . , a„.
Ces simples réflexions suffisent donc pour montrer que la propo-
sition plus d'une fois énoncée (voir, entre autres. Comptes rendus ,
t. 89, p. 266), que le module de f{z) prend aux points racines de
l'équation — ^ — = 0 une valeur maxima ou minima, doit être inexacte.
Mettre mieux en lumière les circonstances qui se produisent alors,
tel est le but des premières considérations qui vont être développées
et dans lesquelles je regarderai comme déjà prouvée la possibilité
de la décomposition de f{z) en facteurs linéaires.
Exprimée sous une forme purement géométrique, la remarque
faite ci- dessus peut être énoncée en ces termes: étant donnés dans
un plan n points fixes a^, a2,...,an, et en outre un point variable z, le
produit des distances de z à a^, a2,...,an ne prend jamais une valeur
maxima ou minima, sauf lorsque le point z coïncide avec un des
points «1, ûfg, ..., an. Plusieurs des points a^, «a, ..., an peuvent
d'ailleurs aussi coïncider entre eux.
2. Dans la démonstration suivante de cette proposition , il ne sera
d'abord aucunement question de sa relation avec la théorie des
équations algébriques.
Pour point de départ , je prends donc le développement en série
connu
(1) log Vl — 2acos(p -\- a^ = —acos (p — ^a^ co82(p —...=— y^— a'Pco8p(p,
valable pour — l<a<-|-l et pour des valeurs quelconques de (p.
Ce développement peut servir de la manière suivante à comparer
entre elles, en deux points voisins, les valeurs du produit des dis-
tances de z k a^, a2, . . ., a».
CONSIDÉRATIONS SUR LA FONCTION RATIONNIXLE ENTIÈRE.
289
Soient B et C ces deux points, r et ç? les coordonnées polaires
de C par rapport à un système d axes ayant B pour origine , R^ et u^
les coordonnées polaires du point racine a^ par rapport à ce même
système; on a alors
Ca^ = y Ri — 2 Rj r cos {<p — u^) +7^
donc
0^1 = log Ri + log 1/1 — 2 ^ cos {(p — Mj) +
log 0^1 =
En supposant r < R^ , on a donc , d'après (1)
log C «1 = log B ai — V -- ^pCospirp — Wi).
Si R^, Mgi Rg. Wg; . . sont les coordonnées polaires de c/g, %,
le sysième d'axes adopté, et si r est plus petit que R2, R3,
a pareillement
^^* 1 iP
log C ^2 = log B «2 — > ~- — ^ cos V{(p — Wg)
^v " 1 rP
log C «g ==: log B ag — > ^ — COSP {(p — î<g)
et par l'addition de toutes ces équations nous obtenons
(2) . . log (C ai . C ag . . . C an) = log (B «1 . B «2 • • • B an) + ^ hp r^ ,
où
(3) kp^
dans
., on
p = i
1 v-^ cosp(9? — Ut)
p m ^t
Puisque B est regardé, de même que «i, ag, . . . , an, comme fixe,
C seul étant supposé variable, nous pouvons réduire kp à une forme
encore plus simple en posant
(4)
Mp cos Gp =
1 ^-T cos p Ut
P^v R?
Mp sin ttp =
1 -^ sin p Ut
P^, R?
19
290 CONSIDÉRATIONS SUR LA FONCTION RATIONNELLE ENTIÈRE.
Mp et ttp sont alors constants et il vient
(5) . . kp = M.pC03{p(p — ap) ,
donc
log (C ai . C «2 • • • C an) = log (B a^ . B ag . . . B a„) + M^ r cos (ç? — a^) -f
+ Mg r^ cos (2 99 — og) + M^3 ^^ cos (3 93 — og) -}-... .
Il doit toujours être satisfait ici à la condition que r soit moindre
que Rj, Rg, . . . ; en d'autres termes, le point C doit être situé à l'in-
térieur du cercle qui a B pour centre et un rayon égal à la plus
petite des distances Ri, Rg, Dans tout ceci , il est à peine besoin
de le dire, on admet que B ne coïncide pas avec l'un des points
ffj , a2 , . . . , On.
En ce qui concerne les nombres positifs M^, Mg, Mg, ..., on voit
aisément qu'ils ne peuvent pas tous être égaux à zéro ; mais il est
très possible que quelques uns des premiers soient nuls. Admettons
que dans la suite M^, Mg, ..., Ms soit le premier nombre différent
de zéro, et qu'on ait par conséquent
( log (C ai . C «2 . • • C On) = log (B ai . B «2 . . . B an) + T ,
(6) . l
{ T = Ms r' coa {s (p — as) -}- Ms+i 7'+^ cos [(s -f- 1)?? — a^+i] + . . .
Nous avons maintenant à rechercher comment la valeur de T varie
avec le point C, c'est-à-dire, lorsque r et 99 seuls prennent d'autres
valeurs.
Remarquons d'abord que la série
Ms r« + Ms + i *«+! + M.+2 r^+2 _^ . . .
est également convergente, tant que r reste moindre que le plus
petit des nombres Ri, Rg, ..., Rm ; cela se déduit aisément de (4).
Il en résulte que la série
s M« Vf — (s + 1) M« + i r - (s + 2) M,+2 r^ — (s + 3) M.+s r^ - ■ . .
converge aussi pour ces valeurs de r, et comme, pour r = 0, cette
dernière série a pour somme la valeur positive sUsV^ différente
de zérOj on pourra donner aussi à r une valeur, positive et différente
de zéro , telle qu'on ait
(7) . . sM«Kj~(s + l)Ms + ir — (s-f 2)M,+2r2 — ...>0.
CONSIDERATIONS SUR LA FONCTION RATIONNELLE ENTIÈRE. 291
Simultanément, on a alors
(8) M, KJ — M,+i r — M,+2 /•'-' — ... >0.
Supposons maintenant qu'en (6) r reçoive une valeur positive sa-
tisfaisant aux conditions (7) et (8), et faisons alors varier (p seul, de
manière à considérer des points C situés sur un cercle de rayon
r décrit autour de B.
De (6), il suit
dT
— = — s Ms r*sin (s 9? — aj — (s -|- 1) M^+i r*+^ sin [{s -\-i)cp — a,+i] — . . .
et, par (7) et (8), on reconnaît immédiatement que, tant que la valeur
absolue de cos {s 9? — a^) n'est pas inférieure à V^ , T a le même signe
que 008(595 — as). De même, tant que la valeur absolue de sin (599 -as)
— dT
n'est pas inférieure àK|^, ^ et sin (59?— os) ont des signes contraires
Pour obtenir toutes les valeurs de T correspondant à une valeur
déterminée de r, il suffit de donner à 99, à partir d'une valeur initiale
quelconque, un accroissement égal à 2 jt, ce qui fait croître 595-05 de
la quantité 2 ns.
Distinguons, dans cet accroissement, les 4s intervalles suivants
(1). s 95 — Os de — X '^ + T '
(2). sep -as de + -^ à + 3.~,
(3). sep — Os de-f-3.— à + 5.--,
enfin
(4 5). s 9^ — Os de (8 5 — 3) 4- à (8 5 — 1) ^•
4 4
Dans les premier , troisième, cinquième, ... intervalles, la valeur
absolue de cos (s 95 — as) est plus grande que V\ , et alternativement
positive et négative Par conséquent, dans les premier, cinquième,
neuvième, . . intervalles, T est positif; dans les troisième, septième, . . .
intervalles, T est négatif.
Dans les deuxième, quatrième, sixième, . . intervalles, la valeur
absolue de sin (s 9; — as) est plus grande que K^ , et alternativement
292 CONSIDÉRATIONS SUR LA FONCTION RATIONNELLE ENTIÈRE.
positive et négative. Par conséquent , dans les deuxième, sixième, . . .
dT
intervalles, -^ est partout négatif; dans les quatrième, huitième, . .
intervalles , partout positif.
Au commencement du second intervalle, T est positif pour
s<p — as= j-, à la fin négatif pour 59? — Os = 3 . ^, et dans tout l'in-
dT
tervalle ^ est négatif; T devient donc, dans ce second intervalle,
une fois égal à zéro, A l'origine du quatrième intervalle , T est négatif,
dT
à la fin positif, et dans tout l'intervalle j- est positif; T devient
donc, dans le quatrième intervalle, une fois égal à zéro, etc
Il est évident que T s'annule pour 2s valeurs différentes de 9^, et
que chaque fois il change de signe.
Or , on a C a^ . C ag . . . C a^ ^ B ^i . B «2 • • • B an , suivant que T ^ 0 ; il
ressort donc , de ce qui précède , qu'au voisinage du point B il y a
aussi bien des points C pour lesquels C % . C ag . . • C a„ est plus grand
que B «1 . B «2 • ■ • B ««, que des points pour lesquels le premier produit
est plus petit que le second. D'un maximum ou d'un minimum de
ce produit au point B, il ne saurait donc être question. Mais le
point B a été pris tout à fait arbitrairement, sauf qu'il ne devait
coïncider avec aucun des points a^, a^, . . . , «ni ce qui a été dit au
n° 1 se trouve donc démontré.
3. Les conditions (7) et (8) sont de telle nature que, lorsqu'elles
sont remplies par une certaine valeur positive de r, toutes les valeurs
positives plus petites y satisfont également. Or, il est facile de
montrer qu'en prenant r suffisamment petit, on peut faire que les
valeurs de cp pour lesquelles T devient = 0 diffèrent aussi peu qu'on
le désire des valeurs pour lesquelles cos {s (p — as) s'annule. Considé-
rons, par exemple, la racine située dans le second intervalle pour
laquelle sq)— a^ est compris entre ^ et 3 . ^ , et prenons deux va-
leurs <p^, (p2, telles qu'on ait
^ ^ ^
S(p^ — as <-^ <S(p2 — as,
CONSIDÉRATIONS SUR LA FONCTION RATIONNELLE ENTIÈRE. 293
la différence 9?2 — (Pi pouvant d'ailleurs être aussi petite qu'on le
veut.
Dans
T (9?i) = Ms r^ cos (s 993 — «s) + . . .
le premier terme est alors positif, dans
T (993) = ¥. r^ cos {s (po — Os) -f • • .
le premier terme est négatif. On peut maintenant prendre r assez
petit pour que T {(p^) lui-même soit positif, T (993) négatif, et pour que
cela reste vrai quand r continue à décroître. Pour une pareille valeur
de r, et pour toutes les valeurs plus petites, l'équation T(99) = 0
possède alors évidemment une racine entre (p^ et gpg-
On voit donc que la ligne pour laquelle T^O, a en B un point
multiple d'ordre s. Les tangentes menées en B aux s branches forment
entre elles des angles égaux à — . Un petit cercle, décrit autour de B,
est divisé par la ligne T = 0 en 2 s secteurs. A l'intérieur de chaque
secteur, T conserve le même signe, et dans les secteurs successifs ,
T est alternativement positif et négatif.
La condition T:=0 est équivalente à Ca^.Ca2"- Can=Ba^.Ba2...Ban'
Si le point B est choisi arbitrairement, Mi ne sera pas, en général,
égal à zéro ; dans les considérations qui précèdent , on a alors
s = l, et B est un point simple de la courbe Ca^ .Ca^. . .Can =
B tti . B ttg . . . B ttn.
4. Pour découvrir la signification des conditions M^ = 0, M2 = 0, ...
il convient de se reporter de nouveau à la théorie des équations
algébriques.
A cet effet , introduisons un nouveau système d'axes rectangu-
laires , où l'axe des x soit parallèle à la droite à partir de laquelle
les angles sont comptés dans le système polaire , ayant pour origine
B, dont nous nous sommes servis jusqu'ici, et où les directions des
axes des x et y positifs correspondent à 9^ = 0 et 99 = 90°. Soient x
et y les coordonnées de B dans ce nouveau système, et z = x-{-yi
une quantité variable complexe. Les points a^, «2, ... peuvent alors
représenter les nombres complexes z^, z^^ • • ., C le nombre z-\-t^ de
sorte que i ^= r (cos 9? -j- i sin 95).
294 CONSIDÉRATIONS SUR LA FONCTION RATIONNELLE ENTIÈRE.
Soit enfin
il en résulte
log/(.+0=logm+log(l + ,-4) + log(> +^M + '0^(1 f ,47j
et, lorsque mod ^ est plus petit que les modules de z — z^, z — ^2»
, . , , Z Zn f
^'^ -^iiz~é^^ + ^^^--+^^
Or on a
z — z^=: — R^ (cos Mj + i sin m^) , z — 09 = — ^ (^os Wg -f- ^ sin Wg) . • • •
d'où l'on déduit, pour le coefficient de ^p dans (9)
(— i)P-i Jl V* ^ = — — V" ^QS^^<~^sinj?M(
i> ^^iz — Zt)P p ^^ Rf
L'expression à droite est, d'après (4), égale à
Mp (cos a^ — i sin a^.
Si donc on pose encore i = r (cos 9? -f" ^ sin 9?) , on obtient, en égalant
entre elles les parties réelles des deux membres de (9)
log mod /"(^ + /) = log mod /"(s) -[- M^ r cos (g? — a^ -f ^2 ^'^ cos (2 9? — ao) -f • • •
ce qui est le développement en série du n^ 2.
Comme d'ailleurs la formule (1) résulte de
\o%{\ — z) = — z — \z^ — \^—...
quand on y pose z^=at'^^ et qu'on compare les parties réelles, ce
mode de déduction ne diffère pas essentiellement de celui qui a été
donné précédemment.
Mais il ressort maintenant que M^, Mg, Mg, ... sont les modules
des coefficients des puissances de t dans (9). Si l'on pose
1 1 1
f ... + --— -=V^(^),
z — Z^ Z — 09
CONSIDERATIONS SUR LA FONCTION RATIONNELLE ENTIÈRE. 295
il vient
\ogf{z + 0 = log/'(2) -[-w{z)t-\-~ w' iz) l'' + 2^ w" {z)l^-\-...
et Ml, M.j, ... sont les modules de y){z)^ ^^ yj' (z) , . . .
Or, on a
r{z)=yjiz)f{z),
d'où il suit
r [z) = xp" {z)f{z) + 2 rp' {z)f {z) 4- w {z)f" {z) ,
r {z) - rp'" {z)f{z)-{-2>xp" {z) r {z) + 3 rp' {z) f" {z) + xp {z) r {z) ,
Si l'on a donc M^ = 0, Mo ^ 0, . . . , Ms_i = 0 et Ms non égal à zéro,
f'{z), f"{z), ..., p-^>{z) sont également nuls et f^^^{z) n'est pas nul;
en d'autres termes , z est une racine multiple de l'ordre s — 1 de
l'équation /' {z) = 0. Et réciproquement : lorsque z est une racine
multiple de l'ordre s — 1 de /"' (0) = 0, les quantités M^ , Mg, . . . , Ms-i
sont égales à zéro et Ma n'est pas égal à zéro.
Après ce qui a été dit au n*^ 3, on voit donc maintenant que les
points multiples des courbes pour lesquelles on a mod /"(s) = C coïn-
cident avec les racines de/''(^)=:0; et c'est seulement pour des
valeurs particulières de C, en nombre tout au plus égal à n — 1,
que la courbe mod/'(0) = C a de pareils points multiples. Quant à
d'autres espèces de points singuliers, elle n'en possède pas, d'après
ce qui a été dit au n^ 2.
5. Ce qui précède nous met en état d'obtenir une idée générale
de l'allure des courbes
mod /'(0) = Constante.
Faisons d'abord quelques remarques.
1^. Lorsque, à la limite d'un domaine (fini) continu, mo^ f{z)
a une valeur constante , il faut qu'au moins une des racines
a^, ttg, . .., an soit située à l'intérieur de ce domaine, et que mo^f{z)
296 CONSIDÉRATIONS SUR LA FONCTION RATIONNELLE ENTIÈRE.
ait, pour les points intérieurs au domaine une valeur plus petite
que sur le contour. — En effet, puisque moâ f{z) varie conti-
nûment, il doit prendre au moins en un point sa valeur minima
et en un autre point sa valeur maxima. Le minimum ne peut pas
se trouver au bord du domaine, car alors le maximum se trouverait
à l'intérieur, ce qui, d'après le n° 2, n'est pas possible. Les minima
tombent donc en dedans du domaine et nous savons que ces minima
n'existent qu'aux points racines. La valeur marginale , au contraire,
est le maximum de mod fiz), et les valeurs de mod fiz) à l'intérieur
du domaine sont plus petites que cette valeur marginale.
De là, nous pouvons conclure:
2*^. Qu'un domaine continu, à la limite duquel moà f{z) est con-
stant , est nécessairement simplement connexe.
Car si modfiz) avait, par exemple, la même
valeur constante sur le contour du domaine
doublement connexe T, il en résulterait, d'après
ce qui précède, que, tant en T qu'en T^, la
valeur de modfiz) serait moindre qu'aux points
de C|. Or cela ne se peut pas, car, suivant le
n^ 2, la courbe le long de laquelle moà fiz) a
une valeur constante forme la séparation entre un domaine dans
lequel modfiz) a une valeur plus petite et un autre domaine, dans
lequel modfiz) a une valeur plus grande.
Après tout ce qui précède , il est évident que :
3^. Si nous isolons un domaine quelconque, mais entièrement
limité, qui ne contienne aucune des racines, les maxima et mi-
nima demod/(0), pour ce domaine, devront être cherchés au bord
du domaine.
Rappelons enfin que,
4^. lorsque mod^; croît indéfiniment, mod f{z) finit aussi par croître
au-delà de toute limite.
6. Pour que le cas où l'équation f{z) = 0 possède des racines
multiples soit également compris dans la démonstration , nous sup-
poserons que z^, Z2, ..., Zk soient les racines non égales de f{z) = 0.
CONSIDÉRATIONS SUR LA FONCTION RATIONNELLE ENTIÈRE. 297
Si k <in, les autres racines , ^;it+i , . . . , ^„, ne sont donc que des répé-
titions de z^y Z2, . . . , Zk'
L'équation f {z) = 0 a alors k — 1 racines
(10) 2/1, 2/2» •••» Vk-i
dont aucune ne coïncide avec z^, z^^ ..., Zk et qui peuvent être re
présentées par les points B^ , Bg , . . . , Ba; - 1. Les autres racines de
f {z) = 0 sont en même temps racines de f{z) = 0. II est très possible ,
toutefois, que parmi les racines y^, y^, . ■ • , yk-\ il y en ait d'égales,
et nous mentionnons expressément que de pareilles racines doivent
être censées inscrites en (10) autant de fois que l'indique le degré
de la multiplicité.
Soit, en outre,
mod/(î/i)=:Ci, mod/*(î/2) = C2, ..., mo^f{yk-\) = Ck-\',
les constantes c^ , Co, ... sont donc positives et différentes de zéro.
Comme l'ordre de succession des racines est arbitraire, nous pouvons
supposer
Cj ^ Co ^ C3 . . . ^Ck-\.
Il convient de remarquer encore qu'on peut avoir, par exemple,
Cj = C2, sans que, pour cela y^^=zy,^. Si par exemple, f{z)^=-z'^-\- A^s""^ -f~- • .
a des coefficients réels , et que 2/1 , t/2 soient des racines complexes ,
inégales, mais conjugées, de f'{z) = Qf on a évidemment c-^ = c2.
7. Les courbes pour lesquelles on a mod/'(^) = C seront maintenant
considérées comme les limites du domaine où moAf{z) est moindre
que C. Lorque C croît, ce domaine s'étend donc progressivement,
de sorte que le domaine correspondant à une plus petite valeur de
C forme toujours une partie du domaine qui appartient à une plus
grande valeur de C. Pour C = 0, il n'y a que les k points isolés
A^, Ag, ..., Ak qui satisfassent à la condition mod/'(.2) = 0.
II est ensuite facile de montrer que, pour des valeurs suffisam-
ment petites de C, le domaine
mod/'(^)gC
se compose de k aires continues , entièrement isolées les unes des
autres, dont chacune renferme un des points A^, A2, ..., Aa:, de
298 CONSIDÉRATIONS SUR LA FONCTION RATIONNELLE ENTIÈRE.
sorte que la courbe moûf{z) = C consiste en k courbes fermées qui
entourent les racines A^, Ag, ..., A^.
Décrivons en effet , autour de A^, A^, ..., Aa;, des cercles Kj, Kg, .., Ka
entièrement isolés les uns des autres, et soit m la valeur minima
de moû f(z) sur la circonférence de ces cercles. Pour chaque point
P en dehors de ces cercles, on a alors mod/"(0)>m. Pour s'en con-
vaincre, on n'a qu'à considérer le cercle K oii mod-s a une valeur
constante, et qui, en même temps, satisfait aux conditions
1°: d'entourer le point P et tous les cercles Ki,...,K*,
2^: que le minimum de mod/'(s) pour les points du cercle soit
plus grand que m. Il est clair, d'après le n^ 5, qu'il existe tou-
jours un pareil cercle.
Du n^ 5, 3°, il résulte alors que m est le minimum des valeurs
de mo6f{z) situées dans le domaine en dehors de K^, Kg, . . . , K/t et
à l'intérieur de K, de sorte que le module de f{z) en P est plus grand
que m.
Lorsque C < w, le domaine où l'on à
mod/-(3)gC
ne contient donc aucun point situé en dehors des cercles K^, Kg, ..., K^
D'autre part, il est clair que A^, Ag, .. ., Ak appartiennent à ce do-
maine, et du nO 5, l^' et 2^, il suit donc que le domaine modf{z)^C
est composé de k aires continues isolées, dont le contour consiste
par conséquent en k courbes fermées. Aucune de ces courbes ne
peut se couper elle-même.
Si C croît, chacune de ces k aires continues s'étendra, jusqu'à ce
que C atteigne la valeur q. Supposons d'abord c^Kc^, la courbe
mod f{z) = c^ a alors, d'après le n^ 2, en B^ un point double, et les
deux branches se coupent à angle droit. Décrivons autour de B^
comme centre, avec un rayon suffisamment petit, un cercle; celui-ci
sera divisé en quatre secteurs S^, Sg, Sg, S^.
Soit, dans les secteurs S^, Sg, moùfizXc^, dans les secteurs Sg,
S4, moô f{z)>c^.
Si h est une quantité positive suffisamment petite, le domaine
moô f{z)^c^ — h s'étendra donc dans S^ et S3 mais non jusqu'au point
CONSIDÉRATIONS SUR LA FONCTION RATIONNELLE ENTIÈRE. 299
Bj, de sorte que ces aires ne se réunissent point à l'intérieur du
cercle. La courbe moCi f (z) = Ci -}- h , au contraire, pénètre dans 83 et
S4, et la partie du domaine moù f {z) = c-^ -\- h , située à l'intérieur du
cercle, est continue.
Ainsi, au moment où C dépasse la valeur c^, deux aires séparées
du domaine ïnoôf{z)^C se réunissent. Le nombre des aires con-
tinues distinctes du domaine
modf{z)^C
est donc pour C = Ci-\-h égal kk — 1. Cette conclusion suppose,
toutefois, que les deux aires de mod f (z) ^ c^ — h qui pénètrent à
^ ^ l'intérieur du cercle ne s'unissent pas non plus
^N entre elles dans leur prolongement en dehors
/ .''' ^\^ \ du cercle (comme il arriverait, par exemple,
1 si ce prolongement avait lieu de la manière
/ indiquée, dans la figure, par des lignes poin-
tillées).
On reconnaît de suite que tel est réelle-
ment le cas, en réfléchissant que, s'il en était autrement, il en
résulterait évidemment un domaine doublement connexe sur le con-
tour duquel on aurait moô f {z) = c^ -\- h y ce qui, d'après le n*^ 5, 2^,
n'est pas possible.
Si l'on 3. ^1 = 1/2^ ^^ sorte que les points B^, B^ coïncident, on a
aussi Ci = C2 et B^ est un point triple de la courbe mod fiz)=:c^; un
cercle suffisamment petit, décrit autour de B^, est alors partagé en
six secteurs, à l'intérieur desquels mod/(2) est alternativement plus
grand et plus petit que c^.
On voit facilement que, dans ce cas, le nombre des aires dis-
tinctes du domaine mod/'(s)<C diminue de deux unités au moment
où la valeur c^ = c^ est dépassée.
Il en est de même lorsqu'on a q = c 2 ^^^^ avoir y^ = y^.
La courbe mod f{z) = c^ a alors deux points doubles, en Bj et Bo.
Il est facile de comprendre comment ces considérations se laissent
poursuivre; chaque fois qu'une ou plusieurs des valeurs q, Cg, ..., c^-i
sont dépassées, le nombre des aires séparées du domaine modf{z)'^C
300 CONSIDÉRATIONS SUR LA FONCTION RATIONNELLE ENTIÈRE.
diminue d'un nombre égal à celui de ces valeurs c^, Cg, ..., Ck-i
Si donc on a C<C/t_i, la ligne modf{z) = C consiste en une courbe
fermée unique , qui entoure toutes les racines. Comme règle gé-
nérale, on peut établir que, lorsque C n'est pas égal à l'une des
constantes c^, C2, ..., Ck-i, et que t de ces constantes sont plus
grandes que C, la ligne
mod f{z) = C
se compose de ^ -|- 1 courbes fermées, isolées les unes des autres, qui,
ensemble, entourent toutes les racines A^, A^, ..., Ak.
8. Pour éclaircir ce qui précède , je choisirai l'exemple
f{z) = i3^-\.z^ — 2.
On a alors
^i = + l,
5?2= — 1.5437,
^3= -0.2282 4- 1.1151 z,
;24== — 0.2282 — 1.115H";
puis
r{z) = 4:Z^-^Sz'^,
yi = 0, Ci = 2,
y2 = 0, C2 = 2,
Il s'agit maintenant de déterminer, sur les lignes
mod f{z) = 2,
moùf{z) = 2i^^^
un nombre de points suffisants pour que leur allure se dessine
clairement.
En ce qui concerne la première de ces lignes, puisque modf{z) = 2t
on doit avoir
f{z) = 2 (cos a -{- •î sin a).
J'ai donc, pour différentes valeurs de a, calculé chaque fois les
quatre racines de cette équation du quatrième degré Comme le chan-
gement de a ç^w — a fait manifestement passer 0 à sa valeur conjuguée,
il suffisait de prendre a entre 0 et 180°. De cette manière ont été
CONSIDERATIONS SUR LA FONCTION RATIONNELLE ENTIERE.
301
obtenues les valeurs du tableau I. A cause de la variation rapide
des racines lorsque a approche de 180°, il était nécessaire de calculer
encore quelques autres points de la ligne mod/"(2;) = 2; mais, pour
ceux-là, il eût été moins convenable de conserver a pour argument.
Aussi les valeurs données dans le tableau la ont elles été trouvées
d'une autre manière.
On a opéré de même pour la ligne mod /"(s) = 2^^^.
Dans le tableau II , sont indiquées les racines de l'équation
f{^) = 2^V (cos a + * sin a),
tandis que le tableau lia fait encore connaître quelques autres points
de la ligne mod f(z) = 2^^^.
La figure ci-contre donne une idée suffisante de la forme de ces
courbes , qui , au moyen des valeurs
consignées dans les tableaux , pour-
raient être représentées avec encore
plus d'exactitude sur un dessin à
échelle moins réduite.
Si l'on a C<2, la ligne
moùf{z)=G
est composée de 4 courbes fermées,
entourant A^, Ag, Ag, A4.
Dans le cas de 2 < C < 2^^ , la
ligne est composée de deux courbes
fermées, dont l'une entoure Aj, A3, A4, l'autre, Ag. Pour C > 2^2^^^,
la ligne consiste en une. seule courbe fermée, qui enveloppe tous
les points A^, Ag, A3, A4.
9. Considérons encore une fois, pour une valeur quelconque de
C, la ligne modf{z) = C. Cette ligne se compose alors d'un certain
nombre de courbes fermées
Kl , Kg , . . • , Ks
qui n'ont pas de points communs et à l'intérieur desquelles sont
situées toutes les racines A^, Ag, ..., A;^ Lors même que ces
lignes, pour certaines valeurs particulières de C, auraient entre
302 CONSIDÉRATIONS SUR LA PONCTION RATIONNELLE ENTIÈRE.
elles quelque point commun , leur prolongement , lorsqu'on les con-
sidère comme les limites du domaine où moàf{z) est < C, n'en serait
pas moins complètement déterminé.
Désignons par w^ , Wg , . . . , Us les nombres des racines de /" (2) = 0
qui sont situées à l'intérieur de K^, Kg, ..., Ks, de sorte qu'on ait
n^ + n^-^ . ..-{-na = n,
les racines égales étant comptées d'après le degré de leur multiplicité.
Si maintenant la variable z parcourt la ligne entière K^, de manière
à retomber finalement sur sa valeur initiale, f{z) prend des valeurs
dont le module est égal à C , et pour f(z) = C (cos (p -\- i sin 9?) l'argument
(p de f{z) croît de 2n^ n, puisqu'à l'intérieur de K^ il y a n^ racines
de f{z)=^0. Il en résulte, évidemment, que l'expression f{z) prend
alors toutes les valeurs ayant C pour module , et qu'elle prend cha-
cune de ces valeurs au moins n-^ fois.
Pareillement, si z parcourt la ligne Kg, l'expression f{z) prend
toutes les valeurs ayant C pour module, et elle prend chacune de
ces valeurs au moins n^ fois, etc
Si l'on fait donc parcourir à z successivement toutes les lignes
Kl, Kg, . . . , Ks, et que
t = C (cos u-{-i sin u)
soit un nombre quelconque avec C pour module, f{z) prendra au
moins n^ -\- n2 ...-{- fis fois, c'est-à-dire au moins n fois la valeur
f{z):=t. Mais comme l'équation f{z) = t n'a pas plus de n racines,
il est clair qu'il n'y a pas plus de w^, mais justement Wi racines
de l'équation f{z) = t situées sur la ligne K^ ; de même , sur les lignes
Kp, K3,..., se trouvent respectivement Wg» %»••• racines de cette
équation
On voit en outre , immédiatement , que lorsque le module de t' est
plus petit que C, il y a à l'intérieur de K^, K^,..- respectivement
Wi, ^2,... points oh f{z) prend la valeur t'.
Le cas particulier où la ligne K^ ne renferme qu'une .seule
racine, mérite d'être remarqué Si on a alors modi'^C, il n'y a à
l'intérieur de K^ qu'un seul point où f{z) prenne la valeur t' , et
lorsque t^^ t^ sont deux points, non coïncidents, situés à l'intérieur
de Kl, /"(/i) n'est jamais égal à f{t<^.
CONSIDÉRATIONS SUR LA FONCTION RATIONNELLE ENTIÈRE. 308
Tableau I.
a
2
'1
Z2
Zs
Z4
X,
2/1
X2
^2
%
.Vs
X,
^4
0°
+ 1.2173
0.0000
— 1.7484
0.0000
— 0.2345
+ 1.3507
-0.2345
— 1.3507
10
1.2157
+ 0.0299
1.7468
— 0.0286
0.2665
1.3483
0.2024
1.3497
20
1.2107
0.0596
i.7419
0.0569
0.2984
1.3424
0.1704
1.3451
30
1.2025
0.0889
1.7338
0.0848
0.3298
1.3330
0.1388
1.3371
40
1.1908
0.1176
1.7223
0.1121
0.3606
1.3201
0.1078
1.3256
50
1.1757
0.1456
1.7075
0.1386
0.3907
1.3034
0.0774
1.3104
60
1.1571
0.1724
1.6893
0.1639
0.4197
1.2830
0.0481
1.2916
70
1.1347
0.1980
1.6675
0.1878
0.4474
1.2587
- 0.0198
1.2689
80
1.1086
0.2221
1.6420
0.2101
0.4736
1.2301
4- 0.0070
1.2421
90
1.0783
0.2443
1.6125
0.2304
0.4979
1.1970
.0.0321
1.2110
100
1.0436
0.2643
1.5789
0.2482
0.5200
1.1590
0.0553
1.1751
110
1.0040
0.2816
1.5405
0.2629
0.5394
1.1153
0.0760
1.1339
120
0.9587
0.2956
1.4969
0.2740
0.5556
1.0650
0.0938
] .0866
130
0.9065
0.3056
1.4471
0.2804
0.5676
1.0066
0.1082
1.0318
140
0.8457
0.3103
1.3896
0.2806
0.5740
0.9375
0.1180
0.9673
150
0.7727
0.3078
1.3219
0.2717
0.5726
0.8532
0.1218
0.8893
160
0.6804
0.2939
1.2389
0.2479
0.5582
0.7433
0.1168
0.7893
170
0.5481
0.2577
1.1295
0.1922
0.5142
0.5773
0.0957
0.6428
180
0.0000
0.0000
1.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
Tableau la.
Zi
Z2
Z3
Z4
^
yi
x^
2/2
%
1/3
-4
y4
+ 0.5427
0.4485
0.3563
0.2655
0.1759
0.0873
+ 0.2559
0.2210
0.1818
0.1396
0.0952
0.0487
— 1.0733
1.0275
1.0038
— 0.1474
0.0913
0.0342
- 0.4407
0.3856
0.3208
0.2476
0.1687
0.0856
+ 0.4071
0.3183
0.2389
0.1694
0.1074
0.0516
+ 0.0864
0.0662
0.0459
0.0275
0.0128
0.0033
— 0.5938
0.4956
0.3974
0.2987
0.1996
0.0999
304 CONSIDÉRATIONS SUR LA FONCTION RATIONNELLE ENTIÈRE.
Tableau II.
2
\
Z2
Z3
Z4
x^
Vi
^2
^2
^3
y.s
X,
Vi
0°
+ 1.2263
0.0000
— 1.7570
0.0000
— 0.2347
+ 1.3603
— 0.2347
— 1.3603
10
1.2246
+ 0.0309
1.7553
— 0.0295
0.2678
1.3579
0.2015
1.3592
20
1.2196
0.0616
1.7503
0.0588
0.3006
1.3519
0.1686
1.3546
30
1.2111
0.0919
1.7421
0.0878
0.3331
1.3424
0.1359
1.3465
40
1.1993
0.1216
1.7304
0.1160
0.3650
1.3292
0.1038
1.3348
50
1.1839
0.1506
1.7153
0.1435
0.3962
1.3123
0.0724
1.3194
60
1.1649
0.1785
1.6967
0.1698
0.4263
1.2916
0.0419
1.3002
70
1.1422
0.2052
1.6745
0.1949
0.4552
1.2668
— 0.0125
1.2771
80
1.1156
0.2305
1.6485
0.2183
0.4827
1.2378
+ 0.0156
1.2499
90
1.0847
0.2539
1.6183
0.2397
0.5084
1.2041
0.0420
1.2183
100
1.0494
0.2753
1.5839
0.2589
0.5321
1.1653
0.0667
1.1818
110
1.0089
0.2942
1.5446
0.2751
0.5534
1.1208
0.0891
1.1399
120
0.9625
0.3101
1.4998
0.2879
0.5716
1.0695
0.1089
1.0917
130
0.9091
0.3224
1.4485
0.2964
0.5864
1.0099
0.1258
1.0358
140
0.8466
0.3301
1.3890
0.2992
0.5966
0.9391
0.1390
0.9700
150
0.7714
0.3320
1.3182
0.2941
0.6010
0.8523
0.1478
0.8902
160
0.6756
0.3260
1.2299
0.2766
0.5972
0.7384
0.1515
0.7878
170
0.5367
0.3097
1.1068
0.2343
0.5826
0.5632
0.1527
0.6385
180
0.2500
0.3536
0.7500
0.0000
0.7500
0.0000
0.2500
0.8536
Tableau lia.
Zi
Z2
Z.S
Z4
X,
Vi
^2
y2
Xg
Vs
X,
2/4
+ 0.4315
+ 0.3021
— 0.9832
- 0.1734
— 0.5896
+ 0.6434
+ 0.1585
— 0.5527
0.3650
0.3063
0.8938
0.1177
0.5775
0.4846
0.1734
0.4765
0.3174
0.3174
0.8326
0.0728
0.5766
0.4038
0.1959
0.4202
0.2799
0.3335
0.5815
0.5917
0.6071
0.6283
0.6569
0.6966
0.3357
0.2759
0.2209
0.1684
0.1158
0.0609
0.2209
0.3825
XV.
(Zs. Vermessgsw. Stuttgart., 15, 1886, 141 — 144.)
Môglichkeit oder Unmôglichkeit einer Pothenotischen
Bestimmung ^).
Um das Kriterium der Môglichkeit einfach darzustellen, nenne ich
das gegebene Dreieck ABC Fig. 1. und Fig. 2. und zugleich sollen
die Winkel dièses Dreiecks bezeichnet werden :
BAC = A, CBA = B, ACB = C,
Fig. 1. Fig. 2. Fig. 3.
doch muss noch der Drehungssinn festgesetzt werden, damit dièse
Winkel eindeutig bestimmt seien. Dieser Drehungssinn fur die
Winkel messung soll so angenommen werden, wie der Sehstrahl PB
beim Uebergang nach PC gedreht werden muss, ohne PA zu treffen.
In diesem Sinne sei nach Fig. 8.
Winkel BPC = a,
CPA = ^,
„ APB = y.
Die Winkel a, ^, y werden hiernach zwischen 0° und 360° liegen,
und es ist
a-\- ^-\-y = 860°.
*) Cette note fait partie d'un mémoire publié par M. Jordan qui dit l'avoir reçu d'un
inconnu de Paris. On trouvera à la fin du Second Volume de cet ouvrage un extrait d'une
lettre de Stieltjes qui prouve qu'il est bien l'auteur inconnu. Red.
20
306 MÔGLICHKEIT ODER UNMÔGLICHKEIT EINEK POTHENOT, BESTIMMUNG.
Was anderseits die Winkel A, B, C betrifft, so sieht man leicht,
dass sie entweder das sind, was man schlechterdings unter Winkeln
eines Dreiecks versteht, so dass
A + B + C = 180°,
oder es sind A, B, C Winkel, welche, zu den gewôhnlichen Winkeln
des Dreieckes addirt , jedesmal 360° geben , so dass
A + B + C = 900°.
Der erste Fall trifft dann ein, wenn der Drehungssinn der Winkel
mit dem des Dreiecks ABC tibereinstimmt , der zweite Fall tritt ein ,
wenn dies nicht der Fall ist. Was hiernach unterDrehungssinn eines
Dreiecks ABC zu verstehen ist , wird einleuchtend sein.
Fig. 1. hat negativen Drehungssinn , Fig. 2. hat positiven Drehungs-
sinn. Nach diesen Festsetzungen betrefifs der Winkel
a, ^, y A, B, C
kann man Folgendes sagen :
Die Pothenotische Aufgabe ist physisch môglich oder unmôglich,
je nachdem von den drei Differenzen
a — A, ^ — B, y — G
eine gerade (0 oder 2) oder eine ungerade (1 oder 3) Anzahl negativ
ist. Sollte eine der Differenzen a — A, ^ — B, y — C Null sein, so
ist die Afgabe unmôglich (selbst nach Vertauschung einer Richtung
mit der entgegengesetzten) , sind zwei Null, so ist die Aufgabe
gânzlich unbestimmt, und der gesuchte Punkt kann willkûrlich auf
einem Bogen des um ABC beschriebenen Kreises genommen werden.
(Aile drei Differenzen kônnen nicht Null werden, da ihre Summe
ja keinesfalls gleich Null ist)
Die Bestimmung der Winkel A, B, C wird zweideutig, wenn die
drei Punkte ABC auf einer Geraden liegen. Nehmen wir z. B. fur
B den mittlern Punkt, so findet man in diesem Fall:
entweder A =: 0°, oder A = 360°,
B = 180°, B = 180°,
C= 0°, C = 360°,
entsprechend der Unbestimmtheit des Drehungssinnes des Dreieckes
MÔGLICHKEIT ODER UNMÔGLICHKEIT EINER POTHENOT. BESTIMMUNG. 307
ABC. Dièse Zweideutigkeit hat jedoch keinen Einfluss auf das an-
gegebene Kriterium , denn man hat zu untersuchen :
a , oder a — 360°,
/5— 180°, /?— 180°, •
y, r-360°
und da a > 0, 7 > 0, a — 360° < 0, }' — 360° < 0, so findet man in dem
einen wie in dem anderen Falle immer, dass die Aufgabe
môglich far ^ > 180°,
unmôglich far /5 < 180° ist,
wie auch leicht unmittelbar einzusehen ist.
XVI.
(Bill. Sci. Math., Paris, sér. 2, 7, 1883, 139—142.)
Sur la théorie des résidus biquadratiques.
(Extrait d'une Lettre adressée à M. Hermite.)
Vous savez que, dans son second Mémoire, Gauss à déterminé
le caractère biquadratique du nombre 1 + z par rapport à un nombre
premier M, ou, d'après Jacobi , la valeur du symbole (( 'X 11. Cette
détermination se fonde sur le théorème de l'art 71, théorème ana-
logue à celui qui sert de fondement à la troisième et à la cinquième
des démonstrations de Gauss , de la loi de réciprocité pour les résidus
quadratiques.
Or j'ai remarqué qu'on peut obtenir la valeur de (( TT 11 à l'aide
de raisonnements complètement analogues à ceux que Gauss déve-
loppe dans son premier Mémoire , pour obtenir le caractère du
nombre 2 dans la théorie réelle.
Il suffira de considérer le cas
M.^a-\-bi, a^^l (mod4),
6^0, ju = aa-\-bb = 8n-\-l.
D'après la valeur du symbole (I ^j] . on peut diviser les /^ — 1
nombres incongrus k, non divisibles par M, en quatre classes ,
savoir :
SUR LA THÉORIE DES RÉSIDUS BIQUADRATIQUES. 309
(A)
a, a', a", .
•• ((!))='•
(B)
/», ^', r> .
••a=^-
(C)
y, y', y", .
••(œ)=-'-
(D)
ô, à', ô", .
■■m=-i-
Alors est évident qu'on a identiquement
A*-l
(x — ^)(a; — (5')(a; — ^")...:^x * +z (modM),
d'où l'on tire, en posant x^= — 1,
(1 + a) (1 + d') (1 + ô") . . . = 1 + z (mod M);
ce qui fait voir qu'il suffira de savoir combien des nombres 1 + ^
1 -f <3', 1 + ^"; ••• appartiennent aux classes (A), (B), (C), (D).
Si l'on désigne maintenant par
(0,0) (0,1) (0,2) (0,3)
(1,0) (1.1) (1,2) (1,3)
(2,0) (2,1) (2,2) (2.3)
(3,0) (3,1) (3,2) (3,3)
(S)
combien des nombres
1 + a, 1 + a', 1 + a", ...
1+/5, 1+^', i+r. ...
1 + 7,1 + /,! + /',...
1 + ^, l + (5', 1 + ^", ...
appartiennent à (A), (B), (C), (D), on pourra déterminer les valeurs
de tous ces nombres {i, k) à l'aide des considérations employées par
Gauss dans son premier Mémoire.
Dans le cas actuel , on trouve que le tableau (S) a la forme sui-
vante
, . , , Sh =4:W — 3a — 5,
k j k l
] l m m ^^ ^ . / aa + 66 — 1\
8A;— 4w+a — 1, (w = '—^ »•
SI =4w+ a + 26 — 1,
k m k m
l m m j
8m = 4w — a + 1.
810 SUR LA THÉORIE DES RÉSIDUS BIQUADRATIQUES.
On a maintenant
Or (mod4),
donc
Enfin
Les autres cas peuvent se traiter d'une manière analogue.
La même méthode réussit pour déterminer le caractère cubique
de 1 — Q, et encore pour trouver les théorèmes sur le nombre 2
dans la théorie des résidus quadratiques. Dans ce dernier cas , après
avoir déterminé les nombres {i, A;), il n'est pas nécessaire de recourir
à ces congruences identiques, comme plus haut celle-ci
M — 1
{x — ô){x — ô') {x — ô") ... = x ^ -\-i (mod M).
Mais on arrive au but par une considération arithmétique, qui
ne diffère pas de celle que Gauss a employée dans son premier
Mémoire pour le nombre 2, dans la théorie des résidus biquadra-
tiques. On a, de cette manière, une démonstration assez simple et
purement arithmétique de ces théorèmes
a^ — 1
_-a + l
ô -
- 4 '
62
ô
= ±i&;
n^ii-
•a4-l + 26).
— m — j -
= l{a -1-6).
ff^+^'V
1 _,-j(a-l_6)^
(f)=
+ 1, p = Sn±l,
— 1, p=:8w±3.
XVII.
(Paris, C.-R. Acad. Sci. , 96, 1883. 764-766)
Sur le nombre des diviseurs d'un nombre entier.
(Note présentée par M. Hermite.)
Désignons par f{n) le nombre des diviseurs de w; nous allons faire
voir qu'on a alors
(1) ,.^rAi) + /(2) + ...+A«)_,„gi ^.
n = aoL W J
A est une constante égale à — 1 — 2r'(l); sa valeur numérique est
A = 0,154431329803...,
Voici quelques valeurs de la fonction qui figure dans le premier
membre de la formule (1)
w=100, A =0,2148 ,
w = 1000, A = 0,161245 ,
n = 100000 , A = 0,154574535 ....
En considérant l'ensemble des nombres 1, 2, ..., n avec leurs
diviseurs , on voit facilement que le nombre de fois que p^ny figure
est e(^j; donc
Nommons r^ rg, rg, ... les restes que l'on obtient en divisant n
successivement par w, n — 1 , n — 2 , . . . , en sorte que rk^n — k;
alors
M ** -1 "
Ze-=>»E--E '"".1
■V ^P' ■V -P ■^ n — p + 1
312 SUR LE NOMBRE DES DIVISEURS D'UN NOMBRE ENTIER.
et ensuite
m+m+.-.+m^ f^j, _f. r
n ^ ^p ^ ^ n{n — p-\-l)
Or on sait que
^^y,^-^ogn = -r'{l),
et dès lors nous n'aurons plus qu'à démontrer que l'expression
^^^ 2-' w(w -"p + 1)
converge vers une limite déterminée.
Or cela est facile, en remarquant que l'on a
»-^l ri
lim
n = oo
" V2; ri , .
'^ Tp / xdx . -_ 1
2^ n{n-p-\-\)-j, Y^x-^''^^ T'
1- x:^ rp xdx , s 1
"-Eg)4-i
n-Eg) ri
,. ^e:^ rp / oîda; , 4 1
n-E(^) + l
en sorte que l'on obtient pour la limite de l'expression (2)
00 -j
ou bien, en posant Sa= 7 ,-ir>
Maintenant, on considère le développement
logr(l-a;) = -r'(l)a;+^S2x2 + JS3ar^ + JS,a;* + ...;
SUR LE NOMBRE DES DIVISEURS D'UN NOMBRE ENTIER. 313
en retranchant
log j-^j^ = a; + I a;2 -f- ^a;2 _|. , _ ^
on aura
logr {2- x) = - [1 + r' {i)]x -\- i{S,-i) x^ + iis,- 1)0^ -{- . . .
et , posant x=l,
i + r'(i) = i(S2-i) + i(S3-i) + ...;
donc
ce qui achève la démonstration du résultat annoncé.
XVIII.
(Paris, C.-R. Acad. Sci. , 97, 1883, 740 — 742.)
Sur l'évaluation approchée des intégrales.
(Note présentée par M. Hermite.)
Soit f{x) une fonction qui reste constamment positive quand la
variable croît de a; = a jusqu'à x = b, et considérons l'intégrale
(1) /V(^)^(^)
dx.
M Heine, dans son beau Traité des fonctions sphériques, a dé-
montré que, si ^{x) est un polynôme du degré 2n — 1 au plus, la
valeur de cette intégrale peut s'obtenir à l'aide de n valeurs spéciales,
convenablement choisies, f (x^), ^{x^), ...,^{Xn). Les valeurs x^, X2,>..,0Cn
sont toutes différentes entre elles et s'obtiennent comme les racines
d'une équation du degré n,
^ (a;) = ic" + «1 a;" + i + . . . = 0 ,
dont les coefficients dépendent des 2n constantes
Ct= x^f{x)dx.
{t = 0, 1, 2, ..., 2w— 1)
La valeur de l'intégrale (1) se présente alors sous la forme
Ai^(x^) + A2 §^ (X^) + . . . + An^iXn).
<2Z{xy
bn prenant successivement
X — Xk
X — Xk
X* 'Sd (x) pour ^ (x), on
trouve
SUR L'ÉVALUATION APPROCHÉE DES INTÉGRALES. 315
(3) jj{x)y^^\^dx = [<^'{xH)fA,,
(4) r x^f{x)fK,ix)dx = Çi.
it = 0, 1, 2, ..., w-1)
La formule (3) fait voir que les coefficients A^, Ag, . . . , An, sont tous
positifs.
Soit maintenant ê (x) une fonction qui reste continue et ne présente
qu'un nombre fini de maxima et minima entre les limites a; = a, a; =6.
On a, dans cette supposition, le développement en série
m=p.^. {^^^'),
Xk étant le polynôme connu de Legendre. Cette série , d'après ce
qu'a démontré M. Heine, est convergente uniformément pour toutes
les valeurs de x entre a et b. Il s'ensuit qu'en posant
on pourra prendre n toujours assez grand , pour que cR {x) reste con-
stamment inférieur en valeur absolue à une quantité arbitraire e.
Or on a
êix) = ^ix) + ël{x),
donc
/ nx)§{x)dx—^Akê{Xk)= fix)^{x)dx—^Ak^{Xk)i-
Ja 1 J a 1
-6 n
+ / nx)^ix)dx—^Ak^{Xk).
J a 1
316 SUR l'évaluation approchée des intégrales.
Mais, ^ix) étant un polynôme du degré 2n — 1, on a
/ f{x)^ix)dx — ^Ak^{Xh) = 0.
J a 1
De plus, les nombres A^, Ag, . . ., An étant positifs et leur somme
.b
égale à / f{x)dx, on a
J a
n ^b
^Ak^iXkXe / f{x)dx;
1 J a
de même,
f f{x) ^{x)dx<£ j f{x) d x.
On en conclut que la différence
rh n
/ f{x)ê{x)dx—^kk<è{.Xk)
l'b n
est inférieure k 2e f{x)dx. En prenant donc ^ A^ ê (:rfc) pour la
J a 1
valeur approchée de / f{x)^{x)dx, l'erreur peut devenir aussi petite
qu'on veut par une détermination convenable du nombre n.
XIX.
(Paris, C.-R. Acad. Sci. , 97, 1883, 798—799.)
Sur l'évaluation approchée des intégrales.
(Note présentée par M. Hermite.)
Voici encore quelques autres circonstances qui se rattachent à la
remarque que A* est positif. Considérons l'expression
Z(^w._A
JaX — Z X ^ X^ ^ 0^ *
On sait que le polynôme ^{x) qui détermine les valeurs a^i, X2,
. . , Xn est le dénominateur de la réduite d'ordre n de la fraction
continue
(5) . . . û = -^ y
X — ttQ
X — Oi
jo — ao
Posons
Po = 0, Qo=l,
Pi = Co, Qi = a; — ao,
P2 = (ic - ai) Pi — Al Po , Q2 = (a; — «i) Qi — ^1 Qo ,
P3 = (x-a2)P2->l2Pi, Q3 = (a; — a2)Q2 — A2Q1,
j • • • >
alors 0L(a;) = Qn et
(6) p„=/-'Q^_r^^(,)rf,,
J a X — z
(7) . . . . q,,a-Vr.= Ç ^^f{z)az.
318 SUR l'évaluation approchée des intégrales.
En faisant attention aux équations (4), cette dernière formule fait
bien voir que le développement de Q„ il — Fn suivant les puissances
descendantes de x commence par un terme en x-"-'^.
La comparaison de (2) et (6) donne
Q'n {Xk) Ak = ?n (Xk).
Si l'on suppose Xi > iCg > a^g . . . , les valeurs Q'n(Xi), Q'n (3^2)» • • se-
ront alternativement positives et négatives. Âk étant positif, il s'en-
suit que de même P„(icJ, P„(a:2), ... seront alternativement positifs
et négatifs. Donc les racines de l'équation
ï'n{x) = 0
séparent celles de l'équation
En posant x = Xi, x = X2, ... dans la relation connue
P„ (x) Qn-iix) — P„_ 1 (a;) Q„ (ic) = Co Al A2 . . . A„_i ,
on verra facilement que, de même, les racines de Qn-i{x) = 0 sé-
parent celles de Qw(a;) = 0 et, déplus, que Co^^ Ag . . . A„_i est positif.
Cette conclusion subsistant pour toutes les valeurs de w, on voit
que Al , A2 , A3 , ... sont tous positifs.
Considérons encore la relation
Qn={x — an-l)Qn-l — A„_i Qn-2,
d'où
0 = (aji — a„_ 1) Q„_ 1 (aji) — A„_ 1 Q„_ 2 (^1) ,
0 = {Xn — an-l)Qn-l {Xn) — A„_ l Qn- 2 {oCn)-
On voit facilement que Qn-i{Xi) et Q„_2(iCi) sont positifs, tandis
que Qn-\{xn) et Q/,-2 W sont de signes contraires II s'ensuit que a„_i
est compris entre x^ et Xn-
En somme, nous pouvons affirmer que dans le développement en
fraction continue (5), A^, A2, Ag, . . . sont tous positifs, tandis que Oq, a^ ,
Og, ... ont des valeurs comprises entre a et b.
XX.
(Paris, C.-R. Acad. Sci., 97, 1883, 889—892.)
Sur quelques théorèmes arithmétiques.
(Extrait d'une lettre adressée à M. Hermite.)
Soit f{n) le nombre des solutions de l'équation
lorsque n est impair on a, comme on sait,
f{2n)=f{n);
cela étant , vous trouvez , pour w = 4 < -f- 1 .
A2.1)+/'(2.5) + ... + (2.n)
fjt- étant l'entier impair immédiatement au dessous de Vn ou égal à Vn.
On a aussi , en supposant w = 8 ^ + 1 >
Al)+A9)+/'(17) + ...+/(n)
fi étant l'entier impair immédiatement au-dessous de Vn ou égal à Vn^
et encore, pour w = 8^ + 5,
/•(6) + A13)+A21) + ...+/'(w)
OÙ
320 SUR QUELQUES THÉORÈMES ARITHMÉTIQUES.
Soit en second lieu <p {x) la somme des diviseurs impairs de x, j'obtiens
9P(l) + ç.(5) + ... + 9'(4«+l)
où
(A; = 0, 1, 2, 8, ...)
En écrivant ceci , je crois voir que cette formule rentrera dans la
vôtre à l'aide de la relation
On peut écrire encore
9p(l) + 9.(5) + ...+9.(w)
(r=l, 3, 5, 7, ...)
J'obtiens encore
9^(1) + 9.(3) + 9.(5) + ... + 9.(2 w-l)
(A; = 0, 1, 2, 3, ...)
On a enfin
9.(1) + 9^(2) + ... +9.(«) = e(^j + 3e(-|) + 5e(|) + ...,
puis, au moyen d'une transformation analogue à celle que vous avez
faite de la somme
MT)-Mf) + -.
on trouve
<?'(!) + 9'(2) + ... + 9'(w) = S + Si -A3
en posant
s = e(|) + 3e(|) + ... + (..-oe(,-^),
s, = E^ C^-l) + E^ («4-^) + . . . + E^ (?^^) ,
SUR QUELQUES THÉORÈMES ARITHMÉTIQUES. 821
Je me suis aussi occupé de la fonction F(w), exprimant le nombre
des représentations de n, par la forme x^-\-2y'^. La considération de
la série
■21*
donne d'abord la formule
Fin) = 2{d, + d,-d,-d,),
ob. 0^1,^3,^5, d^ signifient les nombres des diviseurs de n qui sont com-
pris dans les formes
8A+1, 8A;-f8, 8k-\-5, 8/c + 7,
et l'on en conclut
F(l) + F(2) + ... + F(«) = 2[E(|) + E(f)-E(|-)-E(|-) + ..|.
Cela posé, j'obtiens, par une transformation analogue à la vôtre,
la formule suivante. Soit , pour abréger ,
de sorte qu'on ait
(p{x) = 2 sin^ — ,
<p{ik-\-l) = l,
<p{ik-\-2) = 2,
cp{ik + S) = l,
cpi^k) =0,
puis
et posons
S = E(|)+E(f)-E(|)-E(^)+.±E(^),
S.= .[E('4-)]4-.K»-t-^)]+ +.[E(»+i)].
nous aurons
F(l) + F(2)4-... + F(w) = 2[S + S,-À<^a)].
21
XXI.
(Paris, C-R. Acad. Sci., 97, 1883, 981—982.)
Sur la décomposition d'un nombre en cinq carrés.
(Extrait d'une lettre adressée à M. Hermite.)
Permettez moi de vous communiquer un résultat que je crois nou-
veau , sur la décomposition d'un nombre Née 5, mod 8, en cinq carrés
irnpairs et positifs En désignant par 95 (m) la somme des diviseurs
de m, le nombre de ces décompositions est
C'est une conséquence facile du théorème de Jacobi concernant
la décomposition en quatre carrés impairs et positifs d'un nombre
= 4, mod 8; théorème qu'on peut maintenant considérer comme élé-
mentaire. Or je trouve que ce même nombre des représentations
de N = 5, mod 8, par cinq carrés peut s'exprimer aussi par cette nou-
velle formule
/•(N) 4- 2/-(N — 8 . 12) + 2/'(N — 8 . 22) 4- 2/'(N — 8 . 82) + . . .
La fonction f{m) est définie de la manière suivante :
4Aw)=-S(-l)~^d,
d représentant successivement tous les diviseurs de m = 5, mod 8.
C'est, comme vous le voyez, un théorème analogue à celui qui
a lieu pour la décomposition d'un nombre 8 A; -^ 8 en trois carrés
SUR LA DÉCOMPOSITION D'UN NOMBRE EN CINQ CARRÉS. 323
impairs; mais je ne sais si ce théorème peut aussi se tirer de la
théorie des fonctions elliptiques ^).
1) Voici, pour la décomposition en cinq carrés impairs et positifs, une proposition que
donnent les formules de la théorie des fonctions elliptiques. Soit « un entier i^ 1 , mod4;
posons, de toutes les manières possibles, n^=^dd sous la condition rf'>3</; je considérerai
la fonction
qui peut être définie par développement
3r(5)ir + Z(9)ir2 + ... 4- Z(4.« 4- l)?-» + . . .
_ g 4^8 7^21 (3w — 2)y'»(3'n-2)
— 4_^ + l_^3 +1_^5 +•••+ 1_^2«-1 +•••
. _^_4. __£!_. _£^i I g'"(«'»-2)
Cela étant , le nombre des décompositions d'un entier N ^ 5 , mod 8 , s'obtient par la
formule
J ;if (N) + 3f (N — 22) + Z (N — 42) 4- Z (N — 62) + . . .
Supposons , par exemple , N m 45 , ce qui donne
JZ(45) = 9, Z(41)=:ll, Z(29) = 8, ;f(9) = 3;
nous aurons 31 pour le nombre cherché, et c'est bien en effet ce qu'on trouve par le
développement
(l^^+ Vf^ l^^ + ...)5 = i.f(l + 5^2 + 405^44. 15^0 4_ 25^8 + 31 ^10 + ...).
(C. H.)
XXII.
(Paris, C.-R. Acad Sci. , 97, 1883, 1358 — 1359.
Sur un théorème de Liouville.
(Note, présentée par M. Hermite.)
Dans le Tome XIV (2^ série, année 1869, p. 1) du Journal de Ma-
thématiques pures et appliquées , Liouville , dans une Lettre adressée
à M. Besge, a donné une relation remarquable entre les nombres
de classes de formes quadratiques
A l'aide de considérations arithmétiques, j'ai pu établir d'autres
relations d'une forme analogue, et je me suis aperçu après qu'on
peut établir aussi toutes ces formules à l'aide de la théorie des
fonctions elliptiques Les théorèmes I — IV qui vont suivre sont ceux
que je connais jusqu'à présent; le premier théorème est celui qui
a été donné par Liouville
Comme je l'ai déjà dit, on peut vérifier ces théorèmes à l'aide
de formules tirées de la théorie des fonctions elliptiques; mais déjà,
dans le cas du théorème IV, cette vérification demande des calculs
assez prolixes.
Désignons généralement par F (n) le nombre des classes de formes
quadratiques de déterminant — w, dont un au moins des coefficients
extrêmes est impair. Toutefois, lorsque n est un carré impair, il
faudra diminuer de |- le nombre de ces classes pour avoir F(w); ainsi
F (1) = i , F (9) = 2| , . . . Cette convention , qui simplifie les formules ,
a été introduite par M Kronecker.
Ensuite, dans les sommations suivantes, il faudra attribuer à s les
valeurs 1, 8, 5, 7, 9, ..., et arrêter les séries lorsque , dans le terme
suivant, l'argument de la fonction F deviendrait négatif.
SUR UN THÉORÈME DE M. LIOUVILLE. 325
Cela posé , on a les théorèmes suivants :
Théorème I. — Soit N un nombre positif impair; alors
8 — 1
2:(— 1) 2 sF(4N — s2) = 2:(rc2_2/2)
La sommation, dans le second membre, a rapport à toutes les
solutions de N = rc2 -j- 2/^, x étant impair et positif, y étant quelconque
positif, nul ou négatif
Théorème IL — Soit N un nombre positif quelconque; alors
«—1 N(N-l)
2£(— 1) 2 sF(4N — 2s2) = (— 1) 2 ^{x^ — ^y'^).
La sommation, dans le second membre, a rapport à toutes les
solutions de N = a;2 -f- 2 2/2, x et y étant des nombres entiers quelcon-
ques, positifs, nuls ou négatifs
Théorème IIL - Soit N un nombre positif de la forme 8A;4-3; alors
22(-l) 2 -^ 8 5f(^^'-2^J=(— 1) 8 ^{x^ — ^y').
La sommation , dans le second membre , a rapport à toutes les
solutions de N = a;2-|-2y2^ ^ et y étant positifs et impairs.
Théorème IV. — Soit N un nombre positif quelconque; alors
i:(— 1) 2 sF(16N — 3s2) = S(a;2_32/2).
La sommation, dans le second membre, a rapport à toutes les
solutions de N=a^-|"3«/^, x et y étant des nombres entiers quel-
conques, positifs, nuls ou négatifs , soumis seulement à cette restric-
tion que x-\-y doit être impair.
Nous devons ajouter que, dans toutes ces formules, le second
membre devient égal à zéro lorsqu'il n'y a pas de représentation de
N par la forme quadratique indiquée. Cela a lieu, par exemple, dans
le premier théorème, lorsque N est de la forme 4/c-f-3, et dans le
quatrième, lorsque N est pair.
XXIII.
(Paris, C.-R. Acad. Sci. , 97, 1883, 141 5 — 1418.
Sur un théorème de M. Liouville.
(Note, présentée par M. Hermite.)
Je me propose de montrer comment la théorie des fonctions ellip-
tiques conduit au théorème de M Liouville, qui a été l'objet de ma
précédente Note.
En désignant par K et E les intégrales complètes de première et
de seconde espèce , les formules relatives au développement des fonc-
tions de seconde espèce donnent
^^^ ^ K(K-E)_,g-4g^ + 9g«-16gi«4-25g^^-...
71
2 " 1 0/ï_L0/>4 0/t9l_ »
1 — 2g + 2g* — 22» + ...
m 4KE_„g^ + 9g^ + 25g* +...
En remplaçant g par g* dans cette dernière équation, on trouvera
(a;=l, 8, 5, 7, . . .)
Combinant cette formule avec (1), on aura
(4) . . . 2iy2g,. ^K^K^fd ^K¥')E- 1/^^(1 -f A;' 1/F)K],
(t/ = 0, ±2, ±4, ±6, ...)
et d'ailleurs, comme on sait,
(a;=l, 8, 5, 7, ...)
SUR UN THÉORÈME DE M. LIOUVILLE. 327
(6) i:qy' = {i + Vk')y~
(2/ = 0, ±2, ±4, ...)
Les formules (3), (4), (5), (6) donnent maintenant
173
2 2 (:z;2 — 2/2) q^'+y = ^^ h^ V k'
<a 71
OU bien
OT73
(7) . . \Q^J:{x^-y^)q-'+y'=-^k^Vk' = e{q)^,{q)B,{q),
en posant
B{q) = l-2qJ^2q^-2q^ + ...=:^Y-^,
eM= 2^ + 2/ + . .. =f-^-^
e,{q)=i-\.2q-\-2q' + 2q^ + ... = \^^^-
Or on connaît ce développement
e{q)e,{q)e,{q) = 2{q^-Sq^-{-bq'^-.:),
et, d'après une formule due à M. Hermite,
00 8w4-3
el{q) = 8^F{Sn + S)q ' . .
0
L'équation (7) peut donc s'écrire sous la forme suivante
x — l X* 00 8n + 3
2(— 1) '^ xq~^^F{8n-\-S)q ' =^^{x^ — y^jq'^'+y'
0
où il faut poser x = l, S, 5, 7, ... et y = 0, ±2, ±4, ...
Cette formule donne immédiatement le théorème de M. Liouville
en comparant dans les deux membres les coefficients des mêmes
puissances de q.
Remarquons que les relations connues
eiq)e^{q) = eHq^) et el{q) = 2e^{q-')0^iç[')
donnent
e (q) et iq) e, (q) = 4 [Q {q^) 0, {q') S, iq^)f = 16^ {- \)'~^ x q^\ .
328 SUR UN THÉORÈME DE M. LIOUVILLE.
On aurait donc pu établir la formule (7) un peu plus simplement en
x'
formant directement le carré de cette série 2 (— 1) ^ xq^] mais
les formules (3) et (4), dont nous nous sommes servi, peuvent être
utiles dans d'autres cas.
Ajoutons encore aux théorèmes déjà énoncés les trois suivants:
Théorème V. — Soit N un nombre positif de la forme 8 A; -{-5; alors
Sj-l
82(— 1) 2 SF(N — 2s2)=:2(a;2_y2^.
La sommation, dans le second membre, a rapport à toutes les
solutions de l'équation 2 N = o;'^ -f 2/2, x^ étant un carré de la forme
16 A; 4- 9 et, par suite, y^ un carré de la forme 8k-{-l.
Théorème VI. — Soit N un nombre positif de la forme 8 A; 4- 1 ; alors
a — 1 5«-l
2i:(— 1) 2+ 8 5F(2N — 62) = 5:(_i)y(a;2_8î/2).
La sommation, dans le second membre, doit s'étendre à toutes
les solutions de l'équation 'N = x^-\-8y^, x étant positif et impair,
y un nombre quelconque, positif, nul ou négatif.
Théorème VII. — Soit N un nombre de la forme 8/c-f 5; alors
3 — 1 s»— 1
25:(— 1) 2 + 8 sF(2N — s2) = 2(a;2 — î/2).
La sommation, dans le second membre, doit s'étendre à toutes
les solutions de l'équation 2 N = ri;2 -f î/2, x^ étant un carré de la forme
8 A; --[- 9 , î/2 un carré de la forme 8 A; + 1-
Dans ces formules , le second membre devient égal à zéro toutes
les fois qu'il n'y a pas de représentation de 2 N ou de N par la forme
indiquée.
XXIV.
(Paris, C.-R. Acad. Sci. . 97, 1883, 1545 — 1547.)
Sur le nombre de décompositions d'un entier en cinq carrés.
(Extrait d'une lettre adressée à M. Hermite.)
Dans votre dernière lettre vous m'avez communiqué ces deux
formules
C'est en étudiant votre première formule (a) que j'ai été amené
à considérer de nouveau cette fonction F (w) qui représente le nombre
total des solutions de n = x^ -\- y^ -\- z'^ -\- 1'^ -\- u^.
Le nombre des solutions de n = x^ -\- y^ -\- z^ -\- t'^ étant
8[2 + (-l)"]ç,(w),
<p{n) désignant la somme des diviseurs impairs de w, il s'ensuit
F (w) = 16 [9? (w) -h 2 «?? (n — 1) 4- 2 9? (w — 4) + 2 9> (w — 9) -j- . . .]
+ 8 (— 1)" [ç) (w) — 2 9) (n — 1) + 2 çj (w — 4) — 2 <p (n — 9) 4- . . .].
Il est essentiel d'observer que , lorsque n est un carré , il faut en-
core tenir compte du terme 93 (0) = ^.
En posant
A (w) = 9> (n) + 2 «^ (w — 4) + 2 (?) (n — 16) -f- 2 9^ (n — 36) -f . . . ,
^^)'B(n) = 9'(n — 1)4- 9'(w — 9)4- 9>(w — 25)4- 9'(w — 49)4"
330 SUR LE NOMBRE DE DÉCOMPOSITIONS D'UN ENTIER EN CINQ CARRÉS.
nous aurons donc
F (n) = 24 A (w) + 16 B (n) (w pair) ,
^^^ IF(w)= 8A(w)-f 48B(w) (w impair).
Maintenant votre formule (a) donne aisément les relations suivantes
A(w) = 4B(w) (w = 3, mocl4),
A (w) = 8 B (w) (w = 5 , mod 8) ,
A(n)= B(w) (w = 2, mod 4).
Il s'ensuit donc une simplification de l'expression de F (n) dans les
formules (2). Or je trouve qu'une telle réduction est toujours possible.
On peut, en effet, exprimer toujours ces deux fonctions A (w), B (n) l'une
par l'autre. Voici, à cet effet, les formules
A(w)=: 4B(n) (weee3, mod4),
A(n) = 24B(w) (n = l, mod 8), '
A{n)= 8B(n) (w = 5, mod8), , - ,
8^A{n) = ^'^-^i^B{n) (m = 22* + 1w, iweeeI, mod2, A;=0,l,2,3,...),
(3)f 9,3k + l\K
8''A{n) = ^-B(w) (w = 4*w, m = 3, mod4, Â; = l, 2, 3, ...),
Q OSk+2 F.
6.8*A(n)==^^ — ^ -B{n) [_n = i^m, w = l, modS, A; = 1, 2, 3, ...),
\2 . 8* A (w) = ?!.!i!_+_? B (^) (w = 4* m, m^5, mod8, A: = 1, 2, 3, . . .).
Une réduction ultérieure de l'expression de F (w) est possible à
l'aide de ces relations
(4)
B (4 w) == 16 B (n) (w = 3,mod4),
B(4w) — 96B(w) (w = l, mod 8),
(B(4w) = 32B(w) (n = 5, mod 8),
,B(4w)= 8B(n) (w pair).
On trouvera de cette manière
F (24^^ . m) = ^Ofik) B (2 m) (m = 1 , mod 2),
F (4*. m) =: 80fik)B(m) (m = S, mod 4),
(5) . . .(F(4*.m) =:240[ 2/"(A;) — l]B(m) (mEEEl, modS),
T(4*,m) = 16[10/'(/(;) — 3]B(m) (?n = 5, modS),
k = 0, 1, 2, 3, ...,
SUR LE NOMBRE DE DÉCOMPOSITIONS D'UN ENTIER EN CINQ CARRÉS. 33 1
OÙ j'ai posé, pour abréger,
donc
/•(0) = 1. /•(1) = 5, /(2) = 87, ..., nk+l) = 8nk)-S.
On voit par conséquent qu'on peut dans tous les cas exprimer
F(4w) par F(n).
Ayant construit une table de la fonction B (w) pour les premières
centaines, j'ai observé qu'on a toujours, p étant un nombre premier
impair ,
Ayant vérifié cette formule dans un grand nombre de cas , je n'ai
pas de doute qu'elle ne soit vraie généralement, quoique je ne l'aie
pas encore démontré. On a donc aussi
F(p2) = io(p3__p_|_i).
Peut-être a-t-on encore
et
F (p*) = 10 [p ip^ - 1) (p3 4- 1) 4- IL
mais je n'ai vérifié cette relation que pour p = 3, 5 et 7 : les calculs
deviennent trop laborieux.
XXV.
(Amsterdam, Versl. K. Akad. Wet. , i^sect. , sér. 2, 19
1884, 105— m.)
Over de quadratische ontbinding van priemgetallen van
den vorm 3/7-f-l.
Elle priemgetal ^ = 3 w -f- 1 kaii voorgesteld worden als de som
van eene volkomen tweede macht en het drievoud van eene andere
volkomen tweede macht
(1) p = cc + Sdd
Het viervoud van zulk een priemgetal kan verder steeds aldus
voorgesteld worden
(2) 4p = AA4-27BB
Elk dezer ontbindingen is slechts op ééne wijze mogelijk. Dit
ailes valt gemakkelijk uit de algemeene théorie der quadratische
vormen af te leiden.
In het tweede deel van Crelle's Journal heeft Jacobi , in de ver-
handeling ^de residuis cubicis commentatio numerosa" zonder bewijs
aangegeven, dat de waarde van A in (2) gelijk is aan de rest, die
men verkrijgt bij de deeling van het geheele getal
(n+l)(n + 2)(w + 3)...(2n)
1.2.3...W
door p, waarbij men deze rest tusschen — i p en -\- Ip te kiezen
heeft. Hierbij doet zich dan nog de merkwaardige omstandigheid
voor, dat A-|- 1, bij deze bepaling van A, steeds door 3 deelbaar is.
OVER DE QUADRATISCHE ONTBINDING VAN PRIEMGETALLEN. 833
Voor de eerste priemgetallen verkrijgt men bijv. :
p= 7
n= 2
A = — 1
28= 12 + 27.12
p=13
n= 4
A = 4- 5
52= 52 + 27.12
p=\Q
w= 6
A = — 7
76= 72 + 27.12
p = 31
w=10
A = — 4
124= 42 + 27.22
p=:37
n=\2
A = -j-ll
148=112 + 27.12
p=:43
w=14
A = + 8
172= 82 + 27.22
p = Ql
w = 20
A = - 1
244= 12 + 27.32
Het bewijs van deze eigenschap , die in een nauw verband staat
met de eigenschappen der algebraïsche vergelijking, van welke de
verdeeling van den cirkelomtrek in p deelen afhangt, is te vinden
in Cauchy's Mémoire sur la théorie des nombres (Mém. de l'Acad.
d. Se, t. 17, 1840) en bij Lebesgue in het Journal de Liouville
t. 2, p. 279. Voor verdere bijzonderheden is te verwijzen naar
Bachmann: Die Lehre von der Kreistheilung, p. 144.
Op andere wijze is dit theorema van Jacobi ook afgeleid in de
verhandeling „Bijdrage tôt de théorie der derde- en vierde-machts-
resten" in het 17^* deel der Verslagen en Mededeelingen der Ko-
ninklijke Akademie van Wetenschappen en wel aldaar in art 40,
p. 416.
Aanknoopende aan de ontwikkelingen daar voorkomende , wensch
ik hier, uit het theorema van Jacobi, eene directe bepaling van den
wortel c van het enkelvoudige quadraat in (1) af te leiden; het zal
dan blijken, dat c de tusschen — \p en + ^ p gelegen rest is, die men
verkrijgt bij de deeling van het geheele getal
p.-, (n+l)(n + 2)...(2n)
1.2.3...W
door py en verder is dan c — 1 door 3 deelbaar. Bijv.:
p^ 7
n= 2
c= — 2
7 = 22 + 3.12
p=13
n= 4
c = +l
13 = 12 + 3.22
^=19
w= 6
c = + 4
19 = 42 + 3.12
p = 31
« = 10
c = — 2
31=22 + 3.32
7) = 37
n = l2
c = — 5
37 = 52 + 3.22
334 OVER DE QUADRATISCHE ONTBINDING VAN PRIEMGETALLEN.
Zij dan , evenals in de aangehaalde verhandeling , q een primitieve
derdemachtswortel der eenheid , a -\-bQ een primaire factor van p, dus
p = {a^bQ){a + bQ^) = a^ — ab-\-b\
a-\-l en 6 beiden door 8 deelbaar ; verder f een der beide wortels
van de congruentie:
l-\-x-\-x'^ = 0 (modp)
en wel f zôô gekozen , dat a-\-bf door p deelbaar is.
Volgens het boven aangehaalde theorema van Jacobi is dan
/ox o u (w + l)(w + 2)...(2n) , , ,
(3) . . . . 2a-b = — ^- ^ i;2 3...n — " (mod /?)
en verder is volgens de criteria voor het cubisch karakter van 2
wanneer b even is,
2" = / (modjp)
wanneer a even is,
2n=f^
wanneer a en 6 beiden oneven zijn. (Zie t. a. p. p. 398.)
Deze drie gevallen moeten nu afzonderlijk behandeld worden.
I. b even.
In dit geval leiden wij uit
p = a^ — ab-\-b^
af
ip = {2a — bf-\-Sb^
= {a-ibf + S{^bf.
In de vergelijking (1) kan dus genomen worden
c = -{a-lb).
Uit (3) volgt dan
, (w + l)(w + 2)...(2n) , , ,
'^^- 1 2 S...n ^"^"^^^
of wel , daar in dit geval 2" = 1 is ,
(4») .... ,^ gn-. ("+!)(» + 2).. -Ji^) ,„odp).
OVER DE QUADRATISCHE ONTBINDING VAN PRIEMGETALLEN. 335
Uit a = 2, 6 = 0. (mod3) volgt verder "
(6«) c = l (modS).
II. a even.
In dit geval schrijven wij in plaats van
16p = (2a — 4 6)2 + 3(2a)2
of
p = Ha-bf + S{ia)\
zoodat wij in (1) kunnen nemen
c=^a — b.
Nu is
(6) (a-f &/")(l + 2/) = a— 26 + (2a — &)/•= — a — & — (2a — 6)/^2 (modi))
en a-\-bf=0 (modp), derhalve
a — 2 6 = — /"(2 a — &),
zoodat uit (3) volgt
^-^^-f 1.2.3...n
of wel, daar nu /'eee2" is,
Uit a :ee 2 , 6 = 0 (mod 3) volgt verder
(5^) c = l (mod3)
m. a en 6 oneven.
In dit laatste geval bedenke men, dat
16 p = (2 a + 2 6)2 + 3 (2 a — 2 6)2
is, of
/a + 6\2 , „/a-6\2
zoodat genomen kan worden
a + 6
336 OVER DE QUADRATISCHE ONTBINDING VAN PRIEMGETALLEN.
Uit (6) volgt nu a + 6 ~ — /"^ (2 a — &) , dus geeft (3)
, , .2(w4-l)(w + 2)...(2w) , - ,
Daar nu in dit geval 2" e^ /"^ is , zoo volgt
1 . â . O • • • 7(
terwijl gemakkelijk te zien is
(5'=) CEEEl (modS).
Uit de vergelijkingen 4% 4^ 4<', 5", 5*, ô*' blijkt nu, dat men in elk
geval heeft
c,„ , (w + l)(w + 2)...(2w) , , ,
(5) c = l (mod3),
hetgeen dus het boven reeds uitgesproken theorema geeft. De con-
gruentie (4) kan men nog een anderen vorm geven. Daar n even
is, schrijve men 2m voor n, dan is
,-n.^-i(2m + l)(2m + 2)...(4m)
1 . 2 . 3 ... (2 m)
Nu is
2^ + 1 = — (49w), 2m + 3 = — (4w — 2),
2m4-ô = — (4 m — 4)... enz.
met behulp waarvan men verkrijgt
. ^.. ._J(2m + 2)(2m + 4)...(4m)]^
^ ^ 1.2. 3.;. (2m)
of na eene kleine herleiding
''^^ ^^ "^ 1.2.3. ..m
Nu is verder
23m _ 2 2 z:r:(_l) 8
en
p^ — 1 _ 9 m2 4- 3 m
8 "~ 2 *
OVER DE QUADRATISCHE ONTBINDING VAN PRIEMGETALLEN. 337
Van dezen exponent het even getal î aftrekkende, kan
men eenvoudiger schrijven
m'' — m
dus ten slotte
Deze laatste congruentie ter bepaling van c is zonder bewijs, en
zonder de hier verkregen nadere bepaling van het teeken van c , g^g^-
ven door Oltramare in het 87"*" deel der Comptes rendus de l'Acad.
d. Se, p. 735, te gelijk met meer soortgelijke.
XXV.
(Amsterdam, Versl. K. Akad. Wet. , i® sect., sér. 2, 19,
1884, 105 — iir.)
Sur la décomposition quadratique de nombres premiers
de la forme 3/7 + 1-
Chaque nombre premier p=zS7i-\-l peut être représenté par la
somme d'un carré parfait et de trois fois un deuxième carré parfait
(1) p = cc-{-Sdd
En outre, le quadruple d'un nombre premier de ce genre peut
toujours être représenté par l'expression suivante
(2) 4p=r=AA-h27BB
L'une et l'autre décomposition ne sont possibles que d'une seule
manière pour chaque nombre p. Tout ceci se déduit aisément de la
théorie générale des formes quadratiques.
Dans le deuxième tome du Journal de Crelle, Jacobi, dans son
Mémoire „de residuis cubicis commentatio numerosa" a énoncé, sans
en donner la démonstration, le théorème suivant: la valeur de A
dans l'expression (2) est égale au résidu qu'on obtient lorsqu'on
divise le nombre entier
(ri + l)(n + 2)(n-f3)...(2n)
1.2.3...n
par p; il est entendu qu'il faut prendre pour résidu un nombre com-
pris entre — ^ j? et -f |^ p. Il en résulte de plus la remarquable cir-
constance que , lorsqu'on détermine le nombre A de cette manière ,
A -|- 1 est toujours un multiple de 3.
SUR LA DÉCOMPOSITION QUADRATIQUE DE NOMBRES PREMIERS. 839
Pour les premiers nombres premiers du genre considéré on ob-
tient p. e
p= 7
n= 2
A = — 1
28 =
12 + 27.12
i?=13
w= 4
A = -f 5
52 =
52 + 27.12
p=\9
W=: 6
A==— 7
76 =
72 + 27.12
jo = 31
n=10
A=- 4
124 =
42 + 27.22
p = 37
w=12
A = +ll
148 =
112 + 27.12
p = 43
w=14
A = 4- 8
172 =
32 + 27.22
p = 61
p = 20
A = — 1
244 =
12 + 27.32.
La preuve de ce théorème, qui est étroitement lié aux propriétés
de l'équation algébrique d'où dépend la division de la circonférence
du cercle en p parties, se trouve chez Cauchy dans son Mémoire
sur la théorie des nombres (Mém. de l'Acad. d. Se, t. 17, 1840) et
chez Lebesgue dans le Journal de Liouville , t. 2 , p. 279. Pour plus
de détails je renvoie à Bachmann: Die Lehre von der Kreistheilung,
p. 144.
Une autre démonstration de ce théorème de Jacobi a été donnée
dans l'article „Contribution à la théorie des résidus cubiques et bi-
quadratiques" dans le 17'^'"« tome des Verslagen en Mededeelingen
der Koninklijke Akademie van Wetenschappen , p. 416, n*^ 40.
Je désire ici, en prenant pour point de départ les développements
contenus dans cet article, tirer du théorème de Jacobi une déter-
mination directe de la racine c du carré simple qui figure dans
l'équation (1). Il paraîtra que c est le résidu situé entre — \p et + Jp
que l'on obtient en divisant par p le nombre entier
9n-l(>^ + l)(W + 2)...
(2w)
^ 1.
,2.3...«
>
ndis que c — 1 est
un multipl
e de 3.
Par exemple
p= 7
n= 2
c = — 2
7 = 22 + 3.12
1>=13
w= 4
c = + l
13 = 12 + 3.22
p=19
n= 6
c = + 4
19 = 42 + 3.12
p = 31
w=10
c = — 2
31 = 22 + 3.32
p = 37
n= 12
c = — 5
37 = 52 + 3.22.
340 SUR LA DÉCOMPOSITION QUADRATIQUE DE NOMBRES PREMIERS.
Supposons donc, comme dans l'article cité, que g soit une racine
cubique primitive de l'unité, a-\-bQ un facteur primaire de p, et
par conséquent
p = (a -}- b q) {a -{- b Q'^) = a^ — ab -{- b\
oh a + 1 et 6 sont l'un et l'autre un multiple de 3. Supposons de
plus que f soit l'une des deux racines de la congruence
1 + ^ + ^^ == ^ ("^od P)
le nombre /"étant choisi de telle manière que a + 6/" soit divisible
par p.
D'après le théorème de Jacobi cité plus haut, on a alors
(3) . . . . 2a — b = -^ 1 2.3...n — ^^^^^^
de plus, en vertu des critères du caractère cubique du nombre 2, on a
lorsque b est pair
2" = /" imodp)
lorsque a est pair,
lorsque a et 6 sont impairs tous les deux. (Consultez la p. 398 du
mémoire cité.)
Ces trois cas doivent être considérés séparément.
I. b est pair.
En ce cas l'équation
p=:a^ — ab 4-b'^
nous conduit à
4p = (2a — 6)'^ + 362
= (a-ibf-\-S(lbT.
Dans l'équation (1) on peut donc prendre
c = — {a — ^b),
et de l'équation (3) l'on tire alors
SUR LA DÉCOMPOSITION QUADRATIQUE DE NOMBRES PREMIERS. 341
OU bien, comme dans ce cas 2"^1,
(4») .... ,^2--(-^+^Hn + 2).M2>.) („„,^,.
Des équations arEE2, 6 ee 0 (modo) on tire ensuite
(5«) 6' = 1 (modS).
II. a est pair.
Et ce cas nous remplaçons l'équation
p = a^ — ab-{-b'^
par l'équation
16 p = (2 a - 4 6)2 + 3 (2 af
ou
p = (^a-6)2 + 3(^a)2,
de sorte que dans l'équation (1) nous pouvons prendre
c = ^a — b.
Or, on a
(6) (a-f-6/")(l + 2/-)E=za — 2?> + (2a — è)/"—-» — 6 — (2a — 6)/2 (modp)
et a-\-bfEBO (modp). Par conséquent
a — 26 = — /(2a — 6).
On tire donc de l'équation (3)
ou bien, vu qu'ici /"eee 2",
(4.) .... ,^2»->('H^K«±2kM2«) (^,,^).
1 . Z . o . . . 7Z
Des équations a = 2 et 6 = 0 (mod 3) on conclut en outre
(5*) c = l (mod 3).
III. a et 6 sont impairs.
Dans ce dernier cas on a
16 p = (2a + 2 6)2 4- 3 (2a — 2 6)2,
ou bien
/a + 6\2 , o/a — ^f
342 SUR LA DÉCOMPOSITION QUADRATIQUE DE NOMBRES PREMIERS.
de sorte qu'on peut prendre
On tire maintenant de l'équation (6) a -\- b :^t. — f^i2a — 6); l'équa-
tion (3) donne donc
, ^ .., (w -f- 1) (w 4- 2) . . . {2 w) ■ , ^
Et comme en ce cas 2" - Z"^, il s'ensuit que
tandis qu'on voit aisément
(5'') cezeI (mod3).
Les équations (4«) , (4'') , (4") , (5«) , (5^) et (5") font voir qu'on a dans
tous les cas
(4) ,,.2«-.<«+4<^-+4:^2-«l imoOp)
et
(5) CE-1 (mod3),
ce qui fournit le théorème énoncé plus haut.
On peut donner encore une autre forme à la congruence (4). Comme
n est pair, on peut remplacer ce nombre par 2m; alors
, _ 02«^-l (2m + l)(2m + 2)...(4m)
^ - 1 . 2 . 3 . . . (2 w)
Or, on a
2 m -f 1 -- — (4 w) , 2 W2 + 3 = — (4 w — 2) ,
2 m -|- 5 EEE — (4 w — 4) . . . etc.
A l'aide de ces équations on obtient
, -^- . ivn 22m-i [(2 m -f 2)(2mH-4). . . (4 m)f
c-_^(_i) ^ 1.2.3..:(2w)
ou bien, après une réduction facile,
^ - ^ ^^ ■ 1 . 2 . 3 ... m
SUR LA DECOMPOSITION QUADRATIQUE DE NOMBRES PREMIERS. 343
On a de plus
23m _ 2" 2 =r= (_ 1) 8
et
1 9 m2 4- 3 m
Retranchant de cet exponent le nombre pair „ > ^^
peut
écrire
plus
simpl
ement
-1)"^
-m
î
donc
enfin
(7) . .
,,^(_
1) "
2"» — 1
(m -f- 1) (m
+ 2)..
^[5
Cette dernière congruence qui détermine le nombre c a été donnée
sans preuve par Oltramare dans le 87*®™" tome des Comptes rendus
de l'Acad. d. Se, p. 735, en même temps que d'autres formules
analogues. Mais cet auteur n'a pas déterminé le signe de c.
XXVI.
(Haarlem, Arch. Néerl. Sci. Soc Holl. , 19, 1884, 372 — 390.)
Note sur le déplacement d'un système invariable dont
un point est fixe.
1. On sait depuis Euler que ce déplacement se ramène toujours
à une rotation autour d'un axe qui reste fixe.
Plusieurs auteurs ont établi ce théorème d'une manière purement
analytique; je citerai en particulier Duhamel, qui a traité de ce
sujet dans l'introduction de son Cours de mécanique.
Si je reviens sur cette matière, c'est pour mettre en lumière une
difficulté inhérente à l'analyse suivie par Duhamel. On verra en effet
que les formules données par cet auteur pour déterminer la position
de l'axe de rotation , cessent de donner cette position dans un cas
où elle est cependant parfaitement déterminée — je parle du cas où
le déplacement se ramène à une rotation de 180°.
Soit 0 le point fixe, Ox, Oy,Oz les axes d'un système de coordon-
nées rectangulaires fixe dans l'espace, Ox^, Oy-^, Oz^ ceux d'un système
de coordonnées rectangulaires lié au système invariable. Les cosinus
des angles que forment entre eux les axes de ces deux systèmes de
coordonnées rectangulaires se trouvent réunis dans le tableau
^1
Vi
^1
X
a
b
c
y
a'
h'
c'
z
a"
b"
c"
(A)
NOTE SUR LE DÉPLACEMENT D'UN SYSTÈME INVARIABLE. 345
Ces valeurs se rapportent à la première position du système in-
variable. Pour la seconde position nous écrirons a-\-^a, b-{-b^,
. . . , c" -\- /^c" au lieu de a, b, . . . , c".
Nous supposons qu'on peut faire coïncider les directions positives
des Xi, 2/1, % avec celles des x, y, z; on sait qu'alors le détermi-
nant formé avec les neuf quantités a, b, ..., c" du tableau (A) est
égal à + 1.
Je rappelle quelques relations entre ces diverses quantités :
a = b' c" — b" c',
l==a2 + a'2 + a"2,
Q = ah-[-a'b'-\-a"b".
Pour abréger, je ferai usage d'un signe sommatoire E qui aura
rapport à trois termes, que l'on déduit de celui qui est écrit en
mettant l'accent simple et double ; p. e. , les deux dernières re-
lations sont l = 2a2, 0 = 2a&. Un chiffre placé à la suite d'une
formule indiquera le nombre total de formules analogues qu'on peut
en déduire par un changement, soit des lettres a, b, c, soit des
accents.
Il est clair qu'on a entre les quantités a + Aa, ..., c" -f A c" les
mêmes relations qu'entre a, b, ..., c". En combinant ces diverses
relations on peut en déduire un grand nombre d'autres; je réunis
ici quelques relations simples dont nous aurons surtout besoin
(1) a = b'c" — b"c', [9]
(2) 2i:aAa + SAa2 = o, [3]
(3) SaA6 + i:6Aa4-2AaA6 = 0. [3]
Existence et détermination de l'axe de rotation.
2. Cela posé, les relations
\x^aXx-\-by^-\-cz^y
(4) 2/ = a'a;i + yî/i-|-c'5?i,
\z=a"x^^b"y^^d'z^,
combinées avec les équations analogues pour la seconde position du
système, donnent
346 NOTE SUR LE DÉPLACEMENT D'UN SYSTÈME INVARIABLE.
i/iiX = Xi^ Aa -\-yiAb -\- z^ Ac,
(5) \Ay = XiAa'-\-y^Ab''^z^Ac',
\ A z = Xi A a" -\- y^ A b" -\- z^ A c" ,
en désignant par x-\- Ax, y -{- Ay , z -\- A z les coordonnées du point
considéré après le déplacement. Voyons maintenant s'il y a des points
qui n'ont pas changé de position ; on devra avoir
!0 = XiAa -\-y^Ab -{-z^Ac,
(6) \o = x^Aa' -{-y^Ab' -\-z^Ac',
\0=zx^Aa"-\-yiA b" -\- z^ A c".
Pour qu'il soit possible de satisfaire à ces relations par des valeurs
de x^, y^, z^ qui ne sont pas toutes égales à zéro, il faut et il suffit
que le déterminant
\ Aa Ab Ac
(7) D = ! A a' Ab' Ac'
I A a" Ab" Ac"
soit égal à zéro. Si cette condition est remplie, les trois plans re-
présentés par les équations (6) passent par une même ligne, l'axe
de rotation, dont la position est parfaitement déterminée, du moins
autant que les neuf mineurs du second degré de D ne sont pas tous
égaux à zéro.
Proposition I.
Le déterminant D est toujours égal à zéro.
Proposition IL
Les neuf mineurs du second degré de D sont tous égaux à zéro ,
seulement dans le cas qu'on aAa = 0, A& = 0, ...,Ac" = 0,
c'est-à-dire quand il n'y a pas de déplacement.
Désignons par Da, D^, . . • , De* les mineurs de D, en sorte qu'on a
D = XAaDa = 2A6D6=:.SAcDc
^^^ ( 0 = i: A a Dô = S A 6 De = S A c Da.
La valeur de D» est A 6' A c" — A 6" A c', mais l'équation (1) donne
A a = 6' A c" — b" Ac' -\- c" Ab' — c' Ab" -{- Ab' A c" — Ab" Ac' ,
donc
|Da=Aa —b'Ac" + b"Ac' — c"Ab'-\-c'Ab", [3]
(9) . \Da'=Aa' —b"Ac -\-b Ac" — c A b" + c" Ab, [3]
''Da- = Aa" — b A c' -\-b' Ac —c Ab + c A 6'. [3]
NOTE SUR LE DÉPLACEMENT D'UN SYSTÈME INVARIABLE. 347
On en déduit, en multipliant par A a, û a', A a" et faisant l'addition
(10) D = i: Aa''^— 2 6D6 — 2cD,. [3]
Mais en multipliant les équations (9) par a^ a\ a" on trouvera par
addition, en vertu des relations (1)
-IaDa=2aAa — 26A6 — 2:cAc,
ou bien, à cause de (2)
( S a Da = — ^ 2 A a2 -f J S A 62 -f |. s A c%
(11) , . . DôD^^H- JSAo' — |SAô2_^|1:Ac2,
(s c De = + J 2 A a^ + I £ A 62 - 1 £ A c2.
En substituant ces valeurs de S6D6, De De dans l'équation (10) on
obtient
D = 0 , c.q.f.d.
Les équations (11), qui donnent
(12) . i:aD« + i:6D6 + 2:6'Dc = i2 Aa2_j_ J2 A62-I-I SAc2,
font bien voir qu'en supposant Dn = Dô = . . . = Dc= 0 on doit avoir;
DAa^ — 0, 2 A 62 = 0, i:Ac2 = 0, donc A a = A 6 ==... = A c" =0, ce
qui est notre proposition II.
D'après la démonstration qui précède, il est bien évident que la
proposition I est une conséquence nécessaire des relations auxquelles
les quantités
a, 6, c a-]-ila,b-\-Ab,c-\-àc
a' , 6' , c et a' -\- ^ a' , b' -{- A b\ c' -\- A c'
a", b", c" a" -{- A a", b" -f- A b", c" -f A c"
sont soumises, en sorte que cette proposition reste vraie quelles que
soient ces quantités , réelles ou non. La proposition II , au contraire ,
est démontrée seulement en supposant réelles les quantités A a, A 6,
. . . , A c". Nous reviendrons plus tard sur cette proposition II , pour
faire voir qu'elle aussi est une conséquence des relations entre les
a, . . ., c", A a, . . ., A c" et ne dépend nullement de la réalité de ces der-
nières quantités.
348 NOTE SUR LE DÉPLACEMENT D'UN SYSTÈME INVARIABLE.
D'après ce qui précède, l'axe de rotation est parfaitement déter-
miné par
x^ : î/i : ;2i = Da : Db : De
(13) = Da' : D^,. : De
= Da- : Dft. : Do"
et cette détermination devient illusoire seulement quand il n'y a pas de
déplacement. Ajoutons encore les relations suivantes , qui nous se-
ront utiles plus tard et que l'on obtient sans difficulté en partant
des équations (9) et faisant attention aux relations (3)
(14) i: 6 Da = Z a De — — 2 A a A 6. [3]
On obtient encore une expression remarquable pour la somme
2 Da^ + S DftS -f 2 Dc2. En effet, on a d'après (11) et (14)
SaDa = — A + B + C,
S6Da = — i:AaA6,
i:cDa= — :SAaAc,
où j'ai posé, pour abréger, ^XAa^^A, |i: Aô^ — B, |2Ac2 = C.
La somme des carrés de ces trois équations donne
2 D^ = (— A + B -f C)2 -f (2 A a A &)2 + (2 A a A cf.
Or on a, d'après une transformation bien connue
4 A B = 2 A a2 X S A 62 == (2 A a A 6)2 + Dc2 4- D/ + Dc-^
4 A C r= E A a2 X 2 A c2 = (2 A a A c)2 + Di2 + \)^^J^ D6-2,
donc
2 Da2 -f 2 D62 + 2 Dc2 = (A + B -f C)2,
c'est-à dire
(15) . . SDa2+2D62+i:Dc2r=J[2Aa2-f 2 A624-I:Ac2]2.
Autre formule pour déterminer taxe de rotation.
3. D'après ce qui précède , on a
D = AaDa-fA6D6+AcDc = 0,
A a' Da -f A 6' Db + A c' De = 0,
A a"Da + A 6"D6 -f A c''Dc = 0.
NOTE SUR LE DP^PLACEMENT D'UN SYSTÈME INVARIABLE.
349
En multipliant ces équations par c + ^ A c, c' -\- ^ ^c'y c" -}- ^ Ac" la
quantité De se trouvera éliminée après l'addition , en vertu des re-
lations (2). En posant donc
|i) = 2(c + |Ac)A6 = — 2:(6 4-^A6)Ac
(16) .... g = 2:(a+ 1 Aa) Ac= — i:(c+ I A c)Aa
^ r=2(6 + |A6)Aa= — :s(a4-|Aa)A6
on obtient — q Da -\- p Db = 0 ou Da '. Db ^ p : q- En réunissant toutes
les relations de même nature, on trouve
p : q : r = J)a '.Db '.De
(17) =Da'\ Db- .De-
= Da-: Db '.De.
Par conséquent la formule (13), qui détermine l'axe de rotation,
peut se mettre sous la forme
(18) x^ : y^ : z^ = p : q : r.
C'est la formule donnée par Duhamel. Elle devient illusoire quand
on a à la fois p = 0, q = 0 et r = 0. Nous verrons que cela a lieu
non seulement quand il n'y a pas de déplacement, mais encore dans
d'autres cas. Alors cette formule (18) devient insuffisante et il faut
recourir aux formules (13). Nous allons déduire maintenant un système
de formules qui nous permettra de dire avec précision dans quels
cas on a.: p = 0, q=:0, r = 0. .
4. Nous avons
0 = (a + 1 A a) A a + (a' 4- 1 A a') ^ a' + {a" + J A a") A a"
+ r = (6 + 1 A 6) A a + (6' + I A 6') A a' + (^" + ^ ^ b") A a"
— g =1 (c + 1 A c) A a + (c' + I A c') A a' + {c" + | A c") A a".
En éliminant A a', A a" il vient
(19) RAa = rB.b — q'Rc [9]
en désignant par R le déterminant
a +^Aa b +^A6 c +|Ac
(20) . . . . R= a'4-|Aa' 6'-f-|A&' c' -{- ^ A c'
a" + |Aa" 6" + |A6" c" + ^Ac"
et par R», Ri, . . ., Rc- les mineurs du second degré de R.
860 NOTE SUR LE DÉPLACEMENT D'UN SYSTÈME INVARIABLE.
La valeur de Ra est (6' -f ^ A 6')(c"4- i Ac")-(6"-f | A6")(c' + ^ Ac')
En opérant les multiplications on peut simplifier le résultat à l'aide
de la relation (1) et de la valeur de A a qu'on en tire ; on trouvera
ainsi
Ra = a -f I A a — I: (A 6' A c" — A 6 ' A c'),
c. a. d.
(21) R.a = a + ^Aa — ]Da. [9]
On en tire aussitôt
(22) 2R«Aa = 0, [3]
(23) SRaAft — — r, [3]
(24) 2RaAc = -fg. [3]
L'équation (19) donne ensuite
RSAa'^^rSRftArt — gSRcAa,
RSAaA6 = ri:R6A6 — gSRcAft,
c'est-à-dire, en vertu des relations (22), (23), (24)
jRi: Aa2 = 22-|-r2, RSAaA6 = — p^,
(25) . . . . RE Aô^r^r^ + p'^ RSa6Ac = — gr,
'RS Ac2==p2-f ç'^ RSAcAa = — r^,
ou bien, en faisant attention aux formules (11) et (14)
p-^ = R2aDa,
(26) \q^ = Ui:bDt,
ir^ — RlLcDc.
iqr = RXb'Dc = 'R'^cJ)i.,
(27) rp = Ri;cD« = RSaDc,
'pg = R£aD6=Ri:6Da.
Nous pouvons maintenant exprimer aussi les Da, . . ., De à l'aide
de p, q, r; — en effet, les formules
R (a Da + a' Da- + a" Da-) = p- ,
R (6 Da 4- b' D«. 4- b" D„.) = pq,
R (c Da + c' D«' + c" Da') =pr
donnent aussitôt la première des neuf équations
(28)
NOTE SUR LE DÉPLACEMENT D'UN SYSTÈME INVARIABLE. 351
(RDa =p{a p -\-b q -\-c r), RDb =q{a p -\- b q -\- c r),
R ])a- = p {a' p -\- b' q -{- c' r) , R I>f>- =q{a' p -\-b' q -\- c' r),
R Da. = p{a"p + b"q -f c"r), R J),,- =q{a"p -f b"q + c"r),
RDc ^r{ap-{-b q -{- c r),
I RDc =r{a'p-\-b'q+c'r),
\ RJ)r. = r{a''p-{-b"q-{-c"r).
D'après la définition des Ra, . . ., Rc', on a R^ i:(a -f i ^ «)Ra, ou
bien , à cause de (22) , R = 2 a Ra. En substituant la valeur (21) de
Ra il vient
R — l-\-l^aAa — l^aJ)a = l — i^Aà^ — lJ:aDa,
ou bien , parce que les relations (11) donnent 2 A a^ = £ 6 D/, -f- ^c D^,
(29) . . . . R=:l — \^aJ)a — l^b'Db — i^cJ)c.
On tire des équations (26)
p- i- q'^ -\- r'^ = Ri^ aDa + J: b Dn -\- ^ cJ)c);
le facteur de R dans le second membre est égal à 4 (1 — R) d'après
(29), donc
(30) p2 ^ ç2 ^ 7-2 = 4 R (1 - R).
La relation (21) donne encore 26Ra = |26Aa — } l,bT)a, ou bien,
à cause de (14): i: 6 Ra = i 26 Aa+ ^ 2 Aa A6, c'est-à-dire: 2 6Ra = |r.
On obtient de la même manière
,p = 22cR6 = — 226Rc,
(31) g = 22aRc = — 22cRa,
'r = 2 2&Ra = — 2 2aR/,.
Les équations
aRa-^a' Ra- + a" Ra- = R ,
bRa-\-b'Ra- + b"Ra- = ^r,
cRa + c'Ra-+c"Ra-=-iq
donnent maintenant la première des neuf relations
Ra=a R -{-^{b r — c q), Rb =b R -\- ^{c p — a r) ,
R„. = a' R -4- I {b' r — c'q), Rb' =b'R -{■ \{c' p — a' r) ,
R„. = a"R-\-\ {b"r — c"q), Rb' = 6"R + J {c"p — a"r) ,
R,=cR-{-^{aq — bp),
R^ =c'R + ^(a'g — b'p),
\ Rc-=c"R-\-Ha"q — b"p).
352
NOTE SUR LE DÉPLACEMENT D'UN SYSTÈME INVARIABLE.
La somme des carrés des mêmes équations donne
^K = ^' + iq' + ir', [3]
donc
c'est-à dire , en vertu de (30)
(33) SR2 + 2R? + ER2 = R2 + 2R.
5. Revenons maintenant à la proposition II, qui a été démontrée
seulement en supposant A a, Ab, ..., A c" réels Faisons donc:
Da = Dô ^ . . . = De' = 0 et voyons ce qui s'en suit Les équations (29)
et (26) donnent : R = l, 2^ = 0, q^=0, r = 0. Ensuite les équations (19)
Aa = 0, A6 = 0, ..., Ac" = 0,
Comme nous l'avons déjà annoncé cette proposition II ne dépend
donc en aucune façon de la réalité des quantités A a , . . . , A c".
6. Voyons maintenant dans quels cas la formule (18) cesse de
déterminer l'axe de rotation, c'est-à-dire dans quels cas on a p = 0,
g = 0, r = 0. La formule (30) fait voir que R est égal à l'unité ou
à zéro.
Premier cas :R^l,p = 0,^=:0,r^O.
Les relations (28) font voir que tous les D», . . ., De- deviennent égaux
à zéro, d'après la proposition II , il s'ensuit que tous les A a, . . ., Ac"
sont aussi égaux à zéro: il n'y a pas de déplacement. L'indétermi-
nation de l'axe de rotation dans ce cas est aussi annoncée par
l'équation (13), elle est dans la nature des choses. Les quatre équa-
tions R = l, p = 0, q = 0, r = 0 vérifiant la relation (30) équivalent
à trois conditions, qui suffisent à déterminer le déplacement, qui
est nul, comme on l'a vu. En effet, la condition R = l donne bien
p2 4- gr2 _|_ y.2 _ 0 , mais algébriquement cela n'entraîne nullement
p = 0, q = 0, r = 0, bien que cela ait lieu en admettant seulement
des valeurs réelles. P. e. , supposons que le tableau (A) soit
10 0
0 10
0 0 1
et après le déplacement
î ii i
ii 4-1
-i 1 1
donc
NOTE SUR LE DÉPLACEMENT D'UN SYSTÈME INVARIABLE. 353
Aa' =li, Ab' = — l, Ac' = — 1,
Aa" = — i, Ab" = l, Ac"=:0.
on trouvera R = l,p = l, q = i, r = 0.
Il en est tout autrement dans le
vSecond cas: R = 0,jp:=0, q = 0, r = 0.
En effet, les équations (26) montrent que la condition R:=0 en-
traîne déjà ces trois autres: p = 0, 3 = 0, r = 0. Ce second cas est
donc caractérisé par la condition unique R = 0, qui ne peut pas
déterminer le déplacement, qu'on peut au contraire assujettir encore
à deux autres conditions.
Pour reconnaître la signification de cette condition R:=0, il faut
se reporter aux équations (4) et (5), qui donnent
xi-iAx = {a +iAa)x,-}-{b -\- 4^ A b ) y, -{- {c -\-^Ac)z„
y-^lAy={a' -^ ^ A a' ) y, -{- {b' +^Ab')y, + (c' +1 Ac')^i,
z + lAz = {a"-\-lAa")z,-{-{b" + iAb")y,-\-(c" + ^Ac")z,.
On voit par là que R=:0 est la condition nécessaire et suffisante
pour qu'il soit possible de satisfaire aux conditions
x-\-lAx = 0,
y-{-iAy = 0,
z-\-^Az=0,
par des valeurs de x^, y-^, z^ qui ne sont pas toutes nulles. Pour
tous les points d'une certaine droite passant par l'origine on a alors
x-\- Ax=^ — x^ y -\- Ay^= — y ^ z-\- Az^= — Zy c'est-à dire , après le
déplacement cette droite se retrouve dans sa première position , avec
superposition des deux moitiés différentes. Or une considération
géométrique bien simple montre que le déplacement consiste alors
dans une rotation de 180° autour d'un certain axe , et que toutes
les droites passant par l'origine et situées dans un plan perpendi-
culaire à l'axe de rotation jouissent de la propriété énoncée. Ainsi ,
lorque R:=0, les trois plans
(a ^\Aa)x^^-{b -f^AÔ )î/, + (c +^Ac )^j = 0,
(a' +^Aa'):ri + (6' + | A 6' ) 2/, + (c' +^Ac')^i = 0,
(a" + ^ A a") X, + (6" + \ A b") y, + {c" + i A c") z, = 0
23
364 NOTE SUR LE DÉPLACIÎMENT D'UN SYSTÈME INVARIABLE.
passent non seulement par une même droite, mais ces trois plans
coïncident avec un plan mené par l'origine perpendiculairement à
Taxe de rotation Autrement, et dans le langage de l'algèbre nous
pouvons énoncer cette :
Proposition III. Lorsque le déterminant R est égal à zéro, ces
neuf mineurs Ra, Rô, ..., Rc- s'évanouissent en même temps
En effet, la supposition R=:0 donne p = 0, ç = 0, r = 0, et dès
lors les équations (32) mettent en évidence notre proposition. Cette
démonstration, on le voit, ne dépend nullement de la réalité des
quantités a, 6, ... , A a, A 6, ... , comme la considération géométrique
qui nous a conduit d'abord à cette proposition. Dans le cas actuel ,
la relation (21) donne encore : Da = 4 (a + | A a) etc. , en sorte que
l'équation (13) de l'axe de rotation peut s'écrire
Ix^:y-i^:z^ = a +|Aa :b H-|A6 :c +^Ac,
= a' + ^ A a' :b' + ^ A 6' : c' + | A c',
= a" + I A a" : 6" + ^ A b" : c" -f ^ A c",
ce qui est bien conforme à ce que nous venons de dire.
Il n'y a pas lieu de s'occuper du sens de la rotation , parce qu'une
rotation de 180° dans l'un ou l'autre sens produit le même effet.
7. Après avoir traité complètement le cas p = 0, q = 0, r = 0
nous en ferons abstraction dans la suite, et par conséquent l'axe
de rotation sera déterminé par l'équation (18). Il nous reste à déter-
miner l'amplitude et le sens de la rotation qui permet de passer de
la première position du système invariable à la seconde position.
Soit 0 l'amplitude de la rotation; comme une rotation 9 dans
un sens produit le même effet qu'une rotation 360°— 0 effectuée
dans le sens contraire, nous pouvons supposer la valeur absolue
de 0 inférieure à 180°. Prenons un point arbitraire P sur l'axe
de rotation et une droite 0 Q perpendiculaire à 0 P et liée au
système invariable. Pour amener la droite 0 Q dans sa position finale,
il faut la tourner d'un angle 0 < 180° autour de 0 P, dans un certain
sens. Supposons que par une rotation de 90° dans le même sens,
la droite 0 Q vienne dans la position 0 R. Alors nous conviendrons
de considérer l'angle 0 comme positif ou négatif selon que les trois
NOTE SUR LE DÉPLACEMENT D'UN SYSTEME INVARIABLE. 355
droites OP, OQ, OR ont ou n'ont pas la même disposition que les
axes Ox, Oy, 0 z. Nous avons pris arbitrairement la direction OP
sur l'axe de rotation On voit qu'en prenant la direction opposée,
le signe de G change.
Supposons OQ égal à l'unité et OQ' la position finale de OQ, on
voit immédiatement que
QQ'2 = 4sin2je,
et cette équation détermine complètement la valeur absolue de 0
Soient x^, y^, z^ les coordonnées de Q par rapport aux axes Ox^y
Oy^, 0 Zi. Les équations (5) donnent
Q Q'2 = A ic^ + A î/2 + A 2;2 =r :cî 2 A a2 -f 2 ^1 Si 2 A & A c
+ ?/f 2 A 62 _j_ 2 Sj 0^1 2 A c A a
4- s? 2 A c2 + 2 x^y^ 2 A a A 6.
En multipliant par R nous trouvons, en faisant attention aux re-
lations (25)
R (A a;2 + A 2/2 + A ^2) = (^2 ^ ,.2) a^ _ 2 g r t/^ 0^
-j-ir^--j-p^)yl — 2rp2^Xi
Mais on sl px^-\-qy^-\-rz^ = Oj à cause de la perpendicularité de
OP et OQ, et a^^ -\- y^^ -^ zl = 1 ; donc
4 R sin2 1 e =p'^ -}- q^- -\- r^ = iR(l - R).
Nous arrivons donc à l'expression suivante , qui détermine la va-
leur absolue de B
(35) sin2|-e = l — R.
Il faut encore déterminer le signe de 9. Pour cela, soit 0P=1, et
soient
-2^2 > ^ 2 > 2
les coordonnées de P, Q, Q' par rapport aux axes Ox^tOy^Oz^ (dans
leur position initiale). Le déterminant
356
NOTE SUR LE DEPLACEMENT D'UN SYSTÈME INVARIABLE.
Xi
Yi
Zi
^2
Y2
Z2
X3
Y3
Z3
est alors égal en valeur absolue au sextuple de la pyramide 0 P Q Q',
c'est-à-dire égal à isine, et, d'après la manière dont nous déter-
minons le signe de 9, le signe de ces deux expressions est encore
le même, donc
Xi
Yi
Zi
Xi
Y,
z,
X2
Y2
Z2
=
X2
Y2
Z,
Xb
Y3
Z3
-A.g — -A.9
Ys-Y,
Zs-Zi,
sine =
sin e == (X3 _ X,) (Yi Z, _ Y2 Zi) + ( Y3 _ Y2) (Zi X2 _ Z2 Xi)
4-(Z3-Z2)(XiY2_XoYi).
Or , en posant S = Vp^ -{- q"^ -fJ^ , on aura X^ = |-, Y^ = |-, Z^ = ^.
o o S
On peut prendre arbitrairement S positif ou négatif, il faut seu-
lement conserver dans la suite la valeur adoptée.
Ensuite Xg-Xg, Yg-Yg, Zg-Zg sont évidemment les projections
sur les axes Ox^, Oy^, 0 z^ de la ligne Q Q'. Or on connaît, par les
formules (5), les projections de Q Q' sur les axes Ox, Oy, 0 z\ on en
conclut
Xg- X2 = Xo 2 a A a 4- Yo 2 a A 6 + Z2 2 a A c,
Y3_Y2 = X2 26Aa-fY2i:6A& + Z2i:6Ac,
Zg_Z2=:X2 2cAa4-Y2 2cA6-fZ2i:cAc.
Or on trouve facilement, à l'aide des équations (2), {\Q), (25)
(R2:aAa== — |(g2_f r2),
(36) R5:6A6 = -^(r2-f p2)^
jRS6 Ac — — Rp + |gr, R De A 6 = -f Rp + ^ g r ,
(37) . .VR^c ^a = — Rq-\-^rp, R 2 a A c = + R g + | r p,
(RSa A6 = — Rr + I^g-, R 2 6 A a = -f Rr + |^pg.
En introduisant ces valeurs et celles-ci : X, := -^ , Y^ = -^ , Z, = ^p ,
b b b
il vient
NOTE SUR LE DÉPLACEMENT D'UN SYSTÈME INVARIABLE. 357
RS8ine = [-^(ç2 + ,2^X2 +(-nr + ^pq)Y^ + (R 5 + i ^i?) Zg]
(qZ^-rY^)
+ [(R^+|Pî)X2 -Hr' + p')Y, 4-(-Rp4-i?r)z,]
(rXs-pZg)
-\-[(-Rq + ^rp)X, i-(Rp-i-lqr)Y, ~ i ip' + q'')Z,]
(pY,-qX,).
En réduisant, le second membre devient divisible par R et l'on
obtient
S sin e = (^2 4- y2j x2 _ 2 ç r Yp Zg
-\-{r'-j-p'-)Yl-2rpZ^X,^
■i-(p' + q')Zl-2pqX,Y,
et comme tout à l'heure Ssin O ==p2 -j- g-- -j- ^''^ = S2; donc définitive-
ment
(38) sin e =: S.
Les formules (35) et (38), c'est-à-dire
sin e = S ,
cos e = 2 R — 1
donnent sans aucune ambiguïté l'angle de rotation 6.
8, La position du système invariable dépend de trois paramètres.
Par conséquent, on peut se proposer de déterminer la seconde po-
sition en connaissant la première position et les trois quantités p, q, r.
Nous avons à exprimer A a, . . ., A c" à l'aide de p, q, r et de a, 6, c, ... , c".
Les formules que nous avons développées donnent facilement la
solution de ce problème. Remarquons d'abord que la quantité R se
détermine à l'aide de la relation p"^ -{- q^ -\- r'^ ^ ^^ {i — R). On trouve
deux valeurs de R qui se rapportent à deux rotations autour d'un
même axe, mais dont les amplitudes sont supplémentaires. Les for-
mules (19^ et (32) donnent ensuite
(89) RAa = R(6r — cg) + ^p(ai?-|-6? + cr) — |a(i92-|.g2_j_y2). [9]
Voici une autre expression des A a, . . . , A c" qu'on obtient à l'aide de
(21) et (32)
(40) .... Aa = &r-c94-iDa — 2a(l — R). [9]
358 NOTE SUR LE DÉPLACEMENT D'UN SYSTÈME INVARIABLE
Désignons par m, v, w les cosinus des angles que la direction OP
de l'axe de rotation fait avec les axes Ox^, Oy^, Oz^, et par k, k', k"
les cosinus des angles que la même direction fait avec les axes
Ox, Oy, Oz; on aura, d'après ce qui précède
p = u sine, ap -\-bq -\-cr =k sine,
q = v sine, a' p -{-b' q -}-c' r =k' sin 0 ,
r^w sine, a" p -\-b" q -\-c" r = k" sine.
Les équations (28) prennent la forme simple
Da = 2 (1 — cos e) M /c , Dft = 2 (1 — cos G) V A; , De = 2 (1 — cos 0) M5 A: ,
Da- = 2 (1 — cos e)uk' , Db' = 2 (1 — cos e) v k' , De' = 2 (1 — cos e)wk' ,
Da- = 2 (1 — cos 0) u k", Db r= 2 (1 — cos 0) v k", De- == 2 (1 — cos 0) w k",
et les formules (40)
Aa = 8ine{bw — cv)-\-{l — cos e)(uk — a). [9]
9. Les équations (13) et (18) sont celles de l'axe de rotation par
rapport aux axes Ox^, Oy^, 0 z^ On obtient des équations aussi sim-
ples par rapport aux axes Ox, Oy, Oz. En effet, on a x^ = ax-{-a'y-{-a"z,
donc 0 = xAa-}-yAa'-{-z^a"-{-aAx-\-a'i\y-{-a"Az-\-^aAx-{-^a'Ay
-\-Aa" Az, et par conséquent l'axe de rotation est déterminé par
0 = xAa-\-yAa'-^zA a",
0 = xAb-\-yAb'-{-zAb",
0 = xAc -{-y Ac' -{-zA c",
d'où
ix:y : z = Da:Da':Da'
(41) =Db:Db':Db-
' = De : De : De-.
En poursuivant cette voie, il faudrait introduire, au lieu de p, q, r,
trois autres quantités s, s', s" par les équations
is =Sia' -\-^Aa')Aa" = — Q{a"-{-^Aa")Aa',
(42) . . s' =:S(a"-f |Aa")Aa == — S(a +|Aa )Aa".
's" = S (a + I A a ) A a' =: — S (a' 4- 1 A a' ) A a.
Ici le signe sommatoire S a rapport à trois termes qu'on déduit
de celui qui est écrit en changeant a en 6 et en c.
NOTE SUR LE DÉPLACEMENT D'UN SYSTÈME INVARIABLE.
359
L'axe de rotation est déterminé alors aussi par
(43) x:y:z = s:s':8".
On obtient du reste un système de relations tout à fait semblable
aux formules que nous avons déduites dans le n^4; je crois inutile
de m'y arrêter et je me contenterai de donner ces relations
(44)
S =z ap -{-bq -i-cr ,
s' = a' p -\-b' q -\-c'r ,
8" = a"pi-b"qi-c"r,
p = as-{-a's'-\-a"s",
q = bs-{-b'8' -\-b"s'\
r = cs -{-c s' -]- c" s".
XXVII.
(Paris, C.-R. Acad. Sci. , 98, 1884, 663—664.)
Sur quelques applications arithmétiques de la théorie des
fonctions elliptiques.
(Extrait d'une Lettre adressée à M. Hermite.)
Je viens de lire, dans les Comptes rendus , l'intéressant article de
M. Hurwitz, qui m'a fait consulter de nouveau l'article de M. Liou ville
(2® série, t. IV) M. Hurwitz a parfaitement raison en disant qu'une
partie des résultats que j'ai donnés se déduisent des théorèmes que
M, Liou ville y donne. En effet, ces théorèmes ne sont autre chose
que l'interprétation arithmétique de votre première formule
Mais vous savez que la déduction de cette relation
F (4^^ w) = 240 [2 f{k) — 1] B (w) (m eee 1 , mod 8)
ne se peut tirer de là, et alors votre seconde formule
y_^ ^ ^
\2q^ _j_32^4 _j_52ç4 _!__,
(ou quelque théorème arithmétique équivalent) devient indispensable.
A la fin de son article, M. Liouville dit lui-même que ces théorèmes
donnent lieu à quelques résultats curieux concernant la décomposition
en cinq carrés, et il exprime son intention d'exposer cela dans un
autre article; mais je ne crois pas qu'il ait publié cet article.
Quand je me suis occupé de la décomposition en sept carrés, la
APPLICATIONS DE LA THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 361
première chose que j'ai tâché d'obtenir, c'étaient ces relations entre
Frj(im) et Frj{m). J'avais mené a bonne fin cette recherche, mais je
sentais encore le besoin de revoir mes raisonnements et mes calculs
Après cette revision, voici les résultats, qui ne sont guère plus
compliqués que dans le cas de la décomposition en cinq carrés.
40 32* 9 32* + ^ 1
Soient f(k) = — -^ , g (k) = ~^ et F, (n) le nombre total
des décompositions de n en sept carrés, alors
Fr-{i''m)=f{k)F^im) {m = l ou 2, mod 4),
F7 (4* m)=g {k) F. (m) {m ^: S mod 8) ,
F, (4* m) = ^^/'(^) + Q Y, (m) (m = 7 mod 8).
Il serait intéressant de déduire ces relations encore des formules
elliptiques, mais je n'ai point sérieusement abordé cette question,
ayant abandonné ces recherches après quelques tentatives infructueu-
ses , et, pour le moment, d'autres travaux demandent tous mes efforts.
Mais voici encore un autre résultat , bien particulier certainement,
auquel conduit l'analyse des fonctions elliptiques.
Soit d un nombre parcourant les diviseurs impairs de n,
alors, dans le cas w_— 2 (mod 4), on peut exprimer la fonction F(w) de
M. Kronecker par la formule
F (w) = ^ 2 v; (w — 2 r^j = 2 v (w — 8 r2) (r = 0, ± 1 , ±2, . . .)•
A l'aide de la méthode de M. Hurwitz , on peut tirer de là la valeur
de F{2k^), en sorte que la relation générale
F{np^^)=\p^ + p^-^ + ...-\-p + l-L~'']{p^-^ + . .+p + l)F
in)
est vérifiée maintenant, dans les cas n = k^, n = 2k'^, à l'aide des
formules elliptiques.
XXVIII.
(Bul Sci. math., Paris, sér. 2,8, 1884, 175 — 176.)
Sur le caractère du nombre 2 comme résidu ou
non-résidu quadratique.
Soit p un nombre premier impair et considérons la suite des
p — 1 nombres
(A) 1, 2, 8, ...,p-l.
Nous dirons que deux nombres consécutifs k,k-\-l présentent une
variation lorsque l'un d'eux est résidu, l'autre non-résidu quadra-
tique de p.
Cela posé, on voit facilement que le nombre total des variations
dans la suite (A) est égal à ^-^—' En effet, deux nombres k,k-{-ly
présentent une variation ou non , selon que le nombre r* défini par
k-\-l^ikrk (mod p)
est non-résidu ou résidu. Mais il est évident que les nombres
n> ^2. ^3. •••> ^P-2
sont tous différents et qu'aucun d'eux n'est égal à l'unité, en sorte
que ces nombres sont
2, 3, 4, ..., p-\,
en faisant abstraction de l'ordre. Le nombre des non-résidus parmi
eux, c'est-à-dire le nombre des variations dans la suite (A), est donc
bien égal à ^—^ —
Supposons maintenant p ^eb 1 (mod 4). Le nombre des variations dans
la suite (A) étant pair, et le premier nombre 1 de cette suite étant
SUR LE CARACTERE DU NOMBRE 2 COMME RESIDU OU NON-RESIDU. 863
résidu , il s'ensuit que le dernier p — 1 ou — 1 est aussi résidu. Deux
nombres A; et p — k sont donc en même temps résidus ou non- résidus:
d'où il suit que le nombre des variations dans la suite
(B) 1, 2, 3, ...,-^
est égal à . = n.
Si n est pair, c'est-à-dire ^eee 1 (modS), le dernier nombre g
sera donc nécessairement résidu , et partant 2 est résidu.
Si n est impair, c'est-à-dire p = 5 (modS), g et 2 seront non-
résidus.
Soit en second lieu p = 3 (mod4). Le nombre des variations dans
la suite (A) étant impair, p — 1 ou — 1 sera non- résidu et le nombre
des variations dans la suite (B) sera égal à — r — =: n.
Si n est pair, c'est-à-dire p e^ 3 (mod8), — 5 — sera résidu, partant
2 sera non résidu.
p 1
Si n est impair, c'est-à-dire p = 7(mod8), ^— „ — sera non-résidu et
2 résidu quadratique de p.
XXIX.
(Astr. Nachr. , Kiel, 109, 1884, 145 — 152.)
Quelques remarques sur l'intégration d'une équation
différentielle.
1. L'équation différentielle, étudiée par M. H. Bruns dans les
n°^ 2533, 2553 de ce Journal (voyez aussi l'article de M. Callandreau
dans le n^ 2547)
(1) ^-{-n'-x = 2^xcost
a été considérée aussi par M. F. Lindemann dans les Mathematische
Annalen, Bd. XXII, p. 117 e. s. Il m'a paru intéressant de rap-
procher ces deux solutions et de déduire les conclusions de M. Bruns
de l'analyse de M Lindemann.
En posant œs^lt = u, on obtient
(1') . . ua-~u)^ + ^{l-2u)~+in^-\-2^-4^u)x=:0
et les leux intégrales particulières dont se compose l'intégrale gé-
nérale sont, d'après l'analyse de M. Lindemann
(2) . . . . ^ ^ . {l = V-\)
j ■ r du
[ Cl KFlz^y e ~ '^i F (") \^^^^)
Ici
(3) Y{u) = ^CfcU^
0
est une série , convergente pour une valeur quelconque de u. C et Ci
REMARQUES SUR L'INTÉGKATION D'UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE. 365
sont deux constantes arbitraires , mais la constante M est parfaitement
déterminée dès qu'on connaît F (m); en effet, la substitution des ex-
pressions précédentes dans l'équation différentielle conduit à la
relation
(4) . . M.^=lu{l — u)F{u)F"(u) — lu{l — u)F'{u)F'{u)i-
+ J (1 — 2 m) F (m) F' (m) + (w2 -\-2^ — é^u)F{u)F (m).
On en déduit par la différentiation et division par F (ii)
(5) . . u{l— u) F'" (u)-^^ {1 — 2 u) F" iu)-{-
+ (4 n^ -f 8 15 — 1 — 16 /S M) F' (M) — 8 /S F (w) = 0.
A un facteur constant près, qui s'élimine de lui-même dans les
expressions (2), la fonction F (m) est parfaitement déterminée par ces
deux conditions: P de satisfaire à l'équation (5), 2^ d'être holomorphe
dans tout le plan.
2. En introduisant de nouveau t, les intégrales de l'équation (1) se
présentent sous la forme
Q {t) = CVF{coa^it)e J fccos'io,
rt dt
Supposons maintenant , ce qui a lieu en général , que la constante
M qui est déterminée par (4), soit différente de zéro. Alors on voit
que F (m) et F' (m) ne peuvent s'évanouir pour une même valeur de m,
en sorte que toutes les racines de F(w) = 0 sont des racines simples,
et de plus les valeurs 0 et 1 ne sont point des racines de cette
équation.
On en conclut que la fonction F(cos-^0» ^.^^ ^^t aussi une fonc-
tion holomorphe de t, n'admet que des racines simples en la con-
sidérant comme fonction de t, comme nous le ferons dans la suite.
Cela étant, il est facile de voir que G(0 et G^ (0 sont des fonctions
uniformes de t. Supposons en effet que la variable t, en partant d'une
valeur f^^ décrit un contour fermé, en sorte que la valeur finale est
égale à Îq. Alors, si le contour contient une seule racine a de
366 REMARQUES SUR L'INTÉGRATION D'UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE.
F(cos2^0 = 0, les valeurs initiales et finales de KF(cos^| t) sont de
f* dt
signe contraire. Mais l'intégrale / ^r? — 2YJ\ ^^^i^a éprouvé un accrois-
sement égal à
±2i7i
F' (a) Vail — a)
mais, d'après (4) on a
2 iM. = ± F' {a)Va {1 — â)
et l'expression exponentielle e J F(co8»à«) sera donc multipliée par
le facteur 6**"==: — 1, en sorte que la valeur finale de G{t) coïncide
avec la valeur initiale. La même chose a lieu quand le contour
renfermerait plusieurs racines ; G (t) et G^ {t) sont donc bien des fonc-
tions uniformes de t, de plus elles ne deviennent jamais infinies.
En étudiant d'une manière analogue la variation qu'éprouve la
fonction G(0, lorsque la variable croît d'une valeur t à t-{-2 7i, on
arrive au résultat suivant:
f dt
Considérons rinté2:rale : / ^r? — ttt\ . le chemin de l'intégration
^ / F(cos2J<)' =»
b
peut être choisi d'une manière arbitraire , seulement il ne doit passer
par aucune racine de F(cos2j0 = 0. Supposons que dans l'expres-
sion Vf (cos^ \ t) on fait varier la variable ^ de 0 à 2 :?r en passant par
les mêmes valeurs que dans l'intégrale. Alors les valeurs initiales
et finales de KF(cos^|^0 se distingueront par le facteur ( — l)*", r
étant égale à 0 ou à 1. Posons
..2»r
alors
G{t + 27i) = iuGr{t),
G,{t + 2^)=^^GM
REMARQUES SUR L'INTEGRATION D'UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE, 867
La constante fx est indépendante du chemin de l'intégration qu'on
a choisi En déterminant donc m par
c'est-à-dire
/m M /-'' d< ,
F(cos2|0 ' 2
et posant
G (<) = «■+-■'»' H (0,
G,(0 = ^--'Hi(0,
on aura H (^ + 2 ji) == H (0 , Hj (^ + 2 tt) = Hj (0 , et d'après un théorème
connu, on pourra donc développer ces fonctions de la manière
suivante
4-00
— 00
+ 00
— 00
les séries étant convergentes pour une valeur quelconque de t.
Nous avons retrouvé ainsi le résultat de M Bruns, on voit de
plus que la constante m, déterminée par (6), a la même signification
que dans le mémoire de M. Bruns.
Comme la détermination de cette constante m est la principale
difficulté qu'on rencontre dans l'application numérique, nous allons
donner un moyen facile pour obtenir l'expression de la fonction
F (m) qui figure dans (6). En effet, les moyens proposés par M. Linde-
mann pour déterminer F (m), quoique irréprochables au point de vue
théorique, ne sont pas propres pour le calcul
00
3. La substitution de la série ^ Ck w* dans l'équation différentielle
0
(5) conduit à une relation récurrente, que nous écrivons ainsi
(7) Vk^\Ck-\-2 = UkCk + \-\-Ck,
368 REMARQUES SUR L'INTÉGRATION D'UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE.
OÙ
(8)
, _(fe.4-l)[(^-|-l)2_4^2„8^]
_kjk±l){2k±l)
^~ 16/ff(2A;— 1)
Il semble donc qu'on peut choisir arbitrairement Cq et Cj, pour
calculer successivement c,» Cg, ... Mais cela n'est pas, car en agissant
ainsi , la série 2^ ^^ ^^ ^^ serait pas convergente pour une valeur
quelconque de u. Il faut au contraire déterminer le rapport Cj : Cq par
cette condition que la série converge toujours. Supposons ^ différent
de zéro (pour /S = 0 l'équation (1) s'intègre immédiatement) on voit
que Uk, Vk deviennent infiniment grand avec k, mais leur rapport
s'approche de l'unité. Pour une valeur assez grande de k la fraction
continue
Uk-\-Vk+\ : Uk+i-\-^k+2 : Wfc+2 + î^A+3 :
sera donc convergente, et l'on calcule facilement sa valeur numérique,
qui sera peu différente de Uk lorsque k est grand.
Cela étant, donnons à Ck une valeur arbitraire différente de zéro
et calculons c^+i par la formule
(9) — -^=:Ma; + Vft+i : W;c+i + v&+2 :
Ck-\-\
Connaissant maintenant Ck et c^+i on peut calculer tous les autres
coefficients à l'aide de (7). Lorsqu'aucun des coefficients Cq, c^, ..., Ck-\
s'évanouit, cela revient à la même chose que d'appliquer la formule
(9) pour k = 0, 1, 2, ...
Il est évident d'abord , qu'en agissant ainsi la série > Ck w* satis-
fait à l'équation différentielle (5); et en second lieu, pour une valeur
très grande de /c on a à peu près =z — Uk, en sorte que la série
converge pour une valeur quelconque de m.
Ayant obtenu la fonction F(?<), on trouvera M par l'équation (4),
par exemple en posant ii = 0 .
(10) W = ^c,c,^{n^-\-2^)c,c,. :,,
REMARQUES SUR L*INTEGRATION D*UNE EQUATION DIFFÉRENTIELLE. 36Ô
Si la valeur de M qu'on en déduit est réelle (nous supposons
maintenant w^ et p réels), la fonction F (m) ne peut s'évanouir pour
une valeur réelle de u comprise entre 0 et 1; en effet, lorsque
F(m) = 0, on a •
M2 = — -]- w (1 — m) F' {u) F' (w).
Dans ce cas on peut choisir dans (6) un chemin d'intégration
rectiligne et r = 0. En appliquant une quadrature mécanique pour
le calcul numérique on pourra donc calculer m à l'aide de l'expression
ai) -=^Z
1
1 F^cos^
{2k — l)7i\
4s J
4. Il résulte de l'analyse de M. Bruns que la valeur de m ne
change point quand on remplace /5 par — /?. On peut le vérifier
aussi à l'aide des formules obtenues. L'équation (5) ne changeant
point lorsqu'on remplace simultanément y5 par — ^ et m par 1—u,
on en conclut
(12) F(-)5, M) = AF(;S, 1-M),
A étant une constante. Nous écrivons maintenant F(/9, u) au lieu
de F (m) pour mettre en évidence la constante p. Soit M' la valeur
de M, quand /9 est remplacé par —(i, alors
M2=:-^F(^,0)F'(;5,0) + (n2 + 2|5)F(^,0)F(^, 0)
et posant w = l dans (4) après avoir changé /5 en — ^
M'2 = -^F(-;5, l)F'(-;5, l)4-(n2 + 2;ô)F(-/?, 1)F(-^, 1).
En posant m = 1 dans l'équation (12) et dans celle qu'on en déduit
par la différentiation , on voit que
M'2 = A2M''^
et comme le signe est indifférent, M' = AM. Mais on a
_ M r^T ^
2nJ F(^,C08^^t) "^
et
,_M^ r^'^ dt r'
"^-2^1./ F(->,co92ÎÔ^" 2
24
370 REMARQUES SUR l'INTÉGRATION d'UNE EQUATION DIFFÉRENTIELLE.
en désignant par m' la valeur de m après le changement de /5 en — ^.
En se rapportant à la signification de r et r', on voit facilement que
la relation (12) donne r = r', et l'on aura m = m' comme l'a trouvé
M. Bruns. Au reste il va sans dire que la constante m n'étant pas
entièrement déterminée , on peut toujours remplacer m par m-\-k,
k étant un nombre entier, et changer encore le signe de m. Dans
l'expression (6) cette double indétermination est indiquée d'abord
parce que le signe de M, n'est pas déterminé, et en second lieu
parce que le chemin de l'intégration reste arbitraire.
Pour compléter cette étude , il faudrait discuter le cas M = 0. Mais
comme cette discussion devient un peu longue parce qu'il y a plu-
sieurs cas à distinguer et qu'elle est de peu d'importance pour l'ap-
plication , je n'entrerai point dans cette discussion.
5. Quand jÔ = 0, la fonction F (u) se réduit à une constante, et
l'on peut, pour une valeur suffisamment petite de ^ , développer F (z<)
suivant les puissances crois.santes de /9. Il est aisé d'obtenir ce dé-
veloppement. En effet , en posant Co = 1 , on voit facilement à l'aide
des fractions continues qui expriment les rapports CqI c^, c^ : Cg etc.
que le développement suivant les puissances de ^ donnera
etc. en sorte qu'en général Ck commence par un terme avec /9*. On
pourra calculer encore facilement de proche en proche les coefficients
PiiPit " • 1^2^ " ' qui dépendent seulement de n^. Ce sont des fonc-
tions rationnelles de n^, dont les dénominateurs renferment seulement
des facteurs de la forme 4 w^ — /c^, k étant un nombre entier. On
aura par conséquent
F (M) = 1 -f Li ;g 4- U P^ -f L, ^« -f . . . ,
ou
Li = Pi w ,
Lp, =p^u-\- <2;, II- -f ^3 w^
etc.
REMARQUES SUR L*INTÉGRATION D*UNE EQUATION DIFFÉRENTIELLE. 3?1
Nous pouvons obtenir maintenant sans difficulté le développement
de m suivant les puissances de ^, développement dont M. Bruns a
calculé les premiers termes par un procédé bien différent. En effet ,
la formule (6) devient dans le cas actuel que /S est suffisamment petit
,^Q\ M f^^ dt
"" " = 2^/ F-(3o?iT)
et la formule (10) donne à cause de Co = l
Il suffit donc de développer M et 1 : F (m) suivant les puissances
de /?, et de substituer dans la formule (13) pour obtenir le dévelop-
pement cherché de m. Comme nous le savons ce développement doit
renfermer seulement les puissances paires de /5, c'est ce qu'on ne
voit pas à priori par le calcul indiqué. Il vaut donc mieux de diriger
ce calcul d'une manière légèrement différente.
Déterminons la constante arbitraire que renferme F (m) de manière
que F (J) = 1 et posons
(14) .... F(^) = ., + f,t; + P2t;2 + .3Î;3 _!_...
OÙ fQ = 1. La comparaison avec le développement F (m) = ^ Ck w*
fait voir que le développement de ek suivant les puissances de ^ com-
mence par un terme avec ^^. En outre la formule (12) fait voir
maintenant que la série ^^ Ck v^ doit rester la même en changeant
à la fois V en — v, et ^ en — /S, en sorte que le développement de
«;* contiendra seulement des termes en )5*, ^^ + ^, ^^+^, . . . En posant
donc
Nfc sera un polynôme en v qui contiendra seulement des termes en
^^k-j^k-2^ ik-i^ ... et qui ne renferme point de terme sans v. On
trouve
372 REMARQUES SUR l'iNTÉGRATION D'UNE ÉQUATION DIFFERENTIELLE.
Ni = 4^=71^
N2 = Ti-ii iT-rr-15 ~. V2
24
(4 n2 — 1) (4 w2 — 4)
„ 160 r 3 6
^■"(4n'^ — l)(4w2 — 4)(4w^ — 9)r 4n2-l^
* (4w2 — l)(4n2 — 4)(4w2 — 9)(4w2— 16)1 7 •(4w2 — l)(4w2 — 4) J
En général, lorsqu'on connaît les coefficients a, /S, 7, ... du poly-
nôme
Na _ 1 = a t;* - 1 — /9 V* - 3 -f j. t;* - '^ — a tJ* - '^ -f- . . .
on pourra calculer ceux du polynôme N*
Na = ai î/'^ — /?! î;^ - 2 -f. j;j î;* - * — ,5 î;^ - c _|- . . .
à l'aide des formules suivantes
Â; [4 n^ — Â;2] aj = 4 (2 A — 1) a ,
(Â; — 2)[4w2 — (A — 2)2]^i — A:(A; — 1)(A; — 2)ai=:4(2/i; — 5)^,
{k — 4) [4 w2 — (A — 4)2] y^ _ (A; — 2) (Â; — 3) (A; — 4) /Si = 4 (2 Â; — 9) j/ ,
(A: — 6)[4w2-(A: — 6)2](5i— (A:-4)(A; — 5)(A; — 6)}'i = 4(2A;— 13)^,
dont la loi est évidente. C'est ce qu'on trouve sans difficulté à l'aide
de l'équation différentielle à laquelle satisfait la fonction F (m).
Le développement de F f T J étant obtenu ainsi, on en déduit
l:F(^t^-) = l-Ni;5 + (N?-N2)/52-.(NÎ-2NiN2 4-N3)/S« + ...,
2
0
à la condition qu'on remplace dans le second membre v^^ par
13.5 (2 A 1 ) 1^2»-
„ - ^ ' g ' " — Tg-vT^-, c'est-à-dire par 0^ / 0082^^^^/. Quant à la valeur
6
de M, il faut la déduire de
M2 = W2-|- 62—1^161,
€1 et ^2 étant les coefficients de v et de v- dans
NoH-Ni^ + N2^2_|_...
REMARQUES SUR L'INTÉGRATION D'UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE. 373
On voit que le développement de M et par conséquent aussi celui
de m contient seulement les puissances paires de /S. En effectuant les
calculs indiqués j'ai retrouvé les valeurs de m^, Wg données par
M. Bruns , dans le développement m = n-{-m^^ -\-m2^* -{• . ■ ■ Rap-
pelons ici qu'il ne convient pas de calculer m par cette formule,
mais on peut en déduire cet autre
008 2 71 m = cos 2 71 w + 2 71-^ ^ fk ^^''
1
qui converge pour une valeur quelconque de m comme l'a démontré
M. Bruns.
6. Nous avons vu comment on peut calculer les coefficients Ck
de la série F (m) =: ^ Ck u''. Mais on peut obtenir encore un peu plus
promptement les coefficients de la série
(15) . . F{co^^t)=lgQ-{-giCOSt-\-g2COs2t-\-g^cos3t-\- . ..
à l'aide des formules
(16) vk+igk+2 = — /^kgk+i — gk,
ou
(17)
et
'Vk
2k-\-l
^"^ 2/8(2A:-j-l)
2k— l
(18) . . . — * =fik — vk+i:^k+i — n+2''i^k+2~-"
Qk + l
Les coefficients gk décroissent , comme on le voit , encore plus ra-
pidement que les c& , mais par contre le calcul de M n'est pas aussi
simple, il faut se servir des formules suivantes
M-^ = -} F (0) F' (0) -I- {ri' 4- 2 /S) F (0) F (0) ,
M'^ = — ^ F (1) F' a) + in' — 2 /5) F (1 ) F (1) ,
F'(0) = 2 [g, - 22g., + S^g, - i'g, + ô-'gr, _ . . j ,
F'{l) = 2[g, -f 2-^^, -f 3'^^, + 4'^^, + ^9,+ - ■ ■]-
374 REMARQUES SUR L'INTÉGRATIÔN D'UNE ÉQUATION DIP^FÉRENTIELLE,
On pourrait encore calculer directement les coefficients e* du dé-
veloppement de F (~ 2~) s'^ivant les puissances de v, elles sont
liées par la relation
(19) i^(2k-]-l)ek=-(k-{-mk-\-lf-in']ek+i-\-{k-\-l){k-{-2){k-{-3)€j: + ;i.
Ici on ne peut pas exprimer directement par une fraction continue
le rapport de deux coefficients consécutifs, mais cela est assez in-
différent pour le calcul numérique. On peut démontrer rigoureuse-
ment qu'on peut calculer é-^, e^, ^2» ••• ^^ec une approximation aussi
grande qu'on veut par le procédé suivant. Pour une valeur suffisam-
ment grande de l'indice r on prendra ^^ + 1 = 0, 6-^4-2 = 0 et Cr égale
à une quantité arbitraire différente de zéro. Il faut ensuite calculer
er-i, er-2, ..., ^0 à l'aide de la relation (19). Quelques applications
numériques m'ont fait voir qu'au point de vue de la commodité il
n'y a pas une grande différence entre cette manière et celle dans
laquelle on se sert des formules (15) à (18). Mais ces méthodes sem-
blent présenter un léger avantage sur le calcul des coefficients Ck-
Lorsqu'on aura calculé les ek il faudra calculer M par
M2 = ^0 ^2 — l e^ e^ + w2 eo e^.
Dans ce qui précède j'ai dit que la fonction F (w) renferme seule-
ment un facteur constant arbitraire. Cela est vrai en général , mais
lorsque /? = 0 et qu'en même temps n est la motié d'un nombre
entier, l'expression générale de F(w) est un polynôme en u renfermant
deux constantes arbitraires; on a en effet dans ce cas
F (cos'^ ^t)^=A 008-^ n ^ -j- B sin-^ n t.
XXX.
(Astr. Nachr., Kiel , iio, 1884, 7—8.)
Note sur le problème du plus court crépuscule.
A l'occasion des articles de M. Zelbr dans les n"^ 2&75, 2602 j'ai
fait la remarque que la solution de ce problème ne devient guère
plus compliquée en tenant compte de la réfraction et du diamètre du
soleil. Mais cela résulte déjà de l'article du Dr. Stoll cité par M. Zelbr
dans le n*^ 2602 , article qui contient en effet la solution analytique
complète du problème.
Supposons que le commencement et la fin du crépuscule aient lieu
lorsque la dépression du soleil sous l'horizon est
égale respectivement à c (= 18°) et à d. Soient :
Z le zénith , P le pôle , S et S^ les positions du
soleil au commencement et à la fin du crépuscule.
Traçons les arcs de grand cercle P S = P S^ = W — d,
ZS = 90°-f-c, ZSi = 90° + rf.
La variation de l'angle S PS^ devant être égale
à zéro pour une variation infiniment petite de la
déclinaison du soleil, on en conclut facilement
qu'on doit avoir <PSZ=:<PSiZ. (Voir p. e.
Lalande , Astronomie , II , p. 557 , 3"'"* édit.) Prenons maintenant
ZA = J(c — d) et prolongeons l'arc S^ Z jusqu'en A^ en sorte que
Z Al = Z A = I (c — d) , enfin traçons les arcs de grand cercle P A, P A^.
Comme on a S A = Si A^ = 90° + J (c + rf) les triangles P S A , P Si Aj
sont égaux et P A = P Ai , < S A P = < Si Ai P. Mais de l'égalité
PA = PAi on conclut que les triangles PZA, PZAj sont égaux,
donc: <Si Ai P = <Z AP = <S AP. Les angles S A P , Sj Ai P sont
376 NOTE SUR LE PROBLÈME DU PLUS COURT CREPUSCULE.
donc des angles droits et Ton obtient A et A^ en menant les arcs
PA, PAi tangents au petit cercle décrit de Z avec un rayon égal
à |(c — d). Les azimuts P Z S , P Z S^ sont supplémentaires. On voit
de plus que l'angle S P S^ qui mesure la durée du plus court cré-
puscule est égale à l'angle APAp
Les triangles rectangles PAZ, PAS donnent
cos P A = i— ^^ — K »
cos I (c — d)
sin (5 =: cos P A cos S A = — cos P A sin i{c-\-d)
donc
. ^ sin 4 (c 4- d)
^ cos ^{c — d)
En posant <lZPS = ^<[ZPSi = ^i on a < A PZ = | (< — <,),
<SiPAi = i(« + ^i), donc
cos (p
Enfin l'azimut du soleil au commencement et à la fin du crépuscule
se déterminent à l'aide de
cos P Z S = — cos P Z S, =tg(ptg^{c — d).
En traitant le problème par l'analyse on est conduit à une seconde
solution qui se déduit de la première en changeant c en 180° — c.
Elle est réelle seulement dans le cas qu'il est possible de mener
par P un grand cercle tangent au petit cercle décrit de Z avec un
rayon égal à 90° — lic-\-d), c'est-à-dire lorsque g? est inférieur à
^{c-j- d). Je crois inutile d'insister sur la signification de cette se-
conde solution.
XXXI.
(Ann. Sci. Éc. norm., Paris, sér. 3, i, 1884, 409 — 426.)
Quelques recherches sur la théorie des quadratures
dites mécaniques.
Introductwn.
Les formules d'approximation qui servent à calculer la valeur nu-
mérique d'une intégrale définie ont été l'objet d'une étude d'ensemble,
de la part de M. Radau , dans le Tome VI (3« série) du Journal de
Mathématiques pures et appliquées.
L'auteur y a réuni à peu près tout ce qui est connu sur ce sujet
et, en donnant les constantes dont on peut avoir besoin dans l'ap-
plication , il a encore augmenté l'utilité de son travail.
Les recherches suivantes ont été dirigées par une autre idée. En
me plaçant au point de vue le plus général , mon but a été d'étudier
la question de savoir si ces formules permettent d'atteindre une ap-
proximation indéfinie.
Jusqu'à présent, il semble que cette étude n'ait pas encore été
abordée. On a toujours supposé que la fonction dont il s'agit est
développable en série suivant les puissances croissantes de la variable.
Or , comme on le verra , ces quadratures où , à l'exemple de Gauss ,
les abscisses sont déterminées de manière à atteindre le plus haut
degré de précision, présentent des circonstances particulières, qui
ont pour conséquence qu'elles sont applicables dans des cas bien plus
étendus. Par exemple, la quadrature de Gauss elle-même donne une
approximation indéfinie pour toute fonction intégrable. Dans l'expo-
378 QUELQUES RECHERCHES SUR LA THÉORIE DES QUADRATURES.
sition de la théorie générale de cette quadrature mécanique, j'ai
emprunté bien des choses au Traité des fonctions sphériques (deuxième
édition) de M. Heine, et les n°M, 2, 4 ne contiennent rien d'essen-
tiel qu'on ne trouve dans ce traité.
1. Détermination d'un polynôme qui satisfait à certaines conditions.
Soit f{x) une fonction donnée , qui ne dévient pas négative , quand
X prend les valeurs a, ô et toutes les valeurs intermédiaires, et inté-
grable dans cet intervalle, en sorte que / f{x)dx ait un sens deter-
J a
miné. Il n'est pas nécessaire que f{x) reste toujours finie ; mais nous
supposons finies les limites a et & , bien que quelques-uns des résultats
auxquels nous arriverons restent applicables dans le cas contraire.
Enfin , pour éviter certaines discussions qui n'auraient guère d'uti-
lité, nous ferons encore la restriction suivante: nous supposerons
qu'il existe un intervalle (A, B) appartenant à l'intervalle plus étendu
(a, h) tel que, lorsque x est situé dans (A, B), f(x) reste constamment
supérieure à une quantité positive «, d'ailleurs tout à fait arbitraire,
comme l'intervalle (A, B).
r^
Grâce à cette dernière restriction, la valeur de / f{x)dx sera donc
J a
positive et différente de zéro , et nous avons écarté aussi le cas sans
intérêt où f(x) serait constamment égale à zéro dans l'intervalle (a, 6).
Cela posé, nous commençons par déterminer un polynôme P(a;)
d'un degré donné w,
P (ic) = a;" + ai a;"-i -f a2a;»-2 -I- . . . -f- a„_i a; + a„,
par les conditions
(1) . . / f{x)V{x)x^dx = 0. (Â; = 0, 1, 2, ..., w — 1).
J a
Ces conditions donnent lieu aux équations linéaires suivantes, qui
servent à déterminer les inconnues a^^, a2i . . . , an:
I fix)x''+^dx-\-ai f fix)x''+''-'^dx
J a J a
• 0 r b
+ 02 f f{x)x'^+''-'^ dx-\-...-\-anj fixjx" dx =
QUELQUES RECHERCHES SUR LA THÉORIE DES QUADRATURES. 379
Le problème est donc déterminé en général, et les inconnues a^,
a^, ..., On dépendent rationnellement des 2w constantes / f{x)x^dXy
J a
où /i; = 0, 1, 2, ...,2w— 1. Mais il importe de faire voir qu'en résol-
vant ces équations linéaires , aucune impossibilité ni indétermination
ne sauraient se présenter.
Remarquons pour cela que le déterminant A du système (2) est
composé d'une série de termes , dont chacun est un produit de n inté-
grales de la forme / f{x)x^dx. En écrivant un tel produit sous la
J a
formé d'une intégrale multiple d'ordre w, on arrive à l'expression
suivante de A
£,= (' f\.. f'f{x,)f{x.,).,,f{Xn)
J a J a J a
1
xl
X2
..n + l
4 + ^
a;^-'
dxidx2. . . dXn
ou bien
A=/
J a J a
OÙ l'on a
/ f\P^V / (^2) • • • /{•^n) X2 X^ Xi . . > X„
J a
n dXi dX2 . . . dXn,
n =
1
Xi
xi
1
X2
4
1
X3
4
Xn
rc
... xr
-1
... xr
-1
... 0^-
-1
... ^^-^
-1
La notation des variables étant indifférente, on peut, dans cette
expression , permuter de toutes les manières les indices 1 , 2 , . . . , n.
Par une permutation quelconque n ne change pas ou change seule-
ment de signe, et, en ajoutant toutes les équations qu'on obtient,
on aura
380 QUELC^UES RECHERCHES SUR LA THÉORIE DES QUADRATURES.
donc
(3) 1 .2.3...wA = /''' r... rr{x^)f{x.;)...nxn){nfdxidx,,.. dxn.
J a J a J a
D'après les conditions que nous avons imposées à fix), il est évident
que A a une valeur positive, différente de zéro.
Le polynôme cherché P(a;) existe donc pour toute valeur de n. et
nous désignerons ces polynômes , pour n=l, 2, 3,..., par P^ (x) ,
F^ix), PgCrr), ....
2. Propriétés des polynômes P (x). — La propriété principale du
polynôme Pn(x) consiste en ce que l'on a
(4) . . f"nx)Fn{x){ax»-^-j-^x**~''-\-...-\-Xx^fi)dx = 0.
J a
ce qui est une conséquence immédiate des équations (1) qui ont servi
à le déterminer.
Les indices m et w étant différents, on a donc aussi
(5) f f{x)Fm{x)Fnix)dx = 0.
A l'aide d'un raisonnement dû à Legendre, nous pouvons maintenant
établir la proposition suivante :
Les racines de l'équation Fn{x) = 0 sont réelles, inégales et com-
prises entre a et ô en excluant les limites.
En effet , désignons par x^, X2, . . . , Xk les racines réelles comprises
entre a et b. Le nombre de ces racines est au moins égal à 1 , parce
que, à cause de l'équation
f fix)Fnix)dx = 0,
J a
Fn{x) doit changer de signe dans l'intervalle (a, 6).
En posant
P» ix) = {x — x^) {x — X2)...ix — Xk) Q ix) ,
QCrc) ne changera point de signe dans l'intervalle {a, b).
QUFXQUES RECHERCHES SUR LA THÉORIE DES QUADRATURES. 381
Or, si Q(a;) n'était pas simplement égal à l'unité,
{X — x-i) {X — X2) . ..{X — Xk)
serait au plus du degré n — 1, et l'on aurait, d'après (4),
/ f{x) P„ (x) (X — x^) (x — x^)...(x — Xk) rfic = 0 ,
J a
ce qui est évidemment impossible , parce que l'intégrale a une valeur
positive.
Toutes les racines de P„(a;) = 0 sont donc comprises dans l'inter-
valle (a, h), mais il ne saurait y avoir deux racines égales entre elles.
En effet, supposons
Vn{X) = {X — X^f^{x),
B.{x) étant un polynôme du degré n — 2; on devra avoir
/ f(x)^n{x)^{x)dX = Q,
J a
ce qui est impossible,
3. Relations entre les polynômes P {x). — Le polynôme Q {x) du
degré w, le plus général qui satisfait aux conditions (1),
( f{x)q{x)x^dx = 0 (k = 0, 1, 2, ..., w— 1),
J a
ne se distingue de Fnix) que par un facteur constant.
En effet, tout polynôme Q{x) du degré n peut se mettre sous la
forme
Q {x) = flo Pm (^) + • • • 4- «A Pn-fc(^) + . . . -f an-1 Pi (rc) + »„.
Or, en multipliant par Fn-k {x) f{x)dx et intégrant entre les
limites a, b, on trouve, à l'aide de (5),
0 = ak f'f{x)[?n-k{x)fdx (A=l, 2, 3, ..., n) ,
J a
c^est-à'dire a* = 0.
382 QUELQUES RECHERCHES SUR LA THEORIE DES QUADRATURES,
Considérons maintenant l'expression
A étant une constante quelconque. Ce polynôme satisfait évidemment
aux conditions
f f{x)nix)x''dx = 0 (Â; = 0, 1, 2, ..., n — S).
J a
Mais on peut choisir À de manière que R (x) soit du degré n — 2 ;
pour cela, il suffit que rc — A soit le quotient qu'on obtient en divisant
Fnix) par Fn-i{x).
D'après la remarque que nous venons de faire, R{x), pour cette
valeur particulière de A, ne différera que par un facteur constant de
Pn-2{x), en sorte que nous avons une relation de cette forme
(6) . . . . Fnix) = iX — an-i)Pn-lix) — Xn-iFn-2{x)
avec
F^{x) = x — aQ,
F^{x) = {x — a,)F,{x)-l,.
On peut arriver facilement à des expressions élégantes des con-
stantes a^, Afc. L'équation
Fk+i{x) = {x — ak)Fk{x) — hFk-i(x)
donne , en effet, en multipliant par P^ ix)f(cc) dx et intégrant de x = a
jusqu'à x = b,
f xFkix)Fkix) nx)dx
J a
(7) .... . . a,=
I Fk(x)Ff:ix)fix)dx
J a
En multipliant la même équation par Fk-i{x)f{x)dx et intégrant
il vient
f'FH{x)Fk(x)r{x)dx
(8) .... . Xk= -^^
rFk-i{x)Fk-iix)r{x)dx'
J a
en remarquant que xFk--i{x) = Fk{x) -\- un polynôme de degré k — 1.
QUELQUES RECHERCHES SUR LA THÉORIE DES QUADRATURES. 383
Ou voit que a/, reste compris entre a et b, tandis que Xk est tou-
jours positif.
Les relations (6), (7) et (8) permettent de calculer de proche en
proche tous les polynômes F^ix), P2(^), On a d'abord
rb rb
aQ = / xf{x)dx'.\ f{x)dx,
J a J a
ce qui fait connaître P^ (x). Les formules (7) et (8) donnent alors a^ ,
Aj, ce qui fait connaître F2{x), ....
Mais les relations (6) conduisent encore à une autre conséquence ,
qui complète la proposition démontrée sur les racines de l'équation
Fn{x) = 0.
Substituons la valeur x = aQ, racine de F^(x) = 0 dans
J>,Jx) = ix — a^)F^{x) — X,,
il vient
P2(«o)=-'^i.
quantité négative par conséquent. L'équation ?,, {x) = 0 a donc ses
racines /5, j', l'une supérieure, l'autre inférieure à a^^.
On trouvera de même
F^i^) = -X,^F,(^),
Fs{y) = -X.,F,{Y),
mais Pj (^) est positif, P^ (y) négatif; donc l'équation Pg {x):=0 a une
racine supérieure à fi, une autre comprise entre /S et y, enfin la troi-
sième inférieure à y.
En continuant ainsi, on voit que généralement les racines de
Fh-i{x) = 0 séparent les racines de Fk{x) = 0.
4. Application des résultats précédents à la quadrature mécanique. —
Soit §ix) un polynôme entier en x, du degré 2w — 1 au plus. La
division de ^{x) par P«(a;) donnera
ê{x) = Çi{x)Fn{x) + R{x)',
le quotient Q(.t), ainsi que le reste Rix) étant tous les deux du degré
M — 1 au plus.
884 QUELQUES RECHERCHES SUR LA THEORIE DES QUADRATURES.
En faisant attention à (4), on en tire
f f(x) S {X) dx = f f(x) R {X) dx.
J a J a
Désignons par x^, x^, ..., Xn les racines de l'équation P„(r;c) = 0,
rangées par ordre de grandeur croissante ; R (x) étant du degré n — 1,
on a identiquement
en posant donc
il vient
/ f{x)ê{x)dx = A,n{x{)-]^..,-\-AnR{Xn),
J a
mais R (x^) = ê {x{) , . . . ; donc .
(10) . . f'nx)§{x)dx = A,§{x,) + Aoê{x,) + ...-\-An^{Xn),
J a
OÙ les constantes A^, A.,, . . . , A,», ne dépendent en aucune façon de la
fonction ê(ic).
5. Propriétés des constantes Ak- — La première de ces propriétés
consiste en ce que tous les Aa; sont positifs. Cela ne résulte pas immé-
diatement de la formule (9) qui a servi à leur définition , quoiqu'on
pourrait le déduire de cette formule.
Mais il est plus facile de remarquer que la formule (10) subsiste
pour un polynôme ê(x) du degré 2w— 1 au plus, tout à fait arbitraire ;
Pn{x)
d'ailleurs , il est permis de prendre S (x) =
X — Xk
, ce qui donne
(11)
.1 a
Pn{x)
dx = Ak[Pn{Xk)f
X — Xk\
d'où résulte immédiatement la propriété énoncée.
QUELQUES RECHERCHES SUR LA THÉORIE DES QUADRATURES. 385
Cette propriété est donc une conséquence nécessaire de (10), môme
dans le cas où l'équation (10) ne subsisterait qu'en prenant pour S (x)
un polynôme du degré 2w — 2.
Nous arrivons maintenant à une autre propriété plus cachée des A*,
que nous énonçons d'abord en écrivant les deux inégalités
(12) Al + A, + A3 + . . . -f A;t > rV(a:) dx (A; = 1 , 2 , 3 , . . . , w - 1, w) ,
J a
(13) Al + Ao -f A3 -I- . . . + A^ < ['"'"' r{x)dx (A:=: 1 , 2, 3, . . . , w - 1).
> a
La démonstration de ces inégalités dépend de nouveau de la for-
mule (10), où nous prendrons pour ^ (x) un polynôme T {x) du degré
2 w — 2 défini par les conditions
Tix,) =1, T'ix,) =0,
T{X2) =1, Tix.^ =0,
T(a';,_i)=l, T'(.r;,_i)=:0,
Tix,) =1,
T(rr* + i)=0, T'(a;, + i)=:0,
T(a:;,+2) = 0, r(a-;,+2) = 0,
T{xn) =0, r(x„) =0.
Le nombre de ces conditions étant 2 w — 1 , et les quantités Xi ,
X2J ..., Xn étant inégales, T(.^) est parfaitement défini, et l'on aura
d'après (10),
(14) .... j'nx)T(x)dx=A,-\-A,-{-A,+ ...-{-A,.
J a
Considérons maintenant l'équation
T'ix) = 0.
Nous voyons d'abord qu'elle admet les racines
^1 > -^2 » •^?- > • • • > '^fc — 1 »
Xk+1, OCfc + 2, ...» Xn
au nombre de n — 1.
386 QUELQUES RECHERCHES SUR LA THÉORIE DES QUADRATURES.
Ensuite, le théorème de Rolle nous apprend l'existence de k — 1
racines
qui séparent les quantités x^^ x^, x^, ..., Xk
Enfin , le même théorème nous apprend l'existence des n — k — 1
racines
qui séparent les quantités Xk + i, Xk+2, •••, Xn-
Le nombre total des racines énumérées s'élève à 2 w — 3, et , comme
l'équation est du degré 2 w — 3, elle n'en a pas d'autres. Nous voyons
donc que toutes les racines de T {x)^=0 sont réelles et inégales II s'en-
suit que T' (x) change de signe chaque fois que x passe par une des ra-
cines. Les racines h-i et Xk + i sont deux racines consécutives, tandis
que Xk est compris entre h-i et Xk + i. Mais T{xk)^=l, T {xk + i) = 0;
doncT'(:r) est constamment négatif dans l'intervalle {h-u Xk + i)-
Connaissant maintenant le signe de T'{x), dans un des intervalles
compris entre deux racines consécutives , on en déduit aussitôt le signe
de T' (x) pour une valeur quelconque de x; on trouve ainsi:
Intervalle. Signe de T'(cr).
(«, ^i) —
K, ^i) +
(^1. ^2) —
(^2, ^2) +
{Xk-i, h-i) -f-
{h-1, Xk + i) —
{Xk + i, V1C+2) H-
(Vk+2, Xk + 2) —
{Xn-1, t]n) -f
iVn, Xn) —
(Xn, b) +
D'après cela , on peut se représenter facilement la série des valeurs
que prend le polynôme Tix), et qui est indiquée dans la figure ci-
jointe.
QUELQUES RECHERCHES SUR LA THÉORIE DES QUADRATURES. 387
On voit:
F Que T(x) ne devient pas négatif dans l'intervalle (a, b)
Que T(a;) ne devient pas inférieur à l'unité dans l'intervalle
(a, Xk).
^A
a X, xj x.
xit^2 ^k-l ^Ic '^k\\ ^i-)-2 =*^*+3
Dès lors nous pouvons conclure de l'équation (14)
Al + Ao + . . . + A^ ^y f{x) T {X) dx.
Le signe = ne saurait convenir que lorsque l'intervalle (A, B) dont
nous supposons l'existence (n*^ 1) tombe entièrement dans l'intervalle
(a, Xk). En remplaçant enfin T (a?) par sa valeur minima dans l'inter-
valle (a, Xk), qui est égale à l'unité, nous avons, dans tous les cas,
Al 4- A2 + . . . + Aa > r' f{x) dx.
J a
Ce raisonnement s'applique aux valeurs 1, 2, 3, ..., n — 1 de k ;
d'après une remarque que l'on trouvera plus loin (n^ 7) , cette inégalité
reste encore vraie pour k = n.
Quant à l'inégalité (13), on pourrait la déduire d'une manière ana-
logue; mais il est un peu plus court de remarquer qu'on démontrera
précisément de la même manière que (12), cette autre inégalité
A;, + l + A;,+2 + . . . + A„ > I f{x) dx (A; =r 1 , 2, 3, . . . , w — 1) ,
•^ ^1- + 1
en considérant l'autre limite (6) de l'intégrale. Or
K^^^^■\■...-\-^n=^f{x)dx^
J a
388 QUELQUES RECHERCHES SUR LA THÉORIE DES QUADRATURES.
donc, par soustraction,
^ a
Nous savons déjà que Aa: est positif; cela se confirme de nouveau par
les inégalités (12), (13) en remplaçant dans la dernière k par k — 1.
Avant d'aller plus loin dans les considérations générales , nous allons
maintenant considérer un cas spécial , celui de la quadrature de Gauss,
ou de f{x) = 1.
6. Sur la quadrature de Gauss. — Supposons donc f(x) = 1 , et pour
simplifier (sans nuire réellement à la généralité), a = — l , 6 = -j- 1.
Alors, comme l'on sait, le polynôme P„(x) ne se distingue que par
un facteur constant du polynôme Xn de Legendre. Les inégalités (12)
et (13) deviennent
^^^ j — 1 4- Al + A, + . . . + Afc > a;;^ ,
'-l + Ai + A2 + ... + A,<rr,+i.
Supposons maintenant qu'on applique la quadrature à une fonc-
tion S^(.t) quelconque; on aura pour valeur approchée de
/ ^{x)dx
l'expression
(15) .... . AiS^(.ri) + A,-^(.T2) + ...4-An^(:r„).
Mais, d'après les inégalités (14), :r^, x.^, r^g, ... tombent dans les
intervalles
(-1, -1 + Ai). (-1 + Ai, -1-f A1-I-A2),
(-I-I-A1 + A.3, -l + A.-hA. + Ae), ....
Cette expression (15) rentre donc dans celle ci, qui sert de défini-
tion de l'intégrale / ^{x)dx,
lim [ô, ^ (^j) + a, ^ (^2) -F . . . + ^„ S^ (fn)] ,
et comme les différences x-^-\-l,X2 — x^, x^ — X2, . . . . deviennent
QUELQUES RECHERCHES SUR LA THÉORIE DES QUADRATURES 389
infiniment petites avec —, nous arrivons à cette conclusion, que l'ex-
pression (15) donnera avec une approximation indéfinie la valeur de
r+i
I ^{x)dx, en augmentant n, toutes les fois qiie^{x) est intégrable
dans l'intervalle (— 1 , -f- 1), et reste comprise entre deux limites finies.
7. Sur la distribution des racines de l'équation P„ (x) = 0. — Dans
le cas spécial que nous venons de considérer, les connaissances acquises
sur les polynômes de Legendre nous ont permis de conclure que les
racines rc^, rcg, ..., Xn sont distribuées de manière que les quantités
0^1 4" i , x^ — x^y ..., Xn — Xn^i, 1 — Xn deviennent infiniment petites
avec — -. Il nous reste à chercher la proposition analogue pour le cas
général. Voici une première observation à cet égard:
Supposons d'abord qu'il existe un nombre a^ plus grand que a,
mais plus petit que b, tel que
f"' fix)dx = 0,
J a
donc aussi
/'
J a
x^f{x)dx = 0.
Il est évident alors que le polynôme Pn(^), que nous déterminons,
sera identique à celui qu'on aurait obtenue en considérant directement
les limites a^ et b au lieu de a et b. Les racines de Pn {x) = 0 seront
donc comprises dans l'intervalle (a^, 6) (excluant les limites^, et il n'y
aura aucune racine dans l'intervalle (a , a^. Une remarque analogue
s'applique à l'autre limite 6, et nous pouvons donc dire que, lorsqu'un
intervalle (a, ^), tel que
/:
f{x)dx=zQ,
s'étend jusqu'à une des limites a ou 6, cet intervalle ne comprendra
aucune racine de P„(a;) = 0.
Mais nous ajoutons maintenant que, lorsque cet intervalle (a, /?) ne
s'étend pas jusqu'à une des limites a ou ô, cet intervalle (incluant les
limites a, /?) ne comprend jamais plus d'une racine.
890 QUELQUES RECHERCHES SUR LA THÉORIE DES QUADRATURES.
C'est, en effet, une conséquence immédiate des inégalités (12) et (13),
qui donnent
L
'''"^^nx)dx>0 {k—l,2,B,...,n—l).
Des exemples font voir, du reste, que les deux cas , où un tel inter-
valle (a, /9) comprend une ou aucune racine, se présentent tous les
deux.
Supposons, par exemple, que la fonction f{x) ait la propriété
exprimée par l'équation
f(a-\-x) = f(b — x)]
alors on verra facilement que, à chaque racine x^ de P„(rc) = 0, corres-
pond une racine a-\-b — .-c^. Supposons de plus que f(x) soit con-
stamment égale à zéro dans l'intervalle i—- — — h, — ,. -\- hValors,
n étant pair, il n'y aura aucune racine de Vn{x) dans cet intervalle (parce
qu il ne peut y en avoir deux) ; mais si n est impair , la racine — i—
tombe dans cet intervalle, et c'est la seule.
Nous allons maintenant démontrer la proposition suivante:
Soit (a, /S) un intervalle quelconque, faisant partie de l'intervalle
plus étendu (a, b) et tel que
/:
f{x) dx
ait une valeur positive différente de zéro; alors, pour toutes les valeurs
71 au-dessus d'une certaine limite, au moins une racine de P„(a;) = 0
tombe dans cet intervalle (a, p).
Prenons un intervalle (a', /5'), a<a'</5'</5, tel que
/
J a
f{x)dx = M..
M ayant une valeur positive, ce qui est possible, d'après la supposition
que nous avons faite.
QUELQUES RECHERCHES SUR LA THEORIE DES QUADRATURES. 391
Construisons maintenant un polynôme T (x) d'un degré fini /c, tel
que
Val. abs. T(x)<£, a^x^a, ^^x^b,
et supposons de plus que T (a;) soit positif dans l'intervalle (a, a') et
dans l'intervalle (/8', /?). Admettons pour un moment l'existence d'un
tel polynôme T(a;) d'un degré fini k, e étant une quantité arbitraire.
Alors, lorque n est supérieur à ^k, il y aura au moins une racine di
Fnix) dans l'intervalle (a, /S).
En effet, supposons que cela n'eût pas lieu. Parce que n > | A;, on
a exactement
f'fix) T (x) dx = Al T (x,) 4- . . . 4- A„ T {Xn) ,
et cette intégrale serait inférieure à
t(Ai-[-A2 + ... + An) = €f r{x)(ix.
J a
Mais , d'autre part , il est évident que la valeur de cette intégrale
est supérieure à
M — e f{x)dXy
J a
ce qui implique contradiction , e étant arbitraire.
Quant à l'existence du polynôme T{x), on peut s'en con\^aincre
ainsi qu'il suit:
Soit F {x) une fonction continue , à un nombre fini de maxima et
minima, dans l'intervalle (a, h). En posant
h-\-a — 2x
— 4 = COS œ,
h — a
on aura
Y{x) = <è{^)
et les limites :c = a , a; = 6 correspondent à ç' = 0 , 99 = :^ ; ^ (9?) est
développable en une série telle que
I «0 ~h ^1 COS 9? 4" ^2 ^^^ 2 7? 4" • • • î
392 QUELQUES RECHERCHES SUR LA THÉORIE DES QUADRATURES.
et cette série converge uniformément, c'est-à-dire qu'on peut prendre
k assez grand pour que
diffère, pour toutes les valeurs, de 9? = 0 jusqu'à cp^n, moins que e
de ê {(p). En introduisant x au lieu de 99, on aura ainsi un polynôme V^{x)
de degré k, tel que
val. abs. [F {x) — F, (x)] <e (a^x^b).
A l'aide de ce résultat, il est facile de voir qu'il existe, en effet,
un polynôme T{x), doué des propriétés que nous avons supposées.
En résumant les résultats obtenus, nous pouvons conclure que,
n augmentant indéfinement, les intégrales
r% f^t j-Xt rx^ rb
/ fix)dx, / f{x)dx, / fix)dx,..., / f{x)dx, / f{x)dx
convergent toutes vers zéro , sans qu'on puisse dire la même chose
des différences
X-^ — (X j iC'j ~^ X^ J iCg — X2 ) • . • J Xfi — Xn — 1 j 0 Xfi'
D'après les inégalités (12), (13), on a
J a
Ai + A2-f... + A;,_i>r*"' nx)dx;
J a
donc
Jxt_-^
ce qui fait voir , d'après ce qui précède , que les A^; convergent vers
zéro avec —
n
8. Application des résultats obtenus. — On ne saurait douter, il
nous semble, que les propositions que nous avons obtenues seront
QUELQUES RECHERCHES SUR LA THEORIE DES QUADRATURES. 393
d'un grand usage , si l'on veut étudier la question que nous avons
posée au début de l'introduction.
Toutefois, en considérant l'intégrale
c a
les conditions à imposer aux fonctions /" (:ï;) , F (x) deviennent la source
de difficultés qu'on ne saurait vaincre qu'à l'aide de nouvelles re-
cherches sur les principes mêmes du Calcul intégral.
Je me contenterai seulement de considérer un cas assez simple.
Assujettissons la fonction f{x) à cette nouvelle condition , qu'il n'existe
pas un intervalle (a, /5) tel que
[^ f{x)dx = 0.
J a
En posant
y = f f{x)dx,
y sera donc une fonction continue de a;, toujours croissante, et, en
posant
la fonction v;(î/) sera de même continue et toujours croissante.
En introduisant y au lieu de rc, il vient
Cf{.x)Y{x)dx= CFiwmdy, c=f f{x)dx.
J a J 0 -^ a
Déterminons maintenant les constantes ^j, |o, ..., ^n-i par
k,-{- k^-\- . . , -^ ku= i^' f{x)dx)
J a
on aura, d'après (12) et (13),
Xk< h<XkJti'
Désignons encore par yk, nn les valeurs de y correspondant aux
394 QUELQUES RECHERCHES SUR LA THÉORIE DES QUADRATURES.
valeurs Xk, h de x, l'expression
Al F(a;i) + A^ F(x,) + . . . -|- A„F {Xn)
deviendra
Vi F [v^ il/i)] 4- (^2 — Vi) F [V' (2/2^] + • • • + (Cn — î?n - 1) F [v^ {yn) ;
et, comme on a
0<yi<rj^<y2<%< . ..<Vn-i<yn<c,
cette expression rentre dans celle qui sert de définition à / F [?/; {y)] dy.
De plus, d'après les recherches du n^7, les intervalles deviennent
. ^ . . 1
niiiniment petits avec —
Ainsi encore , dans ce cas , la quadrature peut donner une approxi-
mation indéfinie , à la seule condition que F {x) soit intégrable.
XXXII.
(Paris, C-R. Acad. Sci. , 99, 1884, 508 — 509.'
Sur un développement en fraction continue.
(Note, présentée par M. Tisserand.)
Supposons que A^ F {x^) + Ag F (X3) -f . . . -f A« F {x„) soit l'expression
approchée de l'intégrale / F (a?) (frc donnée par la quadrature de Gauss.
Dans un Mémoire inséré dans les Annales de l'Ecole Normale
(1884, p. 420) j'ai démontré les inégalités suivantes
)-l<:iC,<-l-\-A,<x,<-l-{-A, + A,<x,<...
^^f • '\ <_i + Aj + ...-|-An_i<a;n< + l.
Considérons maintenant la fraction continue
2
il
1.1
1.3
3.3
5.7
7.9
p
et soit ^" la réduite d'ordre n. On sait que x^, x^, . . . , Xn sont les
racines de l'équation Q„ = 0, et la décomposition en fractions simples
donne
Pn A, , A2 , , An
^ ^ Q„ Z— X^'^ Z— X2'^ " Z — Xn
Supposons que z ait une valeur quelconque réelle ou imaginaire,
mais non comprise dans l'intervalle réel (—1, +1) Alors, en vertu
396 SUR UN DEVELOPPEMENT EN FRACTION CONTINUE.
des inégalités (1) et de la définition même d'une intégrale définie,
le second membre de (2) converge, lorsque n augmente indéfininlent
vers une limite déterminée qui n'est autre chose que l'intégrale
f+ 1 dx
(rectiligne) / : donc
Par conséquent, la fraction continue Q converge dans tout le plan,
en exceptant la coupure rectiligne de — 1 à -|- 1-
On voit encore facilement que la fraction continue converge uni-
formément dans le voisinage de toute valeur particulière appartenant
à la région de convergence.
Ce résultat est connu, mais la démonstration précédente semble
très simple; de plus, elle est applicable encore à la fraction con-
tinue que l'on obtient pour l'intégrale / -^^ dx, f{x) étant une
fonction qui ne devient pas négative dans l'intervalle (a, h).
XXXIII.
(Bull. astr. , Paris, i, 1884, 465 — 467.)
Note sur la densité de la Terre.
Nous considérons la Terre comme composée de couches ellipsoï-
dales homogènes de révolution. Soient
X le demi-petit axe,
Qx la densité d'une couche quelconque.
Nous prendrons pour unité de longueur la valeur de rr à la sur-
face et nous désignerons par A la densité moyenne de la Terre, enfin
par A la fraction
/ a;2 Qx dx
iq
/ x^ Qx dx
Jo
Supposons connues les valeurs de A et de A, ainsi que la valeur q^
de la densité à la surface.
Dans ces conditions, il est possible de déterminer une limite in-
férieure de la densité ^0 ^^ centre , en admettant que Qx ne croît
jamais avec x.
,•1 ri
Posons A= / x-Qxdx, B= / x^Qxdx, en sorte qu'on a
./ 0 , -^ 0
0
398 NOTE SUR LA DENSITÉ DE LA TERRE.
Une intégration par parties donne
(1) 3A-Q, = -l':^Q',dx,
(2) bB — Q^ = —Cx^Q^dx,
J 0
tandis qu'on a évidemment
(3) Q(i — Qi = — \Qx
Jo
On en déduit aussitôt
.1 pi ,-1 pi pi
^^ ~ / / / i^'^y^'Z^ — OC^ y^ 2^ /3 Î^Sj g'^ g' q'^ g'^ g'^ f/^ fly (J ^ ^/ f/^,.
La notation des variables étant arbitraire , on peut dans le second
membre permuter de toutes les manières possibles les lettres rr, y, z, /, u.
On obtient ainsi en tout dix expressions du premier membre , et
en prenant la moyenne,
(4) . . . /-l ri ri /-l A
= — / / / / Tq'^q' Q'.Q't gl,(lxdydzdtdu,
^ Ju Jo Jo J i) Jo
où
T = jJ^ (2 x^ y'' z^) — x^y^z" f vP.
Or, si «1, «2î «3> • • • > ûfw sont des nombres positifs, on voit facilement
que la valeur moyenne de tous les produits de ces nombres trois à
trois est supérieure à la troisième puissance de leur moyenne géo-
métrique ^""0^ 02 ... On En appliquant cette remarque aux cinq
nombres ofi, y", z^, l^, u^, on voit que T est toujours positif ou du
moins jamais négatif. En y regardant de plus près , on trouve que
T est égal à zéro seulement dans les cas suivants :
1". x=^y=z^=t=^u\
2^ Quand au moins trois des nombres x, y, z, t, il s'évanouissent.
Mais, par hypothèse, la dérivée q'^. n'est jamais positive: donc
(5 B - Q^f {q, - Q^f - (3 A - qJ> ^ 0
NOTE SUR LA DENSITÉ DE LA TERRE. 399
OU bien
o >o I l/(3A-g,)^
c'est-à-dire
(5) . . .90^9,+
m-^-^'-im.
En adoptant pour A la valeur 5,56 d'après MM. Cornu et Baille
(Comptes rendus, t. LXXVI) et ^^ = 2,6, A =1,9553, la dernière va-
leur étant empruntée à M. Tisserand (Bull. astr. , t. I., p. 419), on
obtient ^o^ 7,418.
Il convient de remarquer que la limite inférieure que nous venons
d'obtenir ne saurait être remplacée par une autre plus élevée, parce
qu'elle correspond à la distribution suivante de la masse de la Terre:
^a;=z^o, de rz; = 0 jusqu'à une certaine valeur x = a<C li
Q_, = Q^^ de rï; = a jusqu'à a;= 1.
On trouve alors
5B=eo^ + ei(l— ^)
ou bien
SA- Qi = x^{qo — Qi),
6B—Q^ = a^iQo — Qi).
Ces deux équations déterminent les inconnues gj, et rc, et il est
visible que la valeur de ^o qu'on en déduit coïncide avec la limite
inférieure que nous venons d'obtenir.
La valeur de x
/TA
/ vr - g^
devant être inférieure à l'unité , on doit avoir A > | , ce qu'on voit
aussi par l'inspection des formules (1) et (2).
XXXIV.
(Amsterdam, Versl. K. Akad. Wet. sér. 3, i, 1885, 272 — 297).
(réimprimé: Haarlem, Arch. Néerl. Sci. Soc Holl. , 19,
1884, 435—460.)
Quelques remarques sur la variation de la densité dans
l'intérieur de la Terre.
Introduction.
1. Considérons la terre comme formée de couches ellipsoïdales,
telles que la densité f soit constante dans l'étendue de chacune d'elles
Une de ces couches sera déterminée par le rayon x de la sphère
équivalente et nous supposerons qu'à la surface on ait x^=\.
Il suit de ces notations que le volume de la terre est J 71, sa masse
est 4jr / x^f{x)dx. Donc la densité moyenne A = 3 / x^f{x)dx.
J 0 J 0
• Dans ce qui suit, je suppose connu A, ainsi que le rapport
Cx^f{x)
Jo
, ^ , dx
.1"
rr* f {x) dx
dont on peut obtenir la valeur en combinant les observations astro-
nomiques avec celles qui servent à faire connaître la figure de la
terre.
Enfin, comme dernière donnée, je prendrai la valeur de la densité
à la surface : f{l) = d.
Dans ces conditions mon but est délimiter, autant que possible,
la marche de la fonction inconnue f{x). Cela n'est possible qu'à l'aide
de certaines hypothèses : les deux suivantes seront discutées succes-
sivement.
VARIATION DE LA DENSITÉ DANS l'iNTÈRIEUR DE LA TERRE. 401
I. La densité va continuellement en croissant de la surface jus-
qu'au centre de la terre,
II. La densité va continuellement en croissant de la surface jus-
qu'au centre , mais la rapidité de cet accroissement va en diminuant
de la surface jusqu'au centre.
Enfin , dans une troisième partie , je considérerai brièvement la mise
en nombres des résultats obtenus, et j'ajouterai une discussion de
différentes formules qu'on a proposées pour représenter la densité
dans l'intérieur de la terre.
Mais, avant d'entrer en matière, voici quelques remarques pré-
liminaires qui se rapportent également à la discussion des deux
hypothèses.
D'abord il convient d'introduire au lieu de A et A les intégrales
(1) k = [ x^f{x)dx,
(2) B = /"V/'(a;)da;,
en sorte qu on a A=-^, B = -^r^ —
Ensuite, démontrons la proposition suivante:
„Lorsque deux fonctions ¥{x), G (.t) vérifient les équations
(3) [^x^¥{x)dx = k, /'^'r*F(.^•)rfa; = B,
(4) f x'^G(x)dx = A, f x^Gix)(lx = B,
J 0 .' 0
alors la différence F (x) — G{x), si elle n'est pas constamment égale
à zéro, doit changer au moins deux fois de signe dans l'intervalle
de zéro à l'unité".
En effet les équations (3) et (4) donnent
(5) f\c^lF{a:)-G{x)-]dx = 0,
Jo
(6) f\c'lF(x) — G{x)']dxr=0,
d'où il est évident que F (a;) — G {x) doit changer de signe au moins
une fois.
26
402 VARIATION DE LA DENSITÉ DANS L'INTÉRIEUR DE LA TERRE.
Mais supposons que F (x)— (} {x) change seulement une fois de
signe , et que par conséquent F (x) — G (x) ait un signe déterminé
pour les valeurs
0<x<b
et de même un signe déterminé, mais contraire au précédent , pour
les valeurs
b<x<l,
b étant comprise entre zéro et l'unité
Posons
F{x) — G{x)=: cfj {x), 0<x<b,
Q{x) — F (x) = xp (x), b<x<l,
alors (p{x) et 'ip{x) ne changent pas de signe et ont même signe.
Or on devra avoir d'après (5) et (6)
rb .1
/ x~ (f (x) dx = x^y) {x) dx ,
JO J b
/ x^ (p {x) dx =: x^yj (x)dx ,
Jô J b
d'où l'on tire
/ ft:2 (62 _ x'^) ç, (.^) clx = f X^ {b- — .X'2) y- (x) dx ,
^0 J b
équation absurde parce que les deux membres sont évidemment de
signe contraire.
La proposition que nous venons de démontrer sera d'un usage
continuel et l'on verra qu'à peu près tout ce qui suit en dépend.
Première partie.
Discussion de l'hypothèse I.
2. Nous allons donc supposer maintenant que fix) est une fonc-
tion décroissante.
Il convient d'observer d'abord que cela entraîne nécessairement
entre nos données A, B, d l'inégalité
(7) 3 A > 5 B > (/.
VARIATION DE LA DENSITE DANS l'iNTÉRIEUR DE LA TERRE. 4Ôâ
L'inégalité 5 B > c? résulte immédiatement de la signification de ces
quantités, et l'on démontre encore facilement, de diverses manières,
que 3 A > 5 B. Mais , pour faire connaître dès à présent la nature
de la méthode dont je ferai un usage continuel dans la suite, je
tirerai ici cette inégalité de la proposition du n° 1.
J'observe pour cela qu'on peut déterminer les constantes p, q de
l'expression F{x)=p — qx de manière qu'elle satisfasse aux équa-
tions (3). On trouve ainsi
F (a:) = 30 A — 45 B — 12 (8 A — 5 B) .T,
et comme la densité f{x) satisfait aux équations (1) et (2), la diffé-
rence F (x) — f{x) doit changer au moins deux fois de signe d'après
notre proposition. Or cela serait manifestement impossible si l'on
avait 3 A^5B, parce qu'alors F (x) serait croissant ou du moins non
décroissant et ainsi F (x) — f{x) varierait toujours dans le même sens.
On doit donc avoir 3 A > 5 B.
A la rigueur on pourrait avoir 3A = 5B, mais alors /"(a:;) serait
nécessairement constant et 5 B = d. Nous ferons abstraction de ce
cas, parce que pour la terre les inégalités (7) ont lieu effectivement.
3. Limite inférieure m de la densité au centre.
Tâchons de déterminer une loi de densité de la manière suivante
f{x) =m de a; = 0 jusqu'à x = a <^1 ,
f(x) =d de .(• =^ a jusqu'à rc = 1 .
Les inconnues m et ft doivent être trouvées par les conditions (1)
et (2); on obtient après une légère réduction
SA — d = {m — d) a^,
^B ~d=:{m — d)a^^
d'où
(8)
l/5B — rf
'=V3A^d
,/{3 A — df
(«) -="+r^î^-
404 VARIATION DE LA DENSITE DANS L*INTÉRIEUR DE LA TERRE.
Comme on le voit par les inégalités (7), la valeur de a est inférieure
3 ^ d
à l'unité ; quant à mr=d-\- t^ — , à cause de a < 1 il vient m > 3 A,
c'est-à-dire m est supérieur à la densité moyenne de la terre, ce
qui est évident à priori.
En prenant (Fig. 1) un système d'axes rectangulaires OX, OY,
0 A = 1 , 0 F = a , 0 D = ?>?. , A B — (Z , cette loi de densité est repré-
y Y\g. 1. sentée par les deux droites
DE, CB. Or il est évident
maintenant que m est la den-
sité minima au centre, c'est-à-
dire qu'il n'y a aucune loi de
densité qui donne pour x ^= 0
une densité inférieure à m. En
effet , désignons par f{x) la loi
de densité représentée par
D E , C B , et par /i [x) une
autre loi de densité, qui don-
nerait au centre une densité
inférieure à m; on voit aussitôt que f{x) — fxix) ne pourrait pré-
senter qu'un seul changement de signe, ce qui est impossible d'après
la proposition du n° 1.
4. Dans la suite , la limite inférieure de la densité pour x=:b
sera désignée par t [h) et la limite supérieure de cette môme densité
par T (6). Le résultat que nous venons d'obtenir s'exprime donc
ainsi: ^(0) = w., tandis qu'on a évidemment ^(1) = ^, T(l) = d.
Nous nous proposons de déterminer ces fonctions t{h), T (6) pour
une valeur quelconque de h.
D'abord il est évident, en jetant un regard sur la Fig. 1, que
I
K
D
E
H
G
B
X
t{b)=d,
rt ^ 6 < 1
et à l'aide d'un raisonnement, tout- à fait analogue à celui qui nous
a fait voir que <(0)=:m, on se convainc que
T (a) = m.
VARIATION DE LA DENSITE DANS L'INTERIEUR DE LA TERRE. 405
La fonction t (b) étant connue maintenant pour les valeurs de b
comprises entre a et l'unité, il reste seulement à trouver la valeur
de t{b) pour les valeurs positives de b inférieures à a. (Mous savons
déjà que t {0) = m).
Pour cela, je cherche une fonction F{x), ainsi
F(a;) = K, 0<x<b,
Fix) = k, b<x<l,
K et k étant des constantes qui doivent être déterminées par les
conditions (3). Un calcul facile donne
j^ _ 3JJ. — 6-^) A — 5 (1 — 63) B
k =
6^(1 — 62)
bB — Sb'^A
1 — 62
La valeur de k, considérée comme fonction de b, est décroissante,
et comme on voit facilement que pour b = a i\ vient k = d, la valeur
de k sera supérieure à d dans l'hypothèse actuelle 0 < 6 < a. D'après
la proposition du n^ 1 on en conclut K > m. Dans la Fig. 1 la fonc-
tion F(rt;) est représentée par les droites IK et H G, et b par OL.
On voit maintenant, d'après un raisonnement déjà développé plus
d'une fois , qu'il ne peut exister une loi de densité qui donne pour
x = b une densité inférieure à A; ou supérieure à K; donc t{b)^k,
T (b) g K.
La fonction F {x) n'est pas , à proprement parler , une fonction qui
puisse être assimilée à la densité , parce qu'on a T (1) = k y d. Mais
on peut se figurer une loi de densité qui diffère très peu de F{x)
dans tout l'intervalle de zéro à l'unité et qui présente seulement
dans le voisinage de la surface un changement extrêmement rapide
de A; à d.
D'après cette remarque, on doit avoir: tib) = k, T{b) = K, c à d.
_ 5B-3 62 A s{\-b')A-b{i-b^) B
« ^^) - "T^T2- ' ^ ^^'- 6^(1-62)
sous la condition 0 < 6 ^ a.
La fonction t (6) est maintenant parfaitement connue. Remarquons
406 VARIATION DE LA DENSITÉ DANS L'INTÉRIEUR DE LA TERRE.
qu'elle présente une discontinuité; en effet, s étant infiniment petit,
on a
i (£) = 5 B < 3 A
et
^(0)=w>3A.
Cette singularité s'explique très bien si l'on fait attention à la
grande différence qui existe entre les deux lois de densité qui don-
nent la densité minima au centre et la densité minima dans un point
voisin du centre
5. Il reste à déterminer T(6) pour les valeurs de b comprises
entre a et 1. J'observe pour cela que
B = / " x^ f {:jc) dx -\-i x^f {x) dx ,
Jo Jb
donc
Cad.
B>
f{b)Cj^dx-\-f{\)Cx^dx,
J 0 J b
par conséquent
B^^bonb)-^^~^d,
/(.)^^^^^iF^
Il est évident par là qu'on doit avoir aussi
(10) T(6)g^-«-y^>-^.
C'est une simple limitation de T(6), qu'on pourrait facilement
vérifier dans l'intervalle 0 < 6 ^ a où nous connaissons déjà la valeur
exacte de T (6). On voit aussi que pour & = a il faut mettre le signe =
dans la relation (10).
Mais je dis maintenant qu'on a pour toute valeur de b comprise
entre a et 1
Pour le démontrer en toute rigueur, il faudrait faire voir que.
VARIATION DE LA DENSITÉ DANS L'INTÉRIEUR DE LA TERRE. 407
R étant une quantité inférieure à ^j^ — ~ mais en différant
aussi peu qu'on le veut, il existe toujours une loi de densité telle
que f(b) = R. Mais il me semble que l'indication suivante suffit.
Soit
5 B - (1 - 6^) d ^ ^ ^ ,
(p(x) = d, b^x^l,
on vérifie sans peine que
ri
/ X^ rp {x) dx = B.
Jo
En désignant par A' la valeur de l'intégrale / x^ cp {x) dx , on trouva
A
,_5B — d + b^c^
3 62
Considérée comme fonction de 6, A' est décroissante , et pour
b = a, A' = A ; donc, dans la supposition a < 6 < 1 , A' est inférieure
à A.
La fonction (pix) ne satisfait donc pas aux conditions imposées à
la densité, mais en posant
f{x) = (p{x), s<:x<l,
^ A'
f{x) = (p{x)-\ ^^— , 0<X<s,
s X
e étant une quantité aussi petite qu'on voudra, il vient
/ x^ n^) dx = A' -\- r ^~-^ dx= k ,
Jo Jo ^
Cx^fix) dx^B-[- r-^~^~ x^dx = B-{-\{A- A') 62.
J 0 J 0 ^
En prenant e infiniment petit, la fonction f[x) satisfait donc bien
aux conditions imposées à la densité et l'on a f{b) = ^ —
D'une manière sommaire, mais peu exacte, on pourrait dire que,
pour avoir la plus grande densité pour x = b^a, il faut se figurer
408 VARIATION DE LA DENSITÉ DANS L'INTÉRIEUR DE LA TERRE.
comme condensée dans le centre de la terre une partie finie de la
masse totale de la terre. Cette partie de la masse a alors une in-
,-1
fluence appréciable dans l'intégrale / x^f{x)dx^ mais elle ne change
en rien la valeur de / x^f{x)dx, à cause du facteur x'^.
J 0
En réunissant les résultats obtenus, on a les formules suivantes
ttiO) = m,
(11) (t{b) = — i_:^—f 0<6ga,
l^^.A^ 3(1 -65) A- 5(1 — 6^) B ^.^^
T(6) = bHl-b^) ' 0<6^a,
(12) .... . ^.,^,^^5B-(l-j^ ^^^^^^
b° ~~
T{l) = d.
La fonction T(6) présente une discontinuité; en effet, £ étant in-
finiment petit, on a
T (1 — £) = 5 B > d ,
T(l) = cZ.
Deuxième partie.
Discussion de l'hypothèse II.
6. Dans ce qui suit, nous admettrons:
P que la fonction f{x) ne croît jamais avec x,
, r • df{x) , .
2^ que la fonction —, ne croit jamais avec x.
Quant à cette seconde condition, elle semble exiger l'existence
dfix)
de la fonction dérivée v ; pour cette raison, il vaut mieux
l'énoncer un peu autrement, en disant que, sous la condition
Q^x<y<z^l,
on doit avoir toujours
(13)
nx)—f{y) <, m— m
y — x ~~ z — y
VARIATION DE LA DENSITÉ DANS L'INTÉRIEUR DE LA TERRE. 409
Notons une différence profonde qui existe entre notre hypothèse
actuelle et celle que nous venons de discuter Dans la première hy-
pothèse, la fonction f{x) peut avoir un saut brusque pour une valeur
quelconque de x; on voit facilement que cela n'est plus possible
maintenant, à cause de la condition (13), que pour la seule valeur
x=\.
Voyons d'abord quelles relations l'hypothèse actuelle entraîne entre
les données A, B, d.
Naturellement, on a comme auparavant, 3A>5B>rf, mais il existe
encore une autre relation, propre à notre hypothèse. Pour la trouver,
considérons la fonction F(rc), qui s'est présentée déjà dans le n^ 2
F (rc) = 30 A — 45 B — 12 (3 A — 5 B) a;
et qui vérifie les relations
t x^¥{x)dx = K, f x^F (x) dx = B.
Cette fonction F {x) décroît de M = F (0) = 30 A — 45B jusqu'à
D = F(1)=:15B — 6A.
Je dis maintenant que la valeur d^f{l) doit être inférieure à
D = 15 B — 6 A. C'est ce qu'on voit facilement en jetant le regard
sur la Fig. 2, où la fonction F{x) est représentée par droite FE, et
en se rappelant que la différence Fix) — f(x) doit changer au moins
deux fois de signe d'après la proposition du n*'. 1. Cela se fonde
sur la notion qu'on a d'une courbe qui tourne sa concavité vers
OA, car c'est par une telle courbe qu'est représentée la fonction
f{x) d'après notre hypothèse. Mais voici une démonstration arith-
métique. Supposons d > D, alors F (x) — f{x) est négative pour a; = 1,
et comme cette différence doit changer au moins deux fois de signe,
il doit exister un nombre a < 1 tel que F (a) — /"(a) > 0, et un nombre
b<a tel que F{b)—f{b)<0, donc
F(1)<A1),
F {a) > fia),
FibXfib),
d'où l'on tire
F(a) — F(l) /-(g) — /•(!) F{b)-F{a) r{b)-r(a)
1-a ^ 1-a ' a — b ^ a— b '
410
VARIATION DE LA DENSITE DANS L INTERIEUR DE LA TERRE.
mais évidemment
donc
F(a)-F(1)_F(6)
fiP)
fia) ^ fia)
F (a)
b
■fa)
(14)
a — b '^ 1 — a '
ce qui est en contradiction avec la relation (13), en posant, comme
il est permis de le faire, x = b,y = a,z = l. La supposition d>D
ne peut être admise, et nous pouvons noter les conditions
|3A>5B>d,
; 15 B — 6 A > d.
On voit encore que, si l'on avait 15B— 6A = cZ, la fonction f{x)
serait parfaitement définie et devrait être identique à F{x); nous
ferons abstraction de ce cas , qui ne se présente pas dans la nature ^).
Nous allons nous occuper maintenant du même problème qui a
déjà été résolu dans notre première hypothèse — c. à d. nous allons
chercher la limite supérieure T (b) et la limite inférieure t (b) de la
densité pour x = b.
7. Considérons d'abord les valeurs particulières T(0), t{0). La
Fig. 2.
Fig. 2 fait voir immédiatement
que T(0) n'est autre chose que
la valeur de la fonction F(a;),
considérée dans le n^ précédent
pour x^=0, donc
(15) . . T(0) = M = 30A — 45B.
Quant à la valeur de t (0), que
nous désignerons par m, on voit
sans peine qu'elle correspond à
la loi de densité suivante: une
densité constante m de x = 0
A ^x jusqu'à une certaine valeur
i) En introduisant A et A au lieu de A et B, la limitation 15 B — 6 A > rfpeut se mettre
5û
tandis qu'on a l
2.6, il vient A < 2,026,
1.87, avec une erreur que j'estime ne pouvoir dépasser notablement 0.06-
sous la forme A < n-r—r-^- Adoptant les valeurs A — 5,56 et d
VARIATION DE LA DENSITE DANS L'INTÉRIEUR DE LA TERRE. 411
jc = a<C 1, représentée dans la Fig. 2 par la droite horizontale CD,
et pour xy a un décroissement régulier de la densité jusqu'à la
valeur d représentée par la droite DB, donc
f{x) = m, 0<a;<a,
f{x) = m— jzT^ (x — a), a<x< 1.
Mais il faut faire voir qu'on obtient une détermination convenable
des deux inconnues m et a par les équations (1) et (2). Or on obtient
après quelques réductions qui se présentent d'elles-mêmes
12 A — 4 d == (1 + a) (1 + a'^) (m — d),
30B — 6d = (l + a)(l +a" + a4)(w — d),
d'où , pour la détermination de a
(16) .... , , o
1 -f g^ + a4 _ 15B — 3d _ 3 (5 B — d)
l + a2 ~ 6A — 2d~2{3Â — d)'
Le membre tout connu est supérieur à l'unité mais inférieur à f
d'après les inégalités (14), tandis qu'on voit facilement que l'expres-
1 4- a^ 4- «* • 1 . V .. • ,
sion — i~j:r~^ — varie de 1 a ^ , en croissant constamment , quand
a varie de 0 à 1. Donc l'équation (16) détermine une valeur unique
de a, comprise entre 0 et 1.
Après avoir calculé a, on trouve m à l'aide de
^ I 12A — 4cZ
(17) m = d-{-y^~. VTi I 9T »
^ ^ ^(1-f a)(l-f «2)'
et à cause de a < 1 on voit que wi > 3 A , c. à d m est supérieur à
la densité moyenne de la terre , ce qui est évident à priori.
8. Voici maintenant comment on obtient la valeur de T (6) pour
une valeur quelconque de b. Supposons d'abord b comprise entre
zéro et la valeur a déterminée dans le n^ précédent.
Soit
F (a;) = K , 0 < a; < 6 ,
Fix) = K — h{x — b), b<x<l
et déterminons les constantes K, h par les conditions (8).
412 VARIATION DE LA DENSITÉ DANS L'INTÉRIEUR DE LA TERRE.
On obtient
_ 6 (5 — 6 6 -{- b») A — 15 (3 — 4 b -f M) B
1 - 3 6* + 2 66 " " •
_ 36 A — 60 B
'*"~1 — 3 64 + 2 66"
Dans la Fig. 2 cette fonction F (x) est représentée par la ligne brisée
HIG, et l'on trouve
Comme on voit , h est positif et croît avec 6. Quant à la valeur de
F(l), elle décroît avec 6. C'est ce qui résulte de l'expression
^ ' 1—p 1 — p '
2(1+62-4-64)
ou « = — o /^ \ û9\ — ^st une fonction croissante.
3(1 + 6-)
De ce que h croît et F(l) décroît avec 6 on peut conclure, d'après
la proposition du n^ 1, que K est décroissant. On pourrait aussi s'en
convaincre directement.
Il est évident maintenant que pour 6 = 0 la droite I G se confond
avec FE, et pour 6 = a elle se confond avec DB. Le point G se
meut donc de E vers B , en sorte que F (1) ne devient pas inférieur à d.
On voit maintenant immédiatement qu'il ne peut exister une loi
de densité qui donne pour x = b une densité supérieure à K ; donc
T(6) = K, c. àd.
(18) . . T(6) = «i^^^A+^!lAzrJ5^z:iA+^. o^.^a.
Comme on le voit T (a) = m.
L'équation de la droite I G est
y = K — h{x — b), où
6 (5 — 6 6 + 66) A — 15 (3 — 4 6 + 64) B
(19) . . . . (^— 1_3 64_^266
36A — 60B
1 - 3 64 + 2 66 ■
VARIATION DE LA DENSITE DANS l'iNTERIEUR DE LA TERRE. 413
Le système de droites I G qu'on obtient en faisant varier 6 de 0
à a sera appelé le premier système de droites.
9. Supposons maintenant a < 6 < 1 , et déterminons une loi de
densité f{x) ainsi
f{:i:) = K — li{x — b), 0<x<b.
f(x) = Y^-^ IK — db-iK — dxli, b<x<l,
représentée par la ligne brisée K L B de la ûg. 2.
En déterminant K, h par les conditions (1), (2), on trouve
30 B — 12 62 A — (5 — 6 — 4 62) rf
K _ j-p-^ ,
_\2il-\-b^--^b^)A — SO{l-\- b^)B-^2{l -^b'^ — 2 b^) cl
La valeur de K décroît avec 6, comme on le voit en écrivant
1 + 6
, , (30B — 6d) — 62(12A — 4d)
Au contraire, en observant que
2(15B — 6A-rf)
h=\2K — ^d
q-1
1 + 62 + 64 , . . . , ,
ou g = ^ v— T^ 2 — GSt une fonction croissante, on voit que la valeur
de h croît avec 6.
Il est évident maintenant que pour 6 = a la droite KL se confond
avec CD et /i = 0. Pour des valeurs plus grandes de 6, h est donc
positif, et lorsque 6 = 1 la droite KL se confond avec FE.
Il est facile de s'assurer qu'il ne peut exister aucune loi de densité
qui donne pour a; = 6 une densité supérieure à K, donc
(20) . . . T(,^^80B-12 6^A_-(5-6-4.'^)rf^ „g,^j
414 VARIATION DE LA DENSITÉ DANS L'INTÉRIEUR DE LA TERRE.
La fonction T (6) est maintenant parfaitement connue ; remarquons
qu'elle présente une discontinuité : en effet , e étant infiniment petit ,
on a
T(l — £) = 15B — 6A>c/,
T{l) = d.
En représentant la fonction T(&) par une courbe, cette courbe se
compose de deux arcs qui se rencontrent en D, où ils ont des tan-
gentes distinctes. La tangente en F se confond avec la droite FE
et les deux arcs sont convexes vers 0 A.
L'équation de la droite KL est
y = K — hix — b), où
_ 30 B — 12 6^ A — (5 — 6 — 4 6^) d
(21) . { 1+6
7 _ 12 (1 + b^ + ¥) A — 30 (1 -f 6^) B + 2 (1 -f- 6^ — 2 M) d
''~ "~ "" "~ 6* " " '
Le système des droites KL qu'on obtient en faisant varier b de
a à 1 sera appelé le second système de droites. On verra facilement
que l'intersection K se meut toujours dans le même sens de C vers F.
10. Il nous reste à déterminer la fonction t{b), dont jusqu'à pré-
sent nous connaissons seulement les valeurs particulières t{0) = m,
t(l)z=d. Or cela ne semble pas possible d'une manière aussi directe
que celle qui nous a fait trouver la valeur de T(6). On verra aussi
que l'expression analytique de t (b) est beaucoup plus compliquée
que celle de T (b).
Imaginons que dans la Fig. 2 on ait tracé les droites du premier
et du second système. Ces droites occupent, dans leur ensemble,
une certaine partie du plan , limitée inférieurement par une certaine
courbe. Nous allons déterminer cette courbe, mais, pour motiver
cette recherche qui pourrait sembler étrangère à notre objet, disons
dès à présent que cette courbe n'est autre chose que la représen-
tation géométrique de la fonction t {b).
Evidemment, nous sommes amenés ainsi à la recherche des courbes
enveloppes des deux systèmes de droites.
VARIATION DE LA DENSITE DANS L INTERIEUR DE LA TERRE. 415
Courbe enveloppe du premier système de droites.
L'équation d'une droite du premier système a déjà été donnée,
voyez (19). Pour avoir l'enveloppe, il faut prendre la dérivée par
rapport à & et éliminer ensuite ce paramètre entre l'équation
obtenue et l'équation primitive. On obtiendrait ainsi l'équation de
la courbe enveloppe , mais cela serait de peu d'importance pour
notre objet, et il est bien plus naturel d'exprimer seulement les
coordonnées x, y de la courbe par le paramètre b, dont on connaît
la signification. Les équations étant linéaires en x et y, ce calcul
n'a aucune difficulté et l'on obtient
^ 10 + 6^ + 64
(22) ( ~ '^
^ ^ ^ _ 5 B — 3 &^ A
0<6<rt,
Il est remarquable que l'expression de x ne contient ni A, ni B.
On obtient les extrémités P, Q de l'arc courbe, situées sur les droites
FE, DB, en posant 6 = 0 et 6 = a. L'abscisse du point P est donc
I , celle de Q est = — ]o — ^^ P^^ conséquent inférieure à l'unité.
Courbe enveloppe du second système de droites. On peut suivre la même
voie pour obtenir cette seconde courbe, en partant de l'équation (21)
On obtient par un calcul un peu laborieux, mais qui ne présente
pas de difficulté
(23) . l a<b < 1
\bHl-\-b)H^-{.2b'^)y=
= 12(14-2 6 4- 362+4 6^4- 564) A— 30(1 4. 2 6 4- 3 6^) B -j-
4- 2 (1 4- 6) (1 — 6)2 (1 4- 3 6 4- 7 6'^ 4- 3 6^' 4- 6*) d.
Ici encore l'expression de x ne contient point les données A, B, d.
On obtient les extrémités R, S de l'arc courbe, situées sur les
droites CD, FE, en posant b = a et 6 = 1. L'abscisse du point R est
positive, celle de S est f.
D'après cela, la limite inférieure de la partie du plan occupée
par les droites du premier et du second système se compose des 5
parties suivantes:
416
VARIATION t)E LA DENSITÉ DANS L*INTÉRIEUR DE LA TERRE.
1^ la droite horizontale CR,
2» l'arc courbe RS,
3° la droite inclinée S P ,
4" l'arc courbe PQ,
5^ la droite inclinée Q B.
Nous allons faire voir maintenant que cette lig-ne C R S P Q B est
réellement la représentation géométrique de la fonction cherchée
t{b). Supposons qu'on trace la ligne yz=f(x) et nommons cette ligne
une courbe de densité. Alors nous devons montrer qu'aucune courbe
de densité n'est possible qui pénètre dans la partie du plan au-dessous
de C R S P Q B.
11. Voici d'abord quelques observations préliminaires:
(A) Une courbe de densité (qui commence toujours en B) , ne peut
avoir en B une inclinaison plus faible sur l'axe 0 A que la ligne B D.
Cela est évident parce qu'elle doit couper en deux points la ligne
brisée CDB, d'après, la proposition du n*^ 1.
(B) Toute courbe de densité doit couper en deux points la droite
EF.
En suivant une courbe de densité de B vers l'axe 0 Y, l'inclinaison
de la tangente sur 0 A va toujours en diminuant, d'après notre hypo-
thèse. Il est évident par là que l'inclinaison de cette tangente sur-
passe celle de E F pour la partie de la courbe entre B et la première
intersection avec E F, tandis que
l'inclinaison de la tangente est
plus faible que celle de EF pour
la partie de la courbe entre le
second point d'intersection avec
EF et l'axe 0 Y.
Supposons maintenant qu'il
existe une courbe de densité
dont un point A est situé au-
dessous de la courbe C R S P Q B.
Je distingue deux cas :
l*' Le point A se trouve entre B et la première intersection de
la courbe avec EF. (Fig. 3).
VARIATION DE LA DENSITÉ DANS L'iNTÉRIEUR DE LA TERRE. 417
Alors la tangente en A doit couper la ligne B E dans un point T
au-dessous de E parce que l'inclinaison de la tangente est plus forte
que celle de E F. Mais ce point T doit se trouver au-dessus de B et
ne peut se confondre avec B , car dans ce dernier cas la courbe de
densité entre A et B devrait se confondre avec sa tangente AB, ce
qui est impossible d'après (A).
Maintenant par le point T passe une droite du premier système
TS, qu'on peut compléter par une droite horizontale S U de manière
à obtenir une ligne brisée TSU, représentation d'une fonction F (a?)
qui satisfait aux conditions (3)^).
Or la courbe de densité se trouve située entièrement au-dessous
de sa tangente TA, par conséquent elle ne peut couper la droite
TS. Quant à la droite horizontale SU, elle ne peut la couper qu'en
un seul point. Mais, d'après la proposition du n^ 1 , chaque courbe
de densité doit avoir au moins deux intersections avec TSU, par
conséquent il ne peut exister une courbe de densité avec le point
A au-dessous de CRSPQB.
2^ Le point A se trouve entre la seconde intersection de la courbe
Fig. 4. de densité avec E F et l'axe 0 Y
(Fig. 4). Alors la tangente en A
doit couper 0 Y en un point T
au-dessous de F, parce que l'in-
clinaison de cette tangente sur
0 X est plus faible que celle de
E F. Le point T se trouve natu-
rellement au-dessus de C, parce
que la courbe elle-même vient
rencontrer l'axe 0 Y au-dessus
de C.
Maintenant il passe par T une
droite T S du second système, et joignant S et B par une droite,
on peut regarder T S B comme une courbe de densité. Mais évidem-
1) La droite T S doit avoir naturellement une inclinaison sur O X plus forte que celle
de TA, parce qu'on suppose que A se trouve dans la partie du plan au-dessous de la courbe
limite des droites du premier système.
27
4:18 VARIATION DE LA DENSITÉ DANS L'iNTÉRIEUR DE LA TERRE.
ment la courbe de densité passant par A ne peut couper la droite
TS, et l'on se trouve de nouveau en contradiction avec la propo-
sition du n<^ 1.
En somme il ne peut exister aucune courbe de densité qui pénètre
dans la partie du plan au-dessous de C R S P Q B et cette courbe est
donc bien , comme nous l'avons annoncé , la représentation géomé-
trique de la fonction tib).
Voici maintenant la détermination analytique de la fonction t(b).
Nommons x^, rcg, x^, x^ les abscisses des points R, S, P, Q :
_3a-f-6a^-j-4a«-f-2a4 _5 _^ _]?_-t_^jt^
- (14
Alors on a
^'— (l + a)2(4 + 2a2) ' ^2- ^ , ^3— g . ^-^4 — - jg
t{h) = m, O^h-âx^.
Mais lorsque h est comprise entre x-^ et rcg» iï ^^^^ d'abord calculer
une quantité u comprise entre a et 1 à l'aide de l'équation du 4'*™«
degré
(1 4. w)2 (4 _|_ 2 m2^ 6 = 3 M + 6 w2 + 4 M^ _f. 2 wS
et l'on obtient t{b) à l'aide de l'équation
w3(l-J-M)2(4-f-2M2)^(ô)^
12(14-2M-f-3w2 4-4w3 4-5ti4)A — 30(l-|-2w4-3w2)B
-f 2 (1 -J- M) (1 — M)'^ (1 -f 3 M -f 7 m2 4- 3 M^ -h w4) d.
On a ensuite
<(6) = 30A— 45B — 12(3A — 5B)&, Xo^b^x^.
Dans le quatrième intervalle x^^b^x^, il faut calculer la quan-
tité M comprise entre 0 et a à l'aide de
104-^24.^4
^- 12
et ensuite on a
5 B — 3 m2 A
t{b) =
1 — w2
Enfin, dans le dernier intervalle x^^bûl, on a
^/ix wz — d ., .
t{b) = m— _ {b — a).
VARIATION DE LA DENSITÉ DANS L'INTÉRIEUR DE LA TERRE. 419
J'avais d'abord considéré seulement les limites de la densité au
centre de la terre, dans les deux hypothèses que nous venons de
discuter complètement. En causant sur les résultats obtenus avec
M. Bakhuyzen, celui-ci me suggéra l'idée de chercher des limites
de la densité dans un point quelconque de l'intérieur de la terre.
Je me suis aperçu alors que ma méthode donnait encore facilement
la solution de ce problème plus général.
Troisième Partie.
12. Pour la réduction en nombres des résultats obtenus par la
discussion de l'hypothèse II, j'adopterai les valeurs d = 2.6, û = 5.56,
ce dernier nombre étant celui donné par MM. Cornu et Baille
[Comptes Rendus de l'Acad. d. Se, Tome 76]. Quant à A, cette con-
stante est déterminée par la relation
X =
C — A
C
C et A étant les moments d'inertie de la terre par rapport à l'axe
de rotation et à un diamètre quelconque de l'équateur, e l'aplatis-
sement de la terre, (p le rapport de la force centrifuge à la pesan-
teur à l'équateur. J'ai adopté la valeur
-^— = 0.00324256 i)
obtenue par M. Nyren dans son Mémoire sur la détermination de
la nutation de l'axe terrestre. [Mém. de l'Acad. Impér. de St. Pétersb ,
VIP Série, Tome XIX].
Quant à e et (p, j'ai adopté les valeurs déduites par M Listing
(Nachrichte der Konigl. Ges. d Wiss. zu Gottingen , 1877)
e = 0.003466445 = 1 : 288.4800 ,
ç) = 0.003467199= 1 : 288.4179,
») La légère différence entre ce nombre et celui qu'on trouve à la page 19 du Mémoire
de M. Nyren s'explique par la Note qu'on trouve à la page 54.
420
VARIATION DE LA DENSITE DANS L*INTÉRIEtJR DE LA TERRE.
On en déduit A = 1.8712, mais j'ai adopté simplement
A = 1.87.
Ce nombre est certainement sujet à quelque incertitude; il me
semble pourtant difficile d'admettre que l'erreur surpasse notable-
ment 0.06. J'ai donc calculé quelques valeurs numériques des fonc-
tions T (b) et t {b) en adoptant les valeurs
d = 2.6, A = 5.56, A=1.87,
mais comme une faible variation de A a une influence notable sur
les résultats, j'ai encore repris le même calcul avec la valeur
A =1.92.
Fig. 5.
^
'^
^^
■*-*»
■^
:^
.^
-«^
"^^^^
^
S
V
^^
^^
v^
^>
N
"^
'S
X
s.
S
s
0 005 0.1 0.15 02 025 03 035 0.4 0.45 0.5 0.55 06 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 09 0.95 1
Voici maintenant les valeurs obtenues; la Fig. 5 donne la repré-
sentation graphique correspondant à la valeur A =1.87
A =1.87, a = 0.73985, m = 6.998, M =11.001, D = 3.746.
A =1.92, a = 0.65416, w = 7.613, M = 12.162, D = 3.359.
A = 1.87, x^ = 0.50077, X2 = |, a;^ = |, Xi = 0.90392,
A = 1 .92, x^ = 0.45278, x^ = |, x^ = f , x^ = 0.88425.
VARIATION DE LA DENSITÉ DANS L'INTÉRIEUR DE LA TERRE.
421
A =1.87
A =1.92
h
T(6)
t{h)
T(6)
t{h)
0.00
11.00
7.00
12.16
7.61
■
0.05
10.64
7.00
11.72
7.61
0.10
10.28
7.00
11.28
7.61
0.15
9.92
7.00
10.85
7.61
0.20
9.57
7.00
10.43
7.61
0.25
9.24
7.00
10.02
7.61
0.30
8.92
7.00
9.63
7.61
0.35
8.62
7.00
9.27
7.61
0.40
8.34
7.00
8.93
7.61
0.45
8.08
7.00
8.62
7.61
0.50
7.84
7.00
8.33
7.51
0.55
7.63
6.90
8.07
7.24
0.60
7.44
6.64
7.84
6.87
0.65
7.27
6.29
7.63
6.44
0.70
7.11
5.92
7.05
6.00
0.75
6.87
5.56 •
6.43
5.56
0.80
6.24
5.20
5.81
5.12
0.85
5.62
4.83
5.20
4.68
0.90
4.99
4.29
4.58
4.05
0.95
4.37
3.45
3,97
3.32
1.00
2.60 (3.75)
2.60
2.60 (3.36)
2.60
13. Newton , en considérant la terre comme une masse fluide
homogène , douée d'un mouvement de rotation , et en supposant
que la forme propre à l'équilibre est celle d'un ellipsoïde de révo-
lution, a déterminé le rapport des axes du globe terrestre. En nom-
mant 9? le rapport de la force centrifuge à la pesanteur à l'équateur ,
il trouve l'aplatissement égal à { 9?,
Clairaut, dans sa „Théorie de la figure de la terre", a confirmé ce
résultat, et, en abandonnant l'hypothèse de l'homogénéité, il a
donné pour la première fois le moyen de déterminer l'aplatissement
en supposant donnée la loi de la variation de la densité. En sup-
422 VARIATION DE LA DENSITÉ DANS L'INTÉRIEUR DE LA TERRE.
posant que la densité croît constamment à mesure qu'on s'approche
de centre de la terre , il arrive à ce résultat que l'aplatissement est
plus faible que dans l'hypothèse de l'homogénéité.
Quand, plus tard, les observations avaient montre d'une manière
certaine que l'aplatissement du globe terrestre est , en effet , plus
faible que dans l'hypothèse d'une densité constante , il était naturel
du proposer une loi de densité propre à donner l'aplatissement
observé.
Il paraît que la première hypothèse proposée est celle de Legendre,
que Laplace a discutée plus tard dans la Mécanique céleste; elle
revient à supposer
On en déduit aisément
8 / x^f{x)
A = 8 x-f{x)dx = ^(:>
sin n — n cos n
t x^f{x)dx o, .
. Jo ' rc^i^mn — wcosn)
(3 n2 — 6) sin w — (n^ — 6 n) cos n '
/ x^f{x)dx
J 0
d = C sin n.
D'après la théorie de Clairaut, l'aplatissement e se détermine à
l'aide de
3 (1 — n cotg n) .
1 — n cotg w
2 — wcotgn
En adoptant la valeur A=:5.56 et la valeur de <p donnée précé-
demment d'après Listing, j'ai calculé les valeurs de d, A, e pour
quelques valeurs de w; — voici les résultats:
VARIATION DE LA DENSITE DANS LTNTERIEUR DE LA TERRÉ.
423
Hypothèse de Legendre.
n
d
X
e
136°
3.02
1.948
286.3
137
2.97
1.954
287.5
138
2.93
1.961
288.7
139
2.88
1.968
290.0
140
2.83
1.975
291.3
141
2.78
1.982
292.6
142
2.73
1.990
294.0
143
2.68
1.998
295.4
144
2.63
2.006
: 296.8
145
2.67
2.014
: 298.2
146
2.52
2.022
299.7
Comme on le voit, l'hypothèse de Legendre ne peut pas repré-
senter suffisamment les faits observés Dans la Mécanique céleste,
Laplace admet la valeur n = 150°, ce qui répond à la valeur 1 : 306.6
de l'aplatissement , qu'on ne peut plus admettre. On voit aissi qu'on
obtient ainsi une valeur beaucoup trop forte de X.
sin nx
La loi de Legendre f (x) = C
ne satisfait pas à notre hypo-
thèse n. On trouve que f" {x) change de signe dans le voisinage de
la surface de la terre, en sorte que la courbe de densité présente
une inflection. Toutefois , la convexité vers l'axe 0 A est peu sen-
sible. Plus tard M. Roche a proposé la formule f(x) = a — bx^,
mais je passerai directement à la loi plus générale
f{x) = a — b x^y
proposée par M. Lipschitz (Journal de Borchardt, Bd 62).
Dans cette hypothèse, l'équation différentielle du second ordre
d'où dépend l'aplatissement peut s'intégrer à l'aide de la fonction
hypergéométrique de Gauss. Les trois constantes a, 6, n sont déter-
minées à l'aide des trois données d, A, et — •
M. Lipschitz obtient une équation transcendante pour l'inconnue
n et démontre par une analyse ingénieuse que cette équation admet
424 VARIATION DE LA DENSITÉ DANS L'INTÉRIEUR DE LA TERRE.
une seule racine positive. Dès que n est connu , on obtient a et 6
par les formules
(n + 3) A -
-Sd
n
(n + 3) (A -
-d)
b =
n
M. Lipschitz obtient ainsi
/•(a;) = 9.453 — 6.953 a;2-39,
en attribuant à d, A, — des valeurs qui différent légèrement de
celles que nous avons données plus haut. Comme on le voit, la
seule donnée qui n'a pas été employée par M. Lipschitz, c'est la
quantité X. On peut donc avoir une vérification en calculant la
valeur de X d'après la formule de M. Lipschitz. J'ai donc calculé la
valeur de X en adoptant la valeur A = 5.56 et les valeurs de e et
de (p d'après Listing, pour différentes valeurs de d. J'ai obtenu
ainsi : ^)
d
X
2.0
1.963
2.2
1.963
2.4
1.963
2.6
1.963
2.8
1.964
3.0
1.964
Comme on le voit , cette valeur de X est un peu forte et à peu
près indépendante de d. Mais la valeur de X ne dépend pas des
valeurs absolues de d et A , mais seulement de leur rapport. On
ne peut donc pas obtenir une valeur plus faible de X en faisant
varier A. II reste seulement à chercher l'influence de l'aplatissement.
') J'ai pu abréger beaucoup les calculs nécessaires à l'aide d'une formule que M. Tisserand
a bien voulu me communiquer et que Ton trouvera dans les Comptes Rendus de l'Acad. d.
Se, (Octobre 13 , 1884). Cette formule donne directement une valeur suffisamment approchée
de n.
VARIATION DE LA DENSITE DANS L'INTERIEUR DE LA TERRE. 426
Les résultats précédents supposent £ = l : 288.48 , mais en posant
6 = 1: 280, d = 2.6 (les autres données restant les mêmes), il vient
k = 1.927.
Comme on le voit, dans toutes les hypothèses admissibles, on
obtiendra toujours une valeur de k un peu forte. Cela semble in-
diquer que la densité au centre est encore un peu plus faible et
que la diminution de la densité en s'éloignant du centre est encore
plus lente, que ne le suppose la loi de M. Lipschitz.
XXXV.
(Bill, astr., Paris, i, 1884, 568.)
Note sur quelques formules pour l'évaluation de certaines
intégrales.
Il semble que des trois formules suivantes
(B)
kn J kn
,•+1 /.»
/ Vl — x^ f{x) dx= sin^ 95/(008 93) dç?
* = n
w+1^4-' n-\-V[ w+lj^
(C) (
= o — r^ï X sin^ TT — j-- f cos - — j— r 4- corr.,
2w-fl^ 2w+l'\ 2w-j-l/
la première (A) seule soit généralement connue. La correction est
zéro lorsque f(x) est un polynôme en x du degré 2 w — 1 au plus.
On peut encore écrire ces formules sous la forme suivante
(B,)/W(T^)Ax)<to = ;,-^-^|:sin^^jAp2^-^) + corr.,
(c.)_/;y^-^A.)..=^^^|:sin^,-*i,r(cos^^;-,)+
NOTE SUR l'Évaluation de certaines intégrales. 427
Pour donner une application, prenons l'intégrale
Y = rVx{l — x){i-{-kx) dx ,
Jo
rencontrée récemment par M. Seeliger dans une question relative
à l'anneau de Saturne (Astron. Nachr. , n^ 2612), la constante k étant
inférieure à l'unité. Lorsque k=l, la valeur exacte de Y est
0,47925609389423688 . . .
En posant maintenant f{x) = Vl •\- x dans la formule (Bi), on trouve
w=l, corr. = — 0,0017,
71 = 2, corr. = — 0,00001 5 ,
n = 8 , corr. = — 0,00000 024 ,
n = b, corr. = — 0,00000 00000 80.
Lorsque k est une fraction , les corrections sont encore plus petites ;
en prenant n = 2, on a donc
avec une erreur moindre que deux unités de la cinquième décimale.
XXXVI.
(Paris, C.-R. Acad. Sci. , 99, 1884, 850—851
Sur une généralisation de la théorie des quadratures
mécaniques.
(Note, présentée par M. Tisserand.)
Soit f{x) une fonction qui ne devient pas négative, dans l'intervalle
de zéro à l'unité et soient X^, X^, . . . , Xn des nombres positifs inégaux
donnés ; lorsque n est pair , égal à 2m, le système des 2 m équations
«1
(1) . . .
= [ x^'^ f{x)dx = k^x\^ 4-A2^^i 4-... + Amicii,
a, = / x^-i f{x) dx = Al x\;^ -f AgX^^ + . . . -f A^ ^i^ ,
a2m= [ x^'-" f{x) dx = A^xl'"> -{■ Â.^xl'"' -\- . . . -^ Am x'^
admet une solution par des nombres positifs A^, Ag, ..., A^ et des
valeurs de x^^, X2, . . . , Xm qui sont positives, inégales et inférieures
à l'unité. Cette solution est unique, en faisant abstraction des per-
mutations qu'on peut effectuer simultanément sur les quantités
De même , lorsque n^=2m-\-\, le système des équations
(2) . . . . aK = k^x\'^ -\-A2x\^ -\- ..,-]- Amx\^ -\- Am + l,
où k prend les valeurs 1, 2, ..., w, admet une solution unique, Xi ,
rcg, ..., Xm étant positifs, inégaux et inférieurs à l'unité, A^Ag,...,
A,„ , Aw+i étant positifs.
SUR LA THÉORIE DES QUADRATURES MÉCANIQUES. 429
Lorsque n est pair et qu'on prend 4 = A; — 1 , on se trouve dans
le cas des quadratures mécaniques.
Voici maintenant une interprétation quasi mécanique des formules
(1), en supposant qu'aucun des nombres Xk ne soit égal à zéro. Soit
OA une droite de longueur égale à 1. En attribuant à cette droite
une densité f{x) à la distance x de l'origine 0, on peut considérer
%, «2, ..., an comme des moments par rapport à l'origine 0. Sup-
posons maintenant qu'on fasse varier la distribution de la masse , de
telle manière que les moments a^, a^, • • • , «n restent constants. Dans
ces conditions, il existe évidemment un minimum de la masse totale.
Or ce minimum se présente lorsqu'on place des masses finies
Al , Ag , . . . , Am à des distances x-^, x^^ . . . , Xm de l'origine 0 , et les
équations (1) expriment alors simplement que les conditions imposées
aux moments se trouvent vérifiées.
Nous avons dit que, dans les formules (1), rc^, x^, .-., Xm sont
inégaux; mais, dans un cas spécial, il peut y avoir égalité entre
quelques-uns de ces nombres. Cela n'arrive toutefois que, quand la
distribution primitive de masse, qui a servi a calculer a^, a^, • .., «w,
consiste en une concentration de masses finies dans un nombre de
points de 0 A inférieur à m. Alors cette distribution primitive cor-
respond déjà au minimum On peut aussi se figurer que, dans ce
cas, quelques unes des quantités A^, Ag, ..., A^ s'évanouissent.
Les équations (2) admettent une interprétation semblable : la masse
Am-f-i se trouve alors à l'extrémité A de la droite.
D'après ce qui précède, on a, dans les deux cas,
Ai-fA2 + ... + An, ^î nx)dx,
.'0
Al + Ag -f . . . + A„, + i ^ Cf{x) dx.
Jo
XXXVII.
(Ann. Sci. Éc. norm. , Paris, sér. 3, 2, 1885, 183 — 184.)
Note à Toccasion de la réclamation de M. Markoff^).
En réponse à la réclamation de M. Markoff , je dois déclarer que c'est
seulement par lui que j'ai appris l'existence de l'article de M. Tcheby-
chef: Sur les valeurs limites des intégrales (Journal de Liouville, 1874),
où se trouve déjà l'énoncé des inégalités en question. Je regrette bien
de n'avoir pas connu plus tôt ce travail.
Du reste , mes recherches ont été tout à fait indépendantes de celles
de MM. Tchebychefet Markoff: en effet, mon travail a été remis à la
Rédaction des Annales de l'École Normale vers le milieu du mois de
mai 1884, et je viens d'apprendre que la livraison des Mathematische
Annalen contenant l'article de M. Markoff n'est arrivée ici à la biblio-
thèque de l'Université que dans la seconde moitié de septembre 1884.
Naturellement, je reconnais volontiers que M. Markoff a. le premier,
publié une démonstration des inégalités de M. Tchebychef.
Je veux profiter de cette occasion pour ajouter une remarque nou-
velle au sujet traité dans mon Mémoire.
La démonstration des inégalités de M. Tchebychef en forme bien
une partie essentielle; mais, pour le but que je me suis proposé, il
n'est pas moins essentiel de démontrer que les A& convergent vers zéro
avec — -. Ce point important, je l'ai démontré d'une manière indirecte
et en m'appuyant sur le développement d'une fonction arbitraire par
1) La réclamation concerne le mémoire : Quelques recherches sur la théorie des quadratures
dites mécaniques, N" XXXI.
NOTE A l'occasion DE LA RÉCLAMATION DE M. MARKOFF. 431
la série de Fourier. Il semble pourtant très désirable d'établir cela
d'une manière plus simple et plus directe , mais mes efforts dans cette
direction n'ont pas conduit au but désiré.
On peut voir, dans une Note que j'ai présentée à l'Académie'des
Sciences et qui se trouve dans les Comptes rendus du 22 septembre 1884,
que la question à laquelle je touche ici a une liaison intime avec la
convergence d'une certaine fraction continue.
Voici maintenant une propriété nouvelle des coefficients A* que j'ai
rencontrée dans cette recherche.
Pour mettre en évidence la dépendance de A^, Ag, . . . , A/t, . . . , du
nombre entier w, je désignerai maintenant ces nombres par A", A", . .,
A", ... Avec cette notation , je trouve qu'on a toujours
A?+H A? + ^ 4- . • . + AÎJ + ^ < A? + A^ + . . . + AÎJ,
A- + ^ + A? + i + . . . -h A^ + ^ > Aï' + A^ + . . . + A^_,.
XXXVIII.
(Acta Math., Stockholm, 6, 1885, 319—320.]
Un théorème d'algèbre.
(Extrait d'une Lettre adressée à M. Hermite.)
Voici un théorème d'algèbre qui s'est présenté à moi en étudiant
les formules analytiques qui servent à exprimer le déplacement d'un
système invariable autour d'un point fixe. (Voir Duhamel : Cours de
mécanique, introduction.)
Soient
et
A
A'
A"
B
B'
B"
C
C
C"
les coefficients de deux substitutions orthogonales à déterminant -f 1 et
A -fa B -f 6 C 4-c
R = A' 4- a' B' 4- 6' C + c'
A" -fa" B"-f6" C" + c"
alors ce déterminant R (qui visiblement n'est pas identiquement zéro)
jouit de cette propriété que lorsque R = 0 en même temps tous ses
mineurs du second degré s'évanouissent. Je trouve en effet que le
carré d'un tel mineur peut se mettre sous la forme
R X Fonction entière de a , . . . , c", A , . . . , C".
Voici la signification géométrique de ce théorème. Lorsque , par l'effet
du déplacement, un seul point (rc, y, z) vient dans la position ( — x ,
— y, — z) cela entraîne nécessairement que tous les points d'un certain
plan jouissent de la même propriété. Le déplacement se ramène à une
rotation de 180° autour d'un certain axe. C'est du reste un cas d'ex-
UN THÉORÈME D'ALGÈBRE.
433
ception qui échappe à l'analyse de M Duhamel. Les formules de
M Duhamel cessent de déterminer Taxe de rotation (qui pourtant est
parfaitement déterminé) parce qu'on a.p = 0, q = 0, r = 0. (On a
p^ -\- q^ '\- r^ = sin^ (o dans la notation de M. Duhamel.)
Ce théorème d'algèbre subsiste encore dans le cas de deux variables
A
A'
et j'ai lieu de penser qu'il en est de même pour quatre variables, bien
que je ne l'aie pas encore complètement démontré. Serait il donc pos-
sible de l'étendre à un nombre quelconque de variables? Ce sujet a
quelque rapport au théorème de M Brioschi , que l'équation
a-\-z h c . . . k
b"
c" + z
a(n-l) l)(r
C(n-l)
,%(n-l)_|_;g
= 0
a ses racines réciproques et imaginaires (abstraction faite de la racine
z = — 1 lorsque n est impair) ^).
«) Journ. de Liouville, t. 19. le sér. p. 253.
28
XXXIX.
(Acta Math., Stockholm, 6, 1885, 321—326.)
Sur certains polynômes qui vérifient une équation différentielle
linéaire du second ordre et sur la théorie des
fonctions de Lamé.
1. Dans les Comptes rendus de l'Académie des sciences de Berlin ,
année 1864 (et dans son Traité des fonctions sphériques , tome I, p.
472 e. s. , 2^^ édit.) M. Heine a démontré la proposition suivante.
Soient A et B deux polynômes donnés en x, le premier du degré
p-f- 1, le second du degré p au plus, ces polynômes étant d'ailleurs
tout à fait généraux et n'étant assujettis à aucune condition , et consi-
dérons l'équation différentielle
(») ^'^ + ^Bf + ^^ = 0
OÙ C est un polynôme en x du degré p — 1 au plus.
Alors il existe toujours certaines déterminations particulières du
polynôme C, telles que l'équation (1) admette comme intégrale un
polynôme en x du degré n. Le nombre de ces déterminations et des
polynômes correspondants y s'élève à
(n+l)(n + 2)(n + 8)...(n + p-l)
^ ^^^"" 1.2.8...(p — 1)
(w.l)=l.
Ce théorème constitue le fondement principal de la théorie générale
SUR CERTAINS POLYNÔMES QUI VÉRIFIENT UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE. 435
des fonctions de Lamé qu'on doit à M. Heine. Dans cette théorie la
fonction B n'est pas indépendante de A, car l'on a B = ^ ^. M. Heine
fait voir que la détermination du polynôme C dépend d'un système
d'équations algébriques de degrés supérieurs et que l'équation finale
qu'on obtient en éliminant toutes les inconnues sauf une, est au plus
du degré (w . p). En outre on voit qu'à chaque détermination de C cor-
respond un polynôme déterminé y du degré n.
Mais on voit moins facilement que le degré de l'équation finale d'où
dépend le polynôme C atteint effectivement le degré (w . p). M. Heine
a levé cette difficulté en faisant voir par un calcul de proche en proche
que, même en soumettant les polynômes A et B à certaines conditions
particulières, il existe effectivement (n.p) polynômes du degré n qui
satisfont à une équation différentielle de la forme (1).
Je me propose de démontrer , dans ce qui suit , la proposition sui-
vante Lorsque les racines Uq, a^, ag, . . . , ap de l'équation A = 0 sont
réelles et inégales et qu'en posant
(2) . . . . A^_:°'o_ j ^'i^ 1 . 1 «p
A X — Œq ^ X — «1 * X — ap
les quantités Oq, a^, ..., cp sont positives , alors les (n.p) déterminations
du polynôme C sont toutes réelles ainsi que les polynômes correspon-
dants y du degré n. Soit y^ un de ces derniers polynômes , les racines
de î/i = 0 sont réelles et inégales et distribuées dans les p intervalles
des racines de A = 0.
Le nombre des manières dont on peut distribuer n quantités dans p
intervalles est évidemment égal à (n.p) et j'ajoute maintenant que
les racines des polynômes y représentent en effet toutes ces distribu-
tions , en sorte qu'un tel polynôme est parfaitement caractérisé par la
distribution de ses n racines dans les p intervalles des racines Uq, a^,
. . . , ffp de A = 0.
2. Soient, sur un axe OX, Aq, A^, A,, ..., Ap les points dont
les abscisses sont aQ, a^, . . . , Op et prenons encore, dans un quelconque
des p intervalles déterminés par ces points (p. e. (A^, A^)) , n points
Xi , X2 , . . . , X„ dont les abscisses sont x^, x^, ...» Xn- Cela posé ,
436 SUR CERTAINS POLYNÔMES QUI VÉRIFIENT UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE.
considérons l'expression suivante , où l'on considère seulement les va-
leurs absolues des distances des divers points :
[Ao Xi X Ao X. X Ao X3 . . . Ao X„]«o
X [Al Xi X Al Xo X Al X3 . . . Al Xnf^
X [Ap Xi X ApXoX ApXg . . . ApXn>
n = ( X Xi Xo X Xi X3 X Xi X4 . . . X Xi Xn
X Xg X3 X X2 X4 ... X X2 Xn
X X3 X4 ... X X3 Xn
X Xm_ 1 Xn.
Cette expression est toujours positive et s'évanouit seulement quand
deux des points Xi, X2, . . . , Xn coïncident ou lorsqu'un de ces points
vient se confondre avec Tune des limites de l'intervalle (Aq, Aj). En
considérant les points Xi, Xg, . . • , X„ comme variables, mais restant
toujours dans l'intervalle (Aq, Ai), il est évident que les divers facteurs
de l'expression II restent compris entre certaines limites , et les expo-
sants aç, Oi, . . . , ap étant positifs, on voit que n reste toujours infé-
rieur à une certaine limite. Par conséquent , pour une certaine position
des points Xi, Xg, . . . , Xn l'expression n devient maximum.
On peut interpréter cela de la manière suivante. Concevons que les
points fixes Ao, Ai, ... , Ap soient des points matériels, la masse de A*
étant ok, et que de même les points mobiles (sur 0 X) Xj , X^, . . . , X„
soient des points matériels dont la masse soit égale à l'unité. Alors, si
deux points matériels se repoussent en raison directe de leurs masses ,
et en raison inverse de leur distance , log FI est le potentiel , et le
maximum de n correspond à une position d'équilibre stable.
Mais pour une position d'équilibre, dont l'existence résulte de ce
qui précède (et qui est unique comme on le verra plus loin) , on doit
avoir
(3)
"Q -\ "1 U . . J ^"^_ J t L . J ^^ L
Xk—Oo Xk—tti Xk — Op Xk — X^ Xk—Xk-l
Xk — Xk+l Xk — Xn
(A;=l, 2, 3, ..., n)
SUR CERTAINS POLYNÔMES QUI VÉRIFIENT UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE. 487
J'observe maintenant qu'on a d'après (2)
Xk — a(^ '^ Xk — a^ '^ " ' ~^ Xk — ap A (xk)
et en posant
(4) y=^{x — x^)ix — X2) . . .{X — Xn)
il vient
2/ a; — oîA :c— Xj ■■'"' rc — Xk-\ Jr — Xk+i '^ x — x»
d'où
l!l\ ^ 1 L J L „ „ I. J: 4. I
2y Jx=.x, Xk — x^ "''■■■ '^ Xk — Xk-i Xk — Xk + i ■ ■ ''
1
Xk — Xn
On voit donc que les conditions d'équilibre (3) reviennent à ce que
l'expression
y 4. A
2y'^ A
ou encore Ay" -^2By' s'évanouit pour x = Xk, {k^l, 2 , . . . , n).
Le polynôme Ay" -\-2By' du degré n-\-p — 1 est donc divisible
par y et en désignant le quotient par — C on a
Ay"-\-2By'i-Cy = 0.
Le polynôme y du degré n défini par la relation (4) est donc un de
ceux dont l'existence fait l'objet de la proposition de M. Heine
Il est clair que s'il existait une seconde position d'équilibre , n'im-
porte que cet équilibre fût stable ou non , on en déduirait aussitôt un
autre polynôme y qui satisfait à une équation différentielle telle que (l).
3. Dans ce qui précède nous avons supposé que les points X^ ,
X2, . . . , Xn étaient renfermés dans l'intervalle {Â^, A^). Mais il est clair
qu'en se donnant à priori une distribution quelconque de ces points
dans les p intervalles , et en limitant la variabilité de ces points par la
condition qu'ils doivent rester toujours dans les intervalles où ils se
trouvent d'abord , on peut répéter mot à mot les raisonnements précé-
dents et il existe donc (w . p) polynômes du degré n différents qui satis-
font à une équation de la forme (1).
438 SUR CERTAINS POLYNÔMES QUI VERIFIENT UNE EQUATION DIFFERENTIELLE.
Les polynômes correspondants C sont aussi différents; en effet on
aurait autrement une équation de la forme (1) dont les deux intégrales
seraient des polynômes y^ , 2/2 ce qui est impossible parce qu'on en dé-
duirait la relation absurde
2/1 y 2 — 2/2 2/î = Gonst. e J ^ = Const. (x — Qq)- 2 «» (o; — a^)- ^<h,,,(x— ap)- 2 «".
Nous voyons maintenant aussi qu'en se donnant la distribution des
racines x^, x^^, ...,Xn dans les p intervalles il y a seulement une position
d'équilibre et cet équilibre correspondant au maximum du potentiel
est stable.
En effet d'après les recherches de M. Heine le nombre des poly-
nômes y ne peut surpasser {n . p).
4. Considérons maintenant plus particulièrement les fonctions de
Lamé, dont voici la définition d'après M. Heine.
Soit
y} {x) = ix — Œq) [X — a-^ . . .{X — ttp)
alors la fonction de Lamé de l'ordre p et du degré n est une fonction
entière du degré n des quantités
^Q = Vx — tto, A^ = Vx — ai, ..., Ap = Vx — ap
qui satisfait à une équation différentielle de la forme
OÙ &{x) est un polynôme en x du degré p — 1.
Ces fonctions se distribuent en classes de la manière suivante.
Soit yj^ {x) un diviseur quelconque de ip (x), alors on considère comme
appartenant à la même classe toutes les fonctions qui sont de la forme
V^^)Y{x)
Y (x) étant un polynôme en x. Naturellement le degré de v'i ix) doit
être de même parité que n.
L'équation différentielle à laquelle satisfait le polynôme Yix) devient
SUR CERTAINS POLYNÔMES QUI VÉRIFIENT UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE. 439
elle est de la forme (1). En supposant réelles et inégales les quantités
Oq, Qi, . . . , Qp, notre proposition devient applicable ; on a en effet
A ~ 4 ' xpix) '^ 2 ' rp^{X)
en sorte que les nombres Oq, a^, . . . , ap n'ont d'autres valeurs que -7-
3
et — Le degré de V étant k, les {k . p) fonctions appartenant à la
même classe sont donc réelles, et les racines des diverses équations
V = 0 se trouvent distribuées de toutes les manières possibles dans
les p intervalles des racines de l'équation yj (x) = 0.
On doit ce dernier théorème à M. F. Klein (Mathematische Annalen,
T. XVIII). La démonstration de M. Klein n'a rien de commun avec
les considérations qui précèdent, et ne s'applique pas à notre propo-
sition plus générale.
XL,
(Paris, C.-R. Acad. Sci. , loo, 1885, 439 — 440)
Sur quelques théorèmes d'algèbre.
(Note, présentée par M. Hermite.)
Soit Xn le polynôme de Legendre ; les racines x^y X2, ».., Xn de Xm = 0
font acquérir un maximum à l'expression
(l-|?)(l-â...(i_|2)n(^;,_|,)2, {k,l=\, 2, ..., n)
lorsqu'on prend
Si = X^ , Ç9 = X2} • • • j sn ^^= Xn'
La valeur de ce maximum est
3^5^7^..(2w — l)2"-i'
Discriminant de Xm = 0 :
22.3*.4^...w2'»-2
n {xk — ^0'
3i.53.7^..(2n — l)2«-3
Soit encore
Tj _^. i^(^-l)^n-2 I 1 n(n-l)(n-2)(n-3) .,
Un — a; 1 j 2 ^ +^-^ 1.2.3.4 "^ *
le polynôme défini par la condition
/ + » — Ja;«
e Um Un (/rc = 0 , (m ^ w) ;
-00
les racines x^, Xg, . . , Xn de Un = 0 font acquérir un maximum à l'ex-
pression
SUR QUELQUES THÉORÈMES D' ALGÈBRE. 441
en prenant
et la valeur de ce maximum est
— * n (n - 1)
22 . 3^ 4* . . . n« «
Discriminant de U„ = 2^ . 3^ . 4^ . . w".
Parmi toutes les équations du degré n , dont les racines sont réelles
et ne dépassent pas les limites ± 1 , celle qui a son discriminant maxi-
mum est Vn = 0, en posant
0
. . . , 11 . 22 . 33 ... (w — 2)*» -2 X 2"^ . 3^ 4* ... w"
Discrimmant de V„= 1^ . 3^ . 5^ . 7 ' . . ? (2 n — 3f "^'^ ■*
Lorsque n est très grand , le rapport de ce discriminant à celui de
X„ est sensiblement -g--
XLI.
(Paris, C.-R. Acad. Sci. , loo, 1885, 620 — 622.)
Sur les polynômes de Jacobi.
(Note, présentée par M. Hermite.)
L'équation
§^(— w,w-fa-}-^ — l,a,ic) = 0
peut se mettre sous la forme
^^^ • • ^ l.c^ + 1.2 c(c-l) ^ "'
oii a = a-}-n — 1, c = a-\- ^-{-2n — 2. Nous désignerons le premier
membre par X ou par 9? {n, a, c).
On a , pour x^=0,
et pour rc = 1 ,
y _ /_ 1 xn «(« — !). ..(g — M 4-1)
^ — V ^^ c (C - 1) . . . (c - W + 1) '
■g-_fe(6-l)-..(&-n + l)
c (c — 1) . . . (c — w + 1) '
en posant 6 = /5 -f- w — 1 , donc
a-\-b = c.
Par le changement de a; en 1 — a; , l'équation (1) devient
{!) . . X ^ ^X + ^2 C(C-I) ^ ^
SUR LES POLYNÔMES DE JACOBI.
448
(2)i
j "Y"
Soit -^ = Xj , et , en formant la série de Sturm ,
X=QXi-X2,
Xi = Qi X2 — X3 ,
X2 = Q2 X3 — X4 ,
soient a^ , a.,, «3, . • les coefficients des plus hautes puissances de x
dans Xi , Xg , X3 , ... On a alors
ensuite
X :=9?(w, a, c), Xi = W9?(n — l,a,c),
a. 6
a\X^ = nHn — \) ^^^'_^^<p(ri-2,a — \,c — 2.),
a2 (a — 1)62(6 — 1)
afa|X3 = n3(n-l)^(n-2)-^^^_;:^^3^;_^';,^^_^3-(c-n)y(n-3,a-2,c-4),
|affl|,..-,a|_iX&
n (w — r)*-''(a — r)*-i-''(6 — r/
_o
2A-3
n (c — r)2*-2-»'
fc-3
X n (c — w -r)*-2-'-9j(w — A;, a — A; + l, c — 2A;4-2).
Ces fonctions aJXg, a^a|X3, . . . sont précisément celles qui ont été
indiquées par M. Sylvester et qui s'expriment ainsi en fonction des
racines x^^ iCg , . . . , Xn de X = 0 :
£ (a?! — x^^ {x — x^ (a; — xj . . . ,
^{x^'-x^fix^ — x^^ix^ — x^fix — x;)...
On voit par là que les coefficients
dans les seconds membres de (2), sont égaux aux déterminants
Si Sa
h *2
'0 *1 ^2
?2 *8 ^4
, ... (5* = rcî + 4+---+^).
444 SUR LES POLYNÔMES DE JACOBI.
La dernière de ces quantités n'est autre chose que le discriminant
J) = n(xr — Xsf de l'équation X = 0. On trouve
L'équation X = 0 ne peut avoir d'autres racines multiples que 0 et 1.
On peut assigner sans aucune difficulté le nombre exact des racines
négatives de X = 0, celui des racines comprises entre 0 et 1, enfin
celui des racines supérieures à 1.
Lorsque a > 0, )5>0, les racines sont comprises dans l'intervalle
(0, 1) , et l'on peut énoncer la propriété suivante : L'expression
(fl ^2 • • • ^nf [{1 - 11) (1 - I2) . • • (1 - ^nïf n i^r - ^sf (r, S = 1. 2, . . . , W)
devient maximum en posant
Il est facile de calculer cette valeur maxima : on trouve
n [r][a + r-13[^ + ^-l]
en écrivant Ix] au lieu de x''.
XLII.
(Ann. Sci. Éc. norm. , Paris, sér. 3,2, 1885, 93—98.)
Sur une généralisation de la série de Lagrange.
En posant
X = a; 4- a 95 (X) ,
la série de Lagrange donne le développement d'une fonction quel-
conque de X sous la forme
nx) =n-) + ± j-f-^ -£~ [/' (..) „»■ m
En prenant la dérivée par rapport à a;, et écrivant /"(X) au lieu de
f (X) , on a aussi
Sous cette forme , la série de Lagrange est susceptible d'une géné-
ralisation élégante, donnée pour la première fois par M. Darboux
(Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t, LXVIII)
Supposons que les r variables X, Y, Z, . . . soient liées aux variables
X, y, z, . . . en même nombre par les r équations
(1)
X = x + a(piX,Y,Z,...),
Y=2/-f6v(X,Y.Z,...),
Z=0+c;c(X,Y,Z,...),
446
SUR UNE GENERALISATION DE LA SERIE DE LAGRANGE.
alors, /"(X, Y, Z, . . .) étant une fonction quelconque, on a le dévelop-
pement
/(X,Y,Z,...)XA
— 2^2^2^ • • • i . 2 . . . m . 1 . 2 . . . m'.l . 2 . . . m"
X
où
d"* +"»'+*»''+ •••[/'(a?, y, g,. ..)(p^ {x^, z,...)yj'^'{x,y,z,...)x"'" {x,y,2,... )...']
lix'^dy"'' de""" ...
dX dX dX
dx dy dz
dY dY dY
A = dx dy dz
dZ dZ dZ
dx dy dz
M. Darboux a donné ce développement dans le cas r = 2.
Dans la démonstration suivante , je supposerai r = 8 , mais elle s'ap-
plique dans le cas général.
Comme on le verra, le point principal consiste dans l'établissement
des identités
(2)
^ [A f{X, Y, Z)] = ^ [A /-(X, Y, Z) cp (X, Y, Z)],
~ [A /"(X, Y, Z)] = ^ [A /-(X, Y, Z) ^, (X, Y, Z)],
l~^ [A /-(X, Y, Z)] = A [^ ^(x, Y, Z) i (X, Y, Z)].
Il suffira, d'ailleurs , de vérifier la première de ces relations , le calcul
étant tout à fait analogue pour les deux autres.
Mais , en développant cette relation , il vient
Al/-' ^^ A.r ^Y , ., dZ\ , „dA
Al/" ^^
= 9? A /x
do;
f^Y , ., dZ\ .f^(y>A)
SUR UNE GENERALISATION DE LA SERIE DE LAGRANGE.
4*7
en sorte qu'il s'agira d'établir les formules
dX
(3)
et
da
dY
da
dZ
\ da
dX
dx '
dY
dx '
dZ
dx
dA _d{(pùi)
da dx
La différentiation de la première des formules (1) donne
(5)
(1 — a (px) -^ = q>-]-acpY
dY
, dZ
da ' ^ da
I ,^ , . dX ^ , , dY
aq)z
dZ
dx
et l'on obtient de même
dX .
(6)
et
(7)
da
dX
(6 v^V — 1)
dY
da
CXY
da
dY
da
da
f (c;kz-1)
dZ
,,dX,,, , ^.dY,
, dY , , ,
hxp'z
-1)
da
dZ
dx
dZ
da;
0,
:0,
0.
,, . , dX dY dZ
Les équations (6) détermment les rapports ~J^- J^'~^
les
dX dY dZ ^ , n: • . j
équations (7) les rapports -7— : -^— : -^-^ • Or , les coefficients dans
les systèmes (6) et (7) étant les mêmes , on a
dX
dY
dZ
dX
dY
dZ
da
da
da "
~ dx
dx
dx
Dès lors les équations (5) mettent en évidence les relations (3).
448
SUR UNE GENERALISATION DE LA SERIE DE LAGRANGE.
Il reste à vérifier la formule (4). On a
d A
da
d^X
dx da
d^Y
dx da
d^Z
dx da
dX
dy
dY
dy
dZ
dy
^1
dX
dz
dY
dz
dZ
dz
+
+
dX
dx
dY
dx
dZ
dx
dy da
d^Y
dy da
dy da
dX
dz
dY
dz
dZ
dz
+
+
dX
dX
d^X
dx
dy
dz da
dY
dY
d^Y
dx
dy
dz da
dZ
dZ
d^Z
dx
dy
A«.
Quant à A^, on a, à cause des relations (3),
(8)
Il vient ensuite
dX
dx
dY
dx
dZ
dx
ou bien
Ao =
(9)
et de même
(10)
d
dx
dX\
dx)
d / dY\
dx\ dx)
d (
dZ
dx
dX
dy
dY
dy
dZ
dy
dX
dz
dY
dz
dZ
dz
d I dX\
VyK'PTc^)
:rr.\<P
dy
A
dy
A
dy
dY
dx
dZ
dx
dX
dz
dY
dz
dZ^
dz
dX
dx
dY
dx
dZ
dx
d^X dX
dy dx dz
d^Y dY
dy dx dz
d^Z dZ_
dy dx dz
A,=
dX ^X dX I
\^
dx dy dx dz
dY d^Y dY
dz
dZ
dz
dx
dZ
dx
dy dx
d^Z
A.=
dX
dx
dY
dx
dZ
dx
dy dx
dX
dy
dY
dy
dZ
dy
d^X
dz dx
dz dx
d^Z
dz dx
dz da
SUR UNE GÉNÉRALISATION DE LA SÉRIE DE LAG RANGE. 449
Les équations (8), (9) et (10) donnent de suite
i-r 2-r 8 c«a dx '
c'est-à-dire la formule (4).
La première des équations (2) est ainsi établie parfaitement, Jes
deux autres s'obtiennent de la même manière.
Par une application répétée de ces relations , on trouve de suite
d"'+"''+'^"lAf{X,Y,Z)']
d a"» d b""' d c»""
(11) .
' dx'^d 2/'"' d s"»"
Qtn hm' />wi"
Pour avoir le coefficient de -, — t: ; — ^ r-i — h /i dans le
1 . 2 . . . m . 1 . 2 . . . w . 1 . 2 . . . m '
développement de A f(X., Y, Z), il suffit de supposer a = b = c = 0, dans
cette formule (11). Or , dans cette supposition , il vient
dX
dy -"'
^-«.
dx-^'
^=0.
dy -''
s-«.
4l=o>
f -0,
dy
If-'.
donc A = l; de plus X = x, Y = y, Z = z, en sorte que ce coefficient
est égal à
d rc"» d y^' d «»»" '
comme nous l'avons annoncé.
Je terminerai par la remarque suivante. Dans le Tome 54 du Journal
de Crelle, M. Heine a déduit la formule de Lagrange à l'aide du calcul
des variations. Cette démonstration peut être généralisée facilement ,
de manière à obtenir la formule que nous venons de démontrer , le
450 SUR UNE GÉNÉRALISATION DE LA SERIE DE LAGRANGE.
déterminant fonctionnel A s'introduisant alors de la manière la plus
naturelle. Mais les formules (2) et la formule (11) qui s'en déduit
immédiatement paraissent assez remarquables en elles-mêmes : c'est ce
qui nous a fait préférer la méthode plus élémentaire que nous venons
de développer.
XLIII.
(Bull. Sci. math., Paris, sér. 2,9, 1885, 306—311.)
Sur l'intégrale / " ^ \^'¥i>'
1. Nous nous proposons d'obtenir le développement de cette inté-
grale suivant les puissances descendantes de a, développement qui
peut servir utilement pour le calcul numérique dans le cas où le nombre
positif a est très grand et que h ne l'est pas.
La méthode qui se présente d'abord pour cet objet est la suivante.
Soit
alors
logP = -(« + i.)(^-^. + ^,-...)
ou bien
logP = -x + ^* + ^| + ^?+...,
Al = 1 x^ — hx,
A3 = I X* — i 6 rc^,
Il s'ensuit
P = e-=^X
A, , A, A3
p=H^+!^+l+l+-)'
452
SUR UNE INTÉGRALE DÉFI>
en posant
B, = A„
B, = A, + iAl,
B3 = A3 + A,A2 + iA?,
L'intégrale proposée se met maintenant sous la forme
0
et il ne reste plus qu'à effectuer les intégrations à l'aide de la formule
r
On obtient ainsi , pour les premiers termes ,
2bj±l . 4 6^ — 2 6 — 1 , —Sb^-\-lOb^l
8 a "*■ B2d^ "^ 128 a^
Mais, comme on le voit, cette méthode ne donne aucune lumière sur
le reste qu'il faut ajouter à un nombre fini de termes du développe-
ment pour obtenir la valeur exacte de l'intégrale et, de plus, elle de-
viendrait très pénible si l'on voulait pousser plus loin des calculs.
2. Nous allons développer maintenant une autre méthode qui ne
présente pas ces défauts.
On trouve , par la différentiation ,
ce qu'on peut mettre sous la forme
On en conclut, lorsque A; > 0,
,^ . f"^ 0^6-"" dx k^ ^00 a^-'^e-'^ dx , J_ r'^ ci^{x — b)er'' dx
SUR UNE INTÉGRAL?: DÉFINIE. 453
et pour k=:0
En écrivant dans la formule (1) successivement k — l, k — 2, ... au
lieu de A;, on trouvera par une combinaison bien facile de ces équations
avec la formule (2)
^x x''e-'=dx _ njjc) Jl_ ,-°° {x — b)Tk{x)e-^dx
ou
Il importe de remarquer que la valeur de Tk{x) pour x = 0 est
n (k) : 2*, en sorte qu'on peut écrire
Soit maintenant /"(a;) un polynôme quelconque de a;, on aura évi-
demment
•*/"(aj) e - ^ rfa; _ , ^^7^-^ , 1 f^ (x — b) flx)e-='dx
.a + b + l '
0 0
en désignant symboliquement par f{x) le polynôme obtenu en rempla-
çant les diverses puissances x, x^, ot^, ... dans f{x) par T^{x), Tgfa;),
T3(a;), ...
En écrivant b -\-n 3iu lieu de b, nous avons
/■(a;)e-^da; _1.7^^ , 1 f °° (a; — fe — w) /X^) e- ^ d a;
(3)
.a + b + n — tM^;-f-2a/ / ^.a + b + n + 1
0 0
3. Nous allons appliquer cette formule dans le cas particulier
f{x) = {b — x)"; alors il viendra
454
SUR UNE INTÉGRALE DÉFINIE.
ou bien
r{x)={b-x)''
-^{b-xy
.-, . ^(^-
l! /A ^\k -2
+ 2.
2 (0 — a;)
En posant donc
U*(6)=:
6^-|6^-'
A:(A;-1)
"^ 2.2~
'ô^-'^-...,
il vient
= |U,(6) +
] .-(OJ-
■6-w)Ua(6-
■a;).
2« / ""-
(^+1-)""'
»+i
a;)e-*da;
De là il suit immédiatement qu'en supposant
V (6) = Co 4- Cl 6 + C2 62 4- . . . + c;t ÔS
on aura
(4)
r^Y{b — x)e-''dx _i ryj(,\i\. ^ /•» (a; — 6 •— n) [V (& —x)'] e- ^ dx
en désignant par [V(6)] le polynôme obtenu en remplaçant dans
V (6) , 6 par Ui (6) , 6^ par Ug (6) , 6^ par U3 (6) , . . . , tandis que naturel-
lement , [V (& — a;)] s'obtient en écrivant 6 — rc au lieu de h dans [V(6)].
Ce qui précède suppose, bien entendu, que les coefficients Cq, Cj, Cg, ...
ne renferment point 6. Si cela avait lieu , il faudrait d'abord écrire B
au lieu de h dans ces coefficients , opérer ensuite comme il vient d'être
indiqué et rétablir enfin de nouveau b au lieu de B. Ainsi la valeur de
V (6 — x) dans le premier membre de (4) est égale à
Co'{-c^{b — x)-^c^{b-xf -{-.,. -{-Ckib — xf,
et il ne faut pas substituer b — x à la place de b dans les coefficients
r,) , Cj , Co , . . . , Ck.
4. Revenons maintenant à la formule (2), que nous écrivons ainsi
/
+6 = V 0 {b) 4- — ,
(^ + f)'
SUR UNE INTÉGRALE DÉFINIE. 455
en posant
Vo(0) = i> J^l — / / ^xa + b + l
r^ {x — O) Vo(o —
Quant à l'expression R^, nous pouvons la transformer à l'aide de la
formule (4), où il faut prendre V(6) = — 6 Vo(&), n = l. Il vient
R, = Y,(6)+^,
en posant
0
Cette expression R2 peut, de nouveau, se transformer à l'aide de
(4) en prenant V (6) = - (6 4" 1) ^i (6) et n = 2. Il vient
en posant
V2(6) = -K(6-f 1)V:W], 1^=/ -^ 1 ^y+6+3-
0
Il est évident qu'on peut continuer ainsi et l'on trouve le résultat
suivant :
/
4.5 = Vo(ô)+-^ + -^2— + •••+ a«-i ^a»
(^+1)
Ici les polynômes Vo(6), V^ (6), VsCô), ... se calculent de proche en
proche par les relations
Vo(6)= i,
Vi(6) = -i[6Vo(fe)],
V2(6) = -i[(&+l)Vi(6)],
V3(6) = -i[(&4-2)V2(&)],
V,(6) = -J[(6 4-3)V3(6)],
456 SUR UNE INTÉGRALE DÉFINIE.
Nous rappelons que lf{b)] s'obtient en ordonnant f{b) suivant les
puissances de b et en remplaçant alors 6* par
2 ^2.2 2.2.2 ^"'
Kn . a _ / : --^rfb+^ • ^
Ensuite le reste R„ : a" s'exprime à l'aide du polynôme V» _t (b) ainsi:
On peut remarquer que Vn (b) est la valeur de R„ pour a = oo : donc
Vn (6) = / *" (a; — 6 — w + 1) V„ _ 1 (6 — a;) e- 2^ d a; ;
0
mais cela revient, comme il est facile de le voir, à l'expression
Vn(6) = — i[(6 + W-l)Vn-l(6)].
On trouve sans difficulté :
Vo(6) = -fi,
Y,(b) = -\-^\b^-^b^-^^b'^-^i^b-{-^\,
Notre premier calcul se trouve vérifié ainsi ; nous avons obtenu de
plus le reste de la série sous forme finie.
XLIV.
(Paris, C.-R. Acad. Sci. , loi , 1885, 153 — 154.)
Sur une fonction uniforme.
(Note présentée par M. Hermite.)
Le caractère analytique de la fonction C{z), qui est définie pour les
valeurs de z dont la partie réelle surpasse l'unité par la série
^ 2^ ^ 3^ ^ 4* ^ '
a été complètement dévoilé par Riemann qui a montré que
est holomorphe dans tout le plan.
Les zéros de la fonction C (z) sont d'abord
— 2, -4,-6, —8, ...;
il y en a, en outre, une infinité d'autres, qui sont tous imaginaires, la
partie réelle restant comprise entre 0 et 1.
Riemann a annoncé comme très probable que toutes ces racines ima-
ginaires sont de la forme ^ -\-ai, a étant réel.
Je suis parvenu à mettre cette proposition hors de doute par une dé-
monstration rigoureuse. Je vais indiquer la voie qui m'a conduit à ce
résultat.
D'après une remarque due à Euler ,
i:n.) = n(i-^),
p représentant tous les nombres premiers , ou encore
i .Ç{Z) — l -g^ g^ g^ -h g^ ^, -^ ^^
468 SUR UNE FONCTION UNIFORME.
C'est l'étude plus approfondie de la série qui figure ici dans le second
membre qui conduit au but désiré. On peut démontrer, en effet, que
cette série est convergente et définit une fonction analytique tant que
la partie réelle de z surpasse J.
Il est évident , d'après cela , que t. {z) ne s'évanouit pour aucune va-
leur de z dont la partie réelle surpasse ^. Mais l'équation ^ (2;) = 0 ne
peut admettre non plus des racines imaginaires dont la partie réelle est
inférieure à |. En effet, en admettant l'existence d'une telle racine 2; =2:1,
on aurait aussi C(l — %) = 0, comme le montre la relation entre C(^) et
C(l — z) établie par Riemann. Or, la partie réelle de l-—z^ est supé-
rieure à 1^.
Par conséquent , toutes les racines imaginaires de C («) = 0 sont de
la forme \ -{-ai^ a étant réel.
XLV.
(Paris, C.-R. Acad. Sci. , loi , 1885, 568—370).
Sur une loi asymptotique dans la théorie des nombres.
(Note présentée par M. Hermite.)
Le théorème énoncé dans les Comptes rendus, p. 153, que la série
^^' ^ 2«' 3« 5* "^ 6« " ■ '
obtenue par le développement du produit infini n ( 1 — -7J, est conver-
gente pour s > ^ , conduit à une conséquence importante relative à la
fonction de M. Tchebychef 6 (x) = somme des logarithmes des nom-
bres premiers qui ne surpassent pas x.
En désignant par fin) le nombre des diviseurs de w, je rappelle ce
résultat dû à Dirichlet , que
/•(l) + /'(2)-f ■■■-{•- /'(n) — nlogn + (2 C--l)n
Vn
reste comprise entre deux limites finies, C étant la constante eulérienne.
On en conclut facilement que la série
(B) £A(«)-logn-2Ç
est convergente pour s > J.
Voici maintenant deux théorèmes relatifs aux séries de la forme
y- ' , ■ qui nous sont nécessaires :
460 SUR UNE LOI ASYMPTOTIQUE DANS LA THÉORIE DES NOMBRES.
Théorème I. — Lorsque la série y^— -^-, où s > 0, est convergente,
on a " '
Théorème II. — Lorsque les deux séries
sont convergentes pour 5 = a > 0 et que les séries
sont convergentes pour s = a -{- ^, alors la série obtenue en multipliant
les deux premières
V (W)
1
où
(w) = 2^A(d)/.(|),
d représentant tous les diviseurs de n, est convergente pour s = a -|- i A'-
En remplaçant , dans les séries (A) et (B) , chaque terme par sa valeur
absolue, les nouvelles séries convergent pour s > 1. En multipliant
donc les séries (A) et (B), la série obtenue sera convergente pour s > f ,
d'après le théorème II.
Or on obtient ainsi
^ ^—9 in)
où
Ô'(1) = 2C,
et, lorsque p est premier, g {p^) = \o^p, tandis que ^(n) = 0 lorsque n
n'est pas de la forme p^. On en conclut, d'après le théorème I,
SUR UNE LOI ASYMPTOTIQUE DANS LA THÉORIE DES NOMBRES. 461
mais on voit facilement que
^(l) + ^(2) + ...+ô'(M) = 2C+0(w) + 0(w^)-h6>(n')-f ...
en sorte que , en posant
0(n) 4- ©(w*) 4- 6>(n^) + . . . = w + An w».
on trouve
lim A„ = 0 pour w = oo .
Il est facile d'en déduire qu'on a aussi
0 (w) = w -h Bn n%
où
lim B„ = 0
dès que s > f .
Ce résultat conduit à cette conséquence que , quelque petit que soit
un nombre positif h, le nombre des nombres premiers compris entre
n et {\-\-h)n
finit toujours par croître au delà de toute limite , quand n croît indé-
finiment.
XLVI.
(Amsterdam, Versl. K. Akad. Wet., Afd. Nat.,sér. 3, 2, 1886, loi— 104)
Sur quelques formules qui se rapportent à la théorie des
fonctions elliptiques.
Dans les formules qui suivent on doit toujours , sauf indication con-
traire , attribuer au nombre n placé sous le signe 2 les valeurs entières
et positives
n=l, 2, 3, 4, ...
le nombre m désignera les nombres impairs
w = l, 3, 5, 7, ...
Ensuite D représente un nombre entier positif ou négatif, mais je
suppose toujours que D n'est divisible par aucun carré hors l'unité.
Je distingue quatre cas.
I.
D>0, D = 2, 3 mod 4. En posant
cette fonction jouit de ces propriétés :
(«0 F(l) = K^F(rc),
(a") Fix + 'Di) = e~'^F{x),
( — j est le symbole de Legendre, généralisé par Jacobi, avec la con-
vention ordinaire que ( — )=0, lorsque D et w ne sont pas premiers
FORMULES QUI SE RAPPORTENT A LA THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 463
entre eux. J'ajoute que, dans ce qui suit, on suppose encore ^^ j = [z^^j-
(Voir p. e. Kronecker , Berliner Monatsberichte , Juni 1876).
IL
D < 0, D = 2, 3 mod 4. En posant
on aura
ifi') ...... . G(i]=(V'a;)»G(a;),
w i
{^») G(ic — DO = «~"^G(a;)
m.
D>0, DeeeI mod 4. En posant
F,(.)=2:(f).-^.
/ ^ \ m*irx
on aura
ir")
Fi(a;-f Di) = F2(a;),
F2(a; + Di) = Fi(x),
464 FORMULES QUI SE RAPPORTENT A LA THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
Toutefois , ces formules sont en défaut dans le cas D = 1 , mais en
prenant dans ce cas au lieu de (y)
H-co
— 00
+ 00
— ce
+ 00 &n — l)»rrx
— 00
les relations {y') et {y") restent vraies.
IV
D < 0 , D EE 1 mod 4. En posant
(a) ..... . G,(*) = X(-i)"(-5-)««"'^".
on aura
(<J')
, Gi (ic — D i) = G2 (rc) ,
(,5") GgCrc — Di) = Gi(a;),
(G^Crr — Di) = e~"*~G3(a;).
Partout on doit supposer positive la partie réelle de x et de Vx.
FORMULES QUI SE RAPPORTENT A LA THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 465
On voit bien les conséquences qui se rattachent à ces formules et
sur lesquelles j'aurai peut-être l'occasion de revenir plus tard.
Pour le moment je me borne à cette indication que toutes ces for-
mules se déduisent sans peine à l'aide des propriétés fondamentales de
la fonction @ d'une part et d'autre part des formules que Gauss à
données dans son célèbre mémoire intitulé: Summatio quarumdam se-
rierum singularium , 1808. Oeuvres , tome II.
30
XLVII.
(Amsterdam, Versl. K. Akad. Wet,, Afd. Nat., sér. 3, 2, 1886, 2 10 — 2 16.
Sur quelques intégrales définies.
Legendre dans les Exercices de calcul intégral (t. II , p. 189) a donné
la valeur de l'intégrale
/■
sin w a; , 1 e»" + 1
r- dx— '
i2»x_i 4 f,m_i 2m
formule sur laquelle Abel est revenu plus d'une fois (Oeuvres, tome I,
p. 24, 35. Édition de Sylow et Lie).
L'étude du mémoire de Riemann : „Ueber die Anzahl der Prim-
zahlen unter einer gegebenen Grenze" m'a conduit à cette remarque
qu'on doit regarder la formule de Legendre comme le cas le plus
simple de toute une série de formules qui présentent un caractère
éminemment arithmétique.
Dans ce qui suit je me bornerai à donner deux exemples qui feront
connaître suffisamment le caractère des formules nouvelles, sans en
vouloir présenter dès à présent , le système complet.
Soit p un nombre entier positif impair (p > 1) sans diviseur carré
et posons
le symbole (— ) étant pris dans le même sens que dans ma communi-
cation de Septembre 1885 (pag. 101 de ce volume).
SUR QUELQUES INTÉGRALES DÉFINIES. 467
Cela posé , on a lorsque
p - 1 mod 4
p-^~'"\ 2 71 ; Vp' 1 — e-p<
c^) • • • i -.4^
0
Kn supposant au contraire
p ~ 3 mod 4
on a
(B) r^ ^^'"'^ cos (P^ ^U a; - -^ ^^^~'>
0
Dans ces formules (A) et (B) la racine Vp doit être prise positive-
ment , et cette détermination du signe correspond précisément à celle
que Gauss a doirnée dans le mémoire Summatio etc , Oeuvres, tome II
C'est par le développement en série de l'expression
1 — e-P--
que j'ai obtenu ces résultats
En posant pour abréger
n\ 1
j'obtiens
(p (s) = V
(0 . . •r4!^=51.<C--<^)$5+-'«'f5--!
lorsque p = 1 mod 4 ,
lorsque p = 3 mod 4.
Voici comment ces formules conduisent aux intégrales (A) et (B).
J'observe d'abord que la formule connue
r(s)
n* J
-U-'^'^dx
468 SUR QUELQUES INTÉGRALES DÉFINIES.
conduit aussitôt à l'expression suivante de la fonction (p (s)
0
En considérant maintenant l'intégrale
\ T-~ ^ sin ^ — )dx
J 1 —e-P"" \ 2n I
0
on pourra développer l'expression sin (-^ — j suivant les puissances de a;
. Ip t x\ 1 lvtx\ _ 1 / p t x^^ J 1_ (Pj^l*"
et en se servant alors de la formule (l), l'intégrale se trouve égale à
la série
qu'on sait sommer par la formule (C), ce qui fournit la formule (A).
La formule (B) s'obtient de la même manière à l'aide du développe-
ment (D).
La démonstration qu'on vient de donner, ne s'applique directement
qu'aux valeurs de t qui satisfont à la condition
mod (p 0 < 2 ^
mais après avoir reconnu ainsi l'exactitude des formules (A) et (B) pour
des valeurs de t dont le module est inférieur à — , on verra facilement
que ces formules sont valables pour une valeur imaginaire quelconque
de t=^a-\-hi, à condition seulement que la valeur absolue de h reste
inférieure à ^ —
P
La série par laquelle nous avons défini la fonction 99 (s) n'est con-
vergente que tant que la partie réelle de s est positive. Toutefois on
peut démontrer que cette fonction est holomorphe dans tout le plan;
on y arrive , en partant de la formule (1) et en suivant une méthode
donnée par M. Hermite. (Comptes rendus de l'Acad. des Sciences,
tome 101, p. 112),
SUR QUELQUES INTEGRALES DEFINIES. 469
Il existe une relation remarquable qui lie q>{8) à <p(l — s) et qui a
été découverte par M. Hurwitz (Zeitschrift far Mathematik und Physik,
tome 27, 1882). Sans avoir eu connaissance du travail de M. Hurwitz,
j'avais retrouvé son résultat en partant des formules (A) et (B). Comme
cette démonstration est entièrement différente de celle de M. Hurwitz,
je crois utile de la donner ici. Je me bornerai d'ailleurs au cas
p^ 1 mod 4.
En multipliant (A) par t'-^dt, intégrant de 0 à oo il vient, si l'on
renverse l'ordre des intégrations dans l'intégrale double et qu'on se
rappelle la relation connue :
fi
^' p \2 7il j 1— e-p-»^ Vpj l — e-P^
Or d'après (1)
rie-
f
I
g-px
rie-')
'dx = r{l—8)<p{i — s)
t'-^dt = r{s)(p{s),
en sorte qu'on trouve, après quelques réductions:
_ n s
2cos
^^'-'^ = {Ûj~v7''^^''^''^
Vp
On peut dire aussi que l'expression
(^)^''(-
(pis)
ne change pas en remplaçant s par 1 — s.
Il faut supposer dans cette démonstration que s (ou la partie réelle
de 5) reste comprise entre 0 et 1. Mais d'après le caractère analytique
de la fonction ç? (s), la relation obtenue entre 9? (s) et 99 (1 — s) doit avoir
lieu dans tout le plan , dès qu'elle se trouve vérifiée dans une partie
du plan.
470 SUR QUELQUES INTÉGRALES DÉFINIES.
Je remarque enfin que les formules que j'ai données dans ma com-
munication déjà citée de Septembre 1885, permettent d'établir d'une
manière beaucoup plus simple encore cette relation entre (p{s)et(p{i — s).
Riemann , dans le mémoire cité , a donné une relation entre la fonc-
tion qu'il désigne par ^(s) et C(l — s), et il a démontré cette propriété
de deux manières différentes , la seconde démonstration se fondant sur
une formule qui appartient à la théorie des fonctions elliptiques. La
démonstration de la relation qui lie <p{s) à 93(1 — s) que nous venons
d'indiquer en dernier lieu, est parfaitement analogue à cette seconde
démonstration de Riemann.
II n'est pas sans intérêt d'examiner un peu plus particulièrement les
développements en série (C) et (D).
II est évident d'abord que les coefficients des diverses puissances
de X dans le développement de
ne-') \^e^"r{e—)
sont des nombres rationnels ; en égalant ces nombres aux expressions
qui figurent dans les seconds membres de (C) et de (D) on obtient les
sommes des séries infinies 99(1), «^(2), <p(3), etc. Ces sommations me
semblent devoir être mises à côté des formules bien connues qui ex-
priment les sommes des séries
_J_ 1^ ,^__ 1 +
]^2n — 1 g2n — 1 1^ g2n — 1 'J2n—l \^ ' ' '
,2"
^(-')=Z(-"
On a
P
En distinguant les deux cas p ~\ ^pz::^^ mod 4 et en posant p' =
Cl
il vient
SUR QUELQUES INTÉGRALES DÉFINIES. 471
p P' I p — 2n p — 2n \
e"''ne-') = -£[j)\e^' -e '') pr-3mod4.
donc
'"^"^ "f^+rirs(f;^+r:ïix5(fr^+-
pEEl mod4
/•(e-^) V^^
1 — g— P* o
+ o:s(f)^+î:24:ir5(-|p+-
p — 3 mod 4.
La comparaison avec les développements (C) et (D) donne une série
de formules dont les premières et les plus simples peuvent s'écrire
donc
(2) .
(3) . . . .±{'']' =----^yi''-]n p:-:. 3 mod 4.
La formule (3) s'est présentée déjà à Dirichlet dans ces célèbres re-
cherches sur la détermination du nombre des classes des formes qua-
dratiques à deux indéterminées , le cas le plus simple p = S
-^=1-1 + 1-1 + 1-1 + ...
3I/3 2^4 5^7 8 ^
se trouve dans l'Introductio in Analysin infinitorum d'EuIer (§ 176).
G
PLEASE DO NOT REMOVE
CARDS OR SLIPS FROM THIS POCKET
UNIVERSITY OF TORONTO LIBRARY
Qâ Stieltjes, Thomas Jan
3 Oeuvres complètes
S8
t.l
Physical &
Applied ScL
Live Music
Archive
Librivox
Free Audio
Metropolitan Museum
Cleveland
Museum of Art
Internet
Arcade
Console Living Room
Open Library
American
Libraries
TV News
Understanding
9/11